“强基计划”数学专题讲座六———“强基”数学试题中的数学恒常之美赏析

■江苏省无锡市第一中学 韦燕平

■江南大学理学院 谢广喜

在一般的运动变化过程中,运动与静止表现为辩证的统一,因此在特定的情况下,通常情况下的变量可能会表现为不变量,这种情况其实在数学学科里也广泛存在,体现出数学学科的恒常之美的魅力。“强基”数学试卷中有不少试题同样表现了这一点,典型的题型如代数背景下恒等变换,三角背景下恒等变换,解析几何背景下的 “三定”问题(定值探究、动直线过定点、动点在定直线上)等。

注意到不等式(ai+2-ai)2≥ai+2-ai(i=1,2,3,…,2 020),一般形式为x2≥x(x≥0,x∈Z),只有当x=0或x=1时取等号,而上面的不等式放缩过程的等号必须全部取得。

我们可以创建一种取等号条件如下:使a1=a2=…=a1924=1,a1925=a1926=1,a1927=a1928=2,…,a2020=a2021=48,a2021=a2022=49。此时可以让上面的所有不等式均可取得等号,于是所求的f的最小值f0=7 400。

评注:求解这道题有几个关键点:①多元情况下的配方如何实现;②这里不但有恒等变换,而且有简单的放缩(尤其是很多细节的处理);③取等号条件如何协调统一,使得全部不等式的等号都取得,若任何一个环节处理不好,都可能出错。

例4(2021 年北京大学强基计划数学试题)已知a,b,c是三个不全相等的实数,且满足a=ab+c,b=bc+a,c=ca+b,则a+b+c=_____。

解析:首先判定abc≠0。若abc=0,假设其中之一,比如a=0,代入a=ab+c第一个表达式可得c=0,与题意矛盾(先假设b=0或c=0,结论亦然,略)。

于是三式可变为ac-c2=ba-a2=cbb2=abc。(*)

而原始条件三式相加得ab+bc+ca=0,进而由(*)式得:

利用(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)及ab+bc+ca=0可得:

(a+b+c)2=-3abc。①

我们下面设法再建立一个相关的等式,原始条件变为:

于是(1-a)(1-b)(1-c)=1,展开得1-(a+b+c)+(ab+bc+ca)-abc=1。利用ab+bc+ca=0,得abc=-(a+b+c)≠0。②

结语:我们建议有意参加“强基计划”数学学科测试的同学可以重点关注一下近10年的全国高中数学联赛试题以及近5 年全国高中数学联赛各省的预赛试题,尤其是其中有一定难度的且适宜改编成选择题的试题,要重点关注,因为这些试题也常常会被“强基计划”数学试题的命题者所关注。