初中数学渗透数形结合思想的策略

林勋

【摘  要】数形结合思想遵循“数”与“形”相辅相成的原则，实现了抽象问题的具体化、复杂问题的简单化，能够切实帮助学生解决几何图形、函数方程、等式、代数式等方面的难点问题，训练学生的抽象思维与实用技能。基于此，本文从“以形变数”“以数化形”“数形互变”三方面系统论述了数形结合思想在初中数学课堂中的渗透与应用策略，以期锻炼学生的逻辑思维能力。

【关键词】初中数学；数形结合；策略

数形结合思想渗透进课堂教学的本质在于融入学生头脑中的知识组群，使其能够在理解的基础上灵活运用它解决数学问题。就学情而言，数形结合的思想存在众多立足点，可以灵活切入数学课题，启迪学生思维，从而提升学生的解题效率。因此，教师需要真正将“数”与“形”的概念引入教学点滴之中，塑造灵活的思维方式，继而循序渐进地提升学生的数学核心素养。

一、以形变数，化繁为简

“数缺形时少直觉，形少数时难入微。”作为贯穿初中数学教学的一大思想，数形结合将“数”与“形”融为一体，形成了不可分割的内在联系。通常而言，教师要想将数形结合思想深刻融入教学，就要尋找“数”与“形”相互衔接的切入点，从而实现思想的有效过渡。在实际教学过程中的数形结合点主要有以下两种。

（一）用数值量化图形

利用简单数值量化几何图形是数形结合思想的典型体现，适用于较为基础的几何运算以及应用类问题，在学习八年级上册关于三角形、轴对称等知识的过程中，学生会遇到大量解析几何的问题，如果熟练运用数值量化几何图形，并结合三角形的基本特性、特殊三角形的性质进行分析，可以使抽象的问题更加直观化、具体化，提高学生解答问题的效率。以下题为例：

在正△ABC 的三边 AB、BC、CA 上分别有点 D、E、F。若 DE⊥BC，EF⊥AC，FD⊥AB 同时成立，求点D在 AB 上的位置。

在审题的过程中，教师应有意识地指导学生自觉将文字内容转化为具体的几何图形，以便提供直观化的解题参考，培养学生良好的解题习惯。从整体上看，虽然这一题目并未明确指出正△ABC中各边各角的量化关系，但最终却要求学生指出“点D在 AB 上的位置”，即“线段AD与线段AB的量化关系”。由此可见，该题着重于考查学生对“数形结合”思想的掌握与运用情况。在讲解该题目的具体过程中，教师一方面要循序渐进地引导学生发现“以形变数”思想的立足点，另一方面还要启发学生利用已知的几何条件建立起数量关系，从而真正实现“数”与“形”的结合。本题中，“正△ABC”意味着其三边长度相等、三个内角度数均为60°，而题目中提供的三个垂直条件恰好将正△ABC分割成了三个直角三角形与一个小等边三角形的复合图形。在此基础上，教师可以启发学生将图形中相关的线段设未知数，利用上述角度、长度等条件就可以慢慢推理出线段AD与线段AB之间的数量关系，得到准确的答案。如“根据直角三角形的特点和定义，‘30°角所对的直角边等于斜边的一半可以假设线段BE的边长是x，则线段BD的长度为2x。在经过三角形全等证明之后，可知AD=BE=CF，最后可得AD=x=1/3AB”。

（二）用几何量化图形

相比于数值，几何量在呈现方式上更委婉含蓄，更倾向于考查学生对隐性条件的转化与理解能力。在缺乏具体数据支撑、几何量复杂多样的解析几何题目中，学生往往会因题目条件的冗杂而生畏，降低了原有的学习效能感。但事实上，面积、距离、角度等几何量与分数、整数等数值并无本质上的差别，教师应帮助学生打破心理屏障，正确认识几何量的本质，从而高效解答几何难题。在学习九年级三角函数的相关内容时，学生通常会遇到“特殊角的三角函数”问题。例如，在一个直角三角形ABC当中，∠B为90°，AB边的长为6，BC边的长为2，要求出∠A的度数。在题目提供图形信息的条件下，教师可以组织学生将题目所提供的数值信息标注在图形对应的位置，从而形成直观清晰的感官体验。接着，教师应进一步启发学生寻找解答该题的思路，并认真回想有关30°、45°、60°等特殊角的三角函数值，明确角度和边长等各个几何量之间的关系。最后，将图形条件转化为三角函数的计算公式，通过代数计算获得正确答案。

