小学数学应用题解析与拓展

王莉

【摘要】在小学教育阶段，数学课程一直是重要的一环，用于考查学生综合能力的应用题更是重中之重.因此，培养小学生的解题能力能够有效提升其数学能力.教师在小学数学教学过程中需要将应用题作为教学重点，帮助学生掌握各种用于解题的数学方法，并且从不同角度出发为学生解释应用题，给予学生多样的解题思路和灵活的解题技巧.文章将从应用题题型、解题方法、解题技巧、技能拓展四个方面展开论述，希望能为学生解答小学数学应用题提供帮助，为家长和教师提供经验和借鉴.

【关键词】小学数学；应用题型；例题解析

引 言

在学习小学数学知识的过程中，很多学生觉得应用题是学习难点，事实上的确是这样，因为应用题的综合性强，能够考查学生的综合运用能力与实践能力，是对学生知识掌握程度的有效检验手段.对于应用题，很多家长表示无从下手，对于孩子提出的问题不知道该从何处讲起，很难有效地帮助孩子做好应用题.其实，应用题也是有训练技巧和解题技巧的，学生掌握了这些技巧，就能有效提高自身解题能力.

一、应用题题型

虽然小学数学应用题的变化成千上万，但是只要能够掌握其中的规律，找到全部的题型就能够做到有迹可循.文章对小学数学应用题进行了总结，主要分为11个基本类型，小学阶段的应用题基本都由这些题型变形而来，解题方法也大致相同.

（一）和差问题

和差问题的特点是已经知道两个数的和与差，求出这两个数的具体值.

例1 已知有甲、乙两数，两数之和为12，差是4，求这两个数.

解题方法：由题可知，甲+乙=12，甲-乙=4，所以根据等式的基本性质可以得到：（甲+乙）+（甲-乙）=12+4，所以甲+甲=16，则甲=8，乙=4.

解题格式：甲=（12+4）÷2=8，乙=（12-4）÷2=4.

解题技巧：大数=两数之和的一半，小数=两数之差的一半.

（二）差比问题（差倍问题）

差比问题的特点是已经知道两个数的差与比，求出这两个数的具体值.

例2 已知有甲、乙两数，甲比乙大12，甲∶乙=7∶4，求两数.

解题方法：由题可知，甲-乙=12，所以乙+12=甲，由甲和乙的比例可知，（乙+12）∶乙=7∶4，所以可以得到比例中的一倍量为12÷3=4，所以甲=28，乙=16.

解题格式：12÷（7-4）=4，甲为4×7=28，乙为4×4=16.

解题技巧：“先求一，再求多”，这里的“一”指的是比例中的一倍量，如例题中的一倍量为4，“多”指的是由一倍量根据比例所求出的结果.差比问题只要能够求出“一”，再乘相应的倍数即可得到所求数值.

（三）正方体展开图问题

小学数学中，正方体的展开图是教学难点之一，需要学生具备一定的空间想象能力.正方体共有6个面，如果将正方体全部展开可以得到6个正方形，显而易见展开的结果不是唯一的，但是也并非没有规律可循的.经过整理总结发现，正方体展开图一共有十一种，这十一种展开方式又可以分成四种分布类型（从上至下分布），分别是“一四一型、二三一型、三三型、二二二型”，其中“一四一型”有6种，“二三一型”有3种，“三三型”有1种，“二二二”型有1种，如图1所示.

解题技巧：熟练地掌握正方体的各种展开图能够有效提高解答这类题的速度，所以需要学生找到正方体展开图的规律，将这些展开图分类记忆.

（四）和比问题

和比问题的核心是已知多个数的和及它们的比例关系，求出各个数的具体值.

例3 已知有甲、乙、丙三数，甲、乙、丙三数之和为36，甲∶乙∶丙=1∶2∶3，求甲、乙、丙三数.

解题方法：由题可知甲+乙+丙=36，甲、乙、丙三数的比例之和为1+2+3=6，所以一倍量為6，题中的甲占1倍，乙占2倍，丙占3倍，所以甲=6，乙=12，丙=18.

解题技巧：“确定占比，逐个分配”，解和比问题的第一步是确定每个数在总和中的占比，第二步就是将总和按比例分配给各个数值.

（五）余数问题

余数问题的核心是不能整除情况下的数学问题，主要分为两种，分别是同缺和同余.

例4（同余） 一个数除以5余2，除以6余2，除以7余2，那么这个数最小是多少？

解题方法：这一题的特点是一个数除以5或6或7的余数都是2，所以将这个数减去2，就可以被5，6，7整除，因此这个数最小是5×6×7+2=212.

例5（同缺） 一个数除以5余4，除以7余6，除以8余7，那么这个数最小是多少？

解题方法：除以5余4，那么这个数加1就能被5整除；除以7余6，那么这个数加1也能被7整除；除以8余7，那么这个数加1还能被8整除.因此，这个数加1最小是5×7×8=280，这个数最小就是280-1=279.

解题技巧：余数问题遵循“余则减，缺则加”的规律，当余数相同时，减去这个余数该数就能被整除；当余数与所除数值之差相同时，加上这个差，该数就能被整除.

（六）年龄问题

年龄问题的核心是两人的年龄会变，但是年龄之差不会改变.

例6 小雨今年7岁，妈妈今年27岁，多少年后妈妈的年龄是小雨的3倍？

解题技巧：解题时首先要明白年龄的特点是差不会改变，再将这种关系看成差比问题就会迎刃而解.

（七）鸡兔同笼问题

例7 鸡兔同笼，有头32，有脚100，求鸡兔数.

解题方法1：上题告诉我们：鸡兔一共32只，我们可以先假设这32只都是鸡，这样应该有腿2×32=64（條），这比题中告诉的腿数100条少了100-64=36（条）.这36条腿是怎样少出来的呢？显然是因为把兔子算成了鸡，把1只兔子算成鸡便会少2条腿，把2只兔子算成鸡便会少2个 2条腿……据此推想：少了几个“2条腿”，就是把几只兔子算成了鸡，因此兔子的只数一定是36÷2=18（只），鸡的只数也就是32-18=14（只）.

综合列式：兔：（100-2×32）÷（4-2）=36÷2=18（只），

鸡：32-18=14（只）.

解题方法2：假设32只全部是兔子，这样就应该有腿4×32=128（条），这比题中已知的100条腿多了128-100=28（条）.为什么会多出28条腿呢？显然是把其中的鸡当作兔子计算了，把1只鸡当兔子计算就多出2条腿，把2只鸡当兔子计算便会多出2个“2条腿”，据此推理：把几只鸡当兔子计算，便会多出几个“2条腿”，因此鸡的只数一定是28÷2=14（只），兔子的只数自然是32-14=18（只）.

解题技巧：兔数=（原有腿数-每只鸡腿数×鸡兔总数）÷（每只兔腿数-每只鸡腿数），或是：鸡数=（每只兔腿数×鸡兔总数-原有腿数）÷（每只兔腿数-每只鸡腿数）.

（八）路程问题

路程问题的核心是路程÷速度=时间，所以解题的唯一方法就是找到公式中的任意两个要素.路程问题主要分为两类：相遇问题和追遇问题.

例8（相遇问题） 甲、乙两人从相距120千米的两地同时相向而行，甲的速度为40千米/时，乙的速度为20千米/时，多长时间相遇？

解题方法：由题可知，两人相向而行，所以两个人每小时走过的路程之和为40+20=60（千米），所以用总距离÷总速度=总时间，即120÷60=2（时）.

例9（追遇问题） 已知甲、乙两地相距100千米，小花和小明均从甲地出发驶向乙地，小花乘坐公交车，速度为30千米/时，比小明先出发1个小时，小明乘坐汽车，速度为60千米/时，当小明与小花相遇时，还距乙地多远？

解题方法：由题可知，小明开始行驶的时候小花已经走了30千米，所以小明行驶的距离-30千米=小花在小明开始行驶后所行驶的距离，才能相遇，即60×时间-30=30×时间，易求得时间为小明行驶后的1小时，此时两人都行驶了60千米，距乙地还有40千米.

解题技巧：解决路程问题需要先明确是相遇问题还是追遇问题，这样才能确定两人的速度、时间、路程之间的关系.

（九）浓度问题

浓度问题的本质就是比例问题.

解题方法：由题意可得浓度为20%的溶液用量是浓度为30%的溶液用量的3倍，无论它们各取多少，它们之间的用量的比总是3∶1，那么混合后得到的新的溶液，其浓度为（3×20%+1×30%）÷（3+1）=22.5%，由此可知题中相当于将浓度为22.5%和45%的两种溶液合在一起，最终得到浓度为35%的溶液，质量为45千克.因此，浓度为45%的溶液用量为（45×35%-45×22.5%）÷（45%-22.5%）=25（千克）；浓度为20%的溶液用量为（45-25）÷（3+1）×3=15（千克）；浓度为30%的溶液用量为15÷3=5（千克）.最终可得浓度为20%，30%，45%的三种溶液分别用了15千克、5千克、25千克.

解题技巧：浓度问题中溶液的浓度是变化的，任何题型都是围绕浓度展开的.然而我们却要弄清楚到底是谁引起了浓度的改变，是溶质呢，还是溶剂，或是两者都发生了改变.这便是我们解题中的易错之处，只有弄清了这一点，问题才能够顺利解决.