二、以数化形，化抽象为具体

相较于直观具体的图形，数字的抽象性特点更为明显，这恰恰为“数”与“形”的结合创造了优势条件。于初中生而言，其抽象思维还未得到充分开发，面对复杂的数学列式，大部分学生的第一反应都是寻找可套用公式的切入点，接着利用熟练背诵的公式或模板解决问题。这一解题过程并不能有效锻炼学生的抽象思维能力，相反会导致学生更加依赖于模式化的题目，若突然遇到形式新颖灵活的题目，学生往往会选择蒙题、猜题甚至是逃避。要想消除这一依赖性，教师要引导学生在头脑中构建“数”与“形”的桥梁，并学着从桥梁中抽象的一头走到具象的一头，如此学生才能够摸清“以数化形”的内在机制。例如在学习不等式的相关内容时，其中涉及到了“以数化形，化难为易”的数学思想。面对较为复杂但又有内在规律可循的不等式，教师可以借助图像帮助学生解题，将抽象化的式子转化成坐标系中具体的函数图像，从而更加直观地推断出不等式的解集。以下题为例，“已知直线y1=kx+b（k＜0）过A点（0，2），且与直线y₂=mx（m＞0）相交于点M（1，m），则不等式mx＞kx+b的解集是____”通过审题可知，这是一道关于x的含参不等式的问题，其中所含信息较为复杂，且参数数值不明，如果学生单纯依赖于数值计算较难得出答案。在此情况下，学生应当重新寻找解题的方向。通过再次审题不难发现，题目中有关于“直线”“交点”“坐标”等信息无一不指向平面直角坐标系。因此，可以根据题目在坐标系中画出相应函数的大致图像，并将提供的条件标注在其中进行整体分析。事实上，这道题目的分析和解答是离不开图形的，只有将图像引入题目当中才会事半功倍，学生必须要通过观察两条直线交点以及直线的走向来判断当y₂＞y₁时x的取值范围。此解题过程体现出了几何图形运用于代数运算中的一个方面：借助数轴或平面直角坐标系赋予代数表达式几何意义，通过构造直观化的几何图形使代数运算简单化，从而提高解题的效率和准确性。教师在辅助学生解题的过程中，应当教会学生寻找题目中的线索和暗示，大胆运用数形结合思想，从而避免走上思考的弯路。

此外，几何图形还可以运用于代数公式的记忆与推导层面上，如完全平方公式與平方差公式的几何推理。由于代数公式的抽象性，大部分学生都难以准确记忆运算公式，导致做题效率大大降低。为打破这一学习瓶颈，教师可以从推导过程入手，借助几何图形的直观性帮助学生深刻理解并准确记忆公式。以（a+b）²=a²+2ab+b²的几何推理为例，已知一个边长为a+b的正方形，其中包含两个边长分别为a和b的正方形以及两个全等的长方形（短边长为b，长边为a）。因此，通过等面积法建立等式可知，大正方形的面积为（a+b）²，内部四个图形的面积分别为a²，b²，ab，ab，列式为（a+b）²=a²+ab+ab+b²，即完全平方公式（a+b）²=a²+2ab+b²，由此完全平方公式便得以证明。记忆公式的本质不在于死记硬背，而是让学生从推导的过程中真正感受数形结合思想的运用，使其逻辑思维能力得到进一步发展。

三、数形互变，化单向为双向

数形互变在“以数化形”“以形变数”的基础上实现了思维更高层次的灵活性和深刻性，是从单向过渡到双向的重要途径。这一思想不仅要求学生由考虑“形”的直观性变为“数”的严密性，还要从“数”的严密性联想到“形”的直观性。在解决这类问题时，学生往往需要同时立足于已知条件与可能结论，认真挖掘“数”与“形”两者间的内在联系，实现数形的互通、互变。例如在以下应用题中便考查了数形互变的解题思想（如图1）：

“低碳环保，绿色出行”的概念得到广大群众的接受，越来越多的人喜欢选择骑自行车作为出行工具。小军和爸爸同时骑车去图书馆，爸爸先以1500米/分的速度骑行一段时间，休息了5分钟，再以m米/分的速度到达图书馆。小军始终以同一速度骑行。两人骑行的路程为y（米），与时间x（分钟）的关系如图1，请结合图像，解答下列问题：

（1）填空：a=_____， b=_____， m=_____。

（2）若小军的速度是1200米/分，求小军第二次与爸爸相遇时距图书馆的距离。

（3）在（2）的条件下，爸爸自第二次出发后，骑行一段时间后与小军相距1000米，此时小军骑行的时间为_____分钟。

通过审题，学生可以明确把握题目中的“数”与“形”，在头脑中建立起基本的数形关系框架，但在真正的分析过程中，大部分同学却难以将 “路程——时间”图像中的数值信息充分利用起来，将数值与图形真正融为一体。此时，为打破学生的单向思维定势，教师不妨将题目中的文字叙述部分隐藏起来，在“路程-时间”图像之中标注已提供的重点数值信息，并引导学生在仔细观察图像后用语言将“爸爸”和“小军”的骑行过程描述出来。这一过程可以使学生从“形”中发现“数”，并从“数”中感受“形”，实现数形互变。除此之外，在处理本题的图像问题时，教师可以借助发散思维锻炼学生多样化的数形互变能力。具体而言，若以“路程-时间”图像为参考，学生可以从函数表达式的角度分别求出“爸爸”和“小军”行驶路程与时间的关系表达式，并通过方程组求解答案；在此基础上，教师可以变换图像指标，引导学生将“路程-时间”图像转化为“速度-时间”图像，启发学生从图形面积的角度求解本题，如此便能够将几何图形面积求解的知识点融入进问题之中，活化学生的思维，深化数形互变思想。

综上所述，深入剖析并挖掘数形结合思想在数学教学中的应用价值是每一位初中教师贯彻教书育人理念的基本职责，也是提高教学质量与效率的有效途径。作为传授系统知识、启迪学生智慧的主力，教师应针对数形结合思想在教学中的渗透做出深刻的研究与实践，将“以形变数”“以数化形”“数形互变”的思想扎根于学生的思维系统之中，促进数形结合与初中数学的深度融合。

【参考文献】

[1]余云洲.相互渗透，交叉作用：初中数学教学中数形结合思想的应用探析[J].教育现代化，2019（6）：114.

[2]李春梅．数形结合思想在初中数学教学中的应用[J].西部素质教育，2020（4）：230.