（十）植树问题

植树问题是研究植树地段的全长、间隔距离、棵数三种数量之间的关系的应用题.植树应用题基本分为两类：沿路旁植树；沿周长植树.

例11（沿路旁植树） 在某城市一条柏油马路上，从起点到终点共有14个车站，每两个车站间的平均距离是1200米.这条马路有多长？

解题方法：根据全长=间隔×（棵数-1）的关系，可得：1200×（14-1）=1200×13=15600（米），所以这条马路长15600米.

例12（沿周长植树） 在周长是480米的圆形养鱼池周围，每隔12米栽一棵树.一共可以栽多少棵树？

解题方法：根据棵数=全长÷间隔，可求出一共栽树的棵数为480÷12=40（棵），所以一共可以栽40棵树.

解题技巧：沿路旁植树，因为首尾两端都要种一棵，所以植树棵数要比分成的段数多1；沿周长植树，因为首尾两端重合在一起，所以植树的棵数和所分成的段数相等.沿路旁植树：棵数=全长÷间隔+1，间隔=全长÷（棵数-1），全长=间隔×（棵数-1）；沿周长植树：棵数=全长÷间隔，间隔=全长÷棵数，全长=间隔×棵数.

（十一）盈亏问题

我们把若干数量物体平均分给一定数量的对象，有时会产生剩余，这就叫盈余，当然有可能产生不够分的情况，就是少了，这就叫亏.凡是涉及盈、亏的算法问题就称为盈亏问题.

例13 五年级的同学去划船，当所租的船的条数一定时，若每条船坐8人，则有6人不能上船；若如果每条船坐10人，则剩余2个座位.去划船的同学一共有多少人？

解题方法：由题可知第一次分配每条船坐8人，有6个人不能上船，说明座位少了6个，就是亏6个座位，第二次分配每条船坐10个人，还剩2个座位，说明是盈余.也就是说座位相差是6+2=8（个），两次每条船上人数相差多少呢？10-8=2（个），知道了相差的座位总数，又知道每条船的相差座位，这样就可以算出总共有多少条船，8÷2=4（条）.知道了船的数量，我们按照两次的乘船方式，就能求出总人数.第一步，算出有多少条船：（6+2）÷（10-8）=8÷2= 4（条），第二步求出人数：8×4+6=38（人）或10×4-2=38（人），所以去划船的同学共有38人.

解题技巧：对于盈亏问题，主要的解题方法就是求出2次分配中分配者每份所分數量的差值，进而求出2次分配中各次共分物品的差，也就是总差额，然后用前一个差除以后一个差，就能得到分配者的数量，再根据倍数和余数关系即可求得物品数.

二、应用题解题技能拓展

（一）审题能力

审题是做题的第一步，也是最关键的一步，学生要从题目中了解问题情境是什么、条件是哪些、提了什么问题.教师要培养学生划重点、提主干的审题能力，让学生在审题时能够获得有效信息并且不会被干扰信息所迷惑，还要培养学生的专注力.

（二）分析能力

在审题之后，学生要对题目进行分析，找到切入点，联系自己所学的知识，灵活地将已学知识运用到实际问题当中.这就要求学生要对所学知识有透彻的理解和举一反三的能力.

（三）检查能力

在做完一道应用题之后，学生要进行检验，看看自己得出的结果是否符合题目要求，而且很多时候应用题都源于实际，所得结果也不会与实际相差太多，比如最后若求出小明步行的速度为30千米/时，则这种结果显然是不正确的.

（四）整理能力

每名学生都会遇到不会的、不熟练的题目，所以教师要培养学生整理错题、难题的习惯，这样能够有效帮助学生找到自身的不足，有利于学生熟练地掌握重难点题型.

结 语

小学数学应用题题型很多，解题方法也不尽相同，学生要想掌握好应用题的解题方法，就要善于总结归纳，找到不同例题的相似之处和类似例题的不同之处，分析出每种类型应用题的解题技巧，经过多次训练，才能有效提高解题效率和解题质量.

【参考文献】

[1]马文霞.小学数学应用题解题障碍研究[J].新课程，2022（05）：60-61.

[2]高文平.论小学数学应用题教学的基本策略[J].新课程，2021（47）：203.

[3]魏天骄.小学数学应用题教学方法的探索与研讨[J].学苑教育，2021（33）：44-46.

[4]贾彩红.例谈小学数学应用题解答能力的培养方法[J].智力，2021（32）：70-72.

[5]王杰.小学数学应用题教学如何提升学生审题解题能力[J].理科爱好者（教育教学），2021（05）：133-134.

[6]陈金萍，李玉倩.小学数学应用题解题方法研究[J].数学学习与研究，2021（27）：120-121.