小学数学教材“统计”内容的螺旋式编写研究

陈思烨

［摘  要］ 螺旋式编写是课程组织的常见形式之一。文章以小学数学统计内容为例，从螺旋间隔、内容广度、内容深度三个维度，对人教版、苏教版、北师大版的螺旋式编写方式进行分析，并结合研究发现，给出相关建议。

［关键词］ 教材编写；螺旋式；统计；小学数学

一、引言

教材是最基本的课程资源，是教与学的主要依据。教材内容的编排主要有两种方式：直线式与螺旋式。直线式的课程前后内容互不重复；螺旋式由布鲁纳在20世纪50年代提出，他认为“任何学科都能够按照某种正确的方式，有效地教给任何年龄阶段的任何儿童”。螺旋式编写的特点是随着年级的升高，课程内容重复出现，不断拓展广度、加深深度。统计（Statistics）最早指记述国家和社会状况的数量关系的总称，它向各个领域提供一般性的认识方法和思维模式［１］。统计的学习有助于学生数据分析观念的培养，在小学阶段的统计与概率中占主要地位。在基礎教育阶段的课程设置上，各版本教材普遍采用螺旋式的课程设计编排模式。笔者以人教版、苏教版、北师大版小学数学教材为例，分析其有关统计内容的螺旋式编写，希望对教师理解与应用统计提供参考。

二、研究过程

1. 研究对象

依据《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称“课程标准”）的要求，在“一纲多本”的背景下，先后有多个版本的小学数学教材通过全国中小学教材审定委员会审定。研究所选择的版本是2014年出版的人教版、2014年出版的苏教版、2013年出版的北师大版。依据“课程标准”，将小学数学学习分为两个学段：第一学段（1～3年级）、第二学段（4～6年级）。研究只分析每册教材中的例题，在详细翻阅了3个版本的12册教材后，将统计内容在教材中具体分布的情况绘制成表1。其中，一年级下册简称为“一下”，以此类推。

2. 研究设计及其结果

“课程标准”指出：教材的编写应采用逐级递进、螺旋上升的原则，螺旋上升是指在深度、广度都有质的变化，体现出明显的阶段性要求［２］。研究将从螺旋间隔、内容广度、内容深度三个维度，以人教版、苏教版、北师大版的小学数学教材为载体，探究小学数学教材中统计内容的螺旋式编写方式。

（1）螺旋间隔

螺旋间隔主要包括教材中涉及统计内容的螺旋数量（册数）、螺旋间隔时间和平均螺旋间隔时间。通过统计螺旋间隔，有助于把握教材的整体结构，便于从宏观上进行分析。在3个版本的教材中，统计内容都以整个单元的形式出现，每册最多设置了1个涉及“统计”领域的单元，研究中的螺旋数量即为12册教材中涉及统计内容的总册数。例如，人教版中有7册教材涉及统计内容，则其螺旋数量为7。螺旋间隔时间是以学期为单位的，指统计内容在相邻两册教材中出现的间隔时间，其中1册教材即代表1学期。例如，在北师大版中，统计内容依次出现在一上、二下、三下、四下、五下、六上，有6册教材涉及了统计内容，因此有5个螺旋间隔时间，分别为3、2、2、2、1，其平均螺旋间隔时间为10÷5=2.00。

由表1可以看出，在第一学段，苏教版和北师大版对内容安排的时间间隔较长，在一年级上册接触了简单的分类后到二年级下册再次接触统计的内容，与此相比，人教版的安排比较均衡。

由表2可以看出，人教版、苏教版的螺旋数量均为7，2个版本教材均有7册书出现了统计的内容，苏教版和北师大版的最长螺旋间隔时间为3个学期，人教版为2个学期，最短均为1个学期。人教版的平均螺旋时间为1.5，即每1.5个学期就会出现有关统计的内容，北师大版的平均螺旋间隔时间最长，为2个学期。

（2）内容广度

内容广度是指一门课程所涉及的内容的范围大小以及所包含的知识点的多少［３］。本文以1册教材为单位，通过教材中“知识点的数量”来刻画课程广度。综合3种版本的教材可得，涉及的统计内容共有10个知识点，组成3个知识团：①数据收集整理：Z1——实物的分类，Z2——数据的收集，Z3——数据的整理；②统计图表：Z4——统计表，Z5——象形统计图，Z6——条线统计图，Z7——折形统计图，Z8——扇形统计图，Z9——选择合适的统计图；③统计量：Z10——统计量（平均数）。关于统计的知识点在3个版本中的具体分布情况详见表3。

从表3可知，3个版本教材关于统计的内容广度既有共性又有差别。共性在于3个版本都包括了“统计”的基本知识内容，知识点数量不相上下：人教版共出现9个知识点，苏教版有10个知识点，北师大版包含9个知识点；比较而言，苏教版知识点略多于人教版和北师大版。差别在于：人教版没有涉及象形统计图的学习，而是直接以统计表的形式出现；北师大版未涉及统计表这一知识点，更侧重统计图的学习。

在重复性上，苏教版侧重于Z4的学习，在三下、四上、五上都有所涉及；北师大版螺旋重复较多。比如，在一年级上册引入实物的分类后，三年级下册依旧涉及实物的统计分类，在二年级下册学习了象形统计图，又在三年级下册学习了象形统计图，产生了一定的重复性。

（3）内容深度

课程深度是一个很难量化的概念，它泛指“课程内容所需要的思维的深度”，反映了“课程内容之间的设计顺序、编排和组合的逻辑深度以及所潜在的学科思维的深度”。在数学课程中，主要涉及“数学概念和数学原理的抽象程度、概念之间的关联程度以及课程内容的推理与运算步骤”［４］。因此，研究主要从教材的编排这一角度进行。

从总体上看，统计内容在3个版本的小学数学教材的编排中都呈现螺旋上升的趋势，知识点前后关联，随着年级的升高不断加深与拓展。在第一学段（1～3年级），3个版本教材对于统计部分的内容要求是简单感受、了解和认识。到第二学段（4～6 年级），3个版本教材在教学内容上比较相近，以数据的收集整理能力为基础，不断提高要求，让学生逐步学习条形统计图、折线统计图、扇形统计图、统计图的选择与平均数，助力学生构建完整的知识框架。

高度抽象性是數学的重要特点之一，3个版本教材在讲授Z3之前，都设置了实物的分类、数据的收集等相应知识点作为铺垫内容。比如，人教版一年级下册的第三单元“分类与整理”，创设了贴近学生生活的情境，从对实物的分类入手，抽象出简单的数据分类：首先，学生根据不同的标准来分类实物，感受分类与分类标准的关系；其次，通过教师引导提问“如何把分类的结果呈现在表中”，学生产生初步的想法，用图形、文字等把图上的信息记录到表中，由此经历简单的数据整理过程。

三、建议

1. 内容的安排应由浅入深，在各个螺旋之间设置好衔接内容

考虑到小学生的认知发展特点及对统计相关内容的理解能力，教材对学生数据分析方法的要求较低，同时“课程标准”也对学生提出了关于这一内容的要求，只是这些要求相对比较基础［5］。由表2可知，统计的内容大多分布在小学6至7册教材中。因此，应由浅入深地编排统计内容，合理衔接，以实现知识的融会贯通。以人教版为例，由二下“简单的统计表”过渡到三下“复式统计表”，并类比学习从“条形统计图”过渡到“复式条形统计图”，循序渐进地进行教学，有效衔接了学生的认知发展水平。但是从单式到复式的教学，在情境设置上缺少相关性，衔接并不到位，割裂了教学情境的一致性；若用同一情境衔接，贯通单式到复式的教学，前后内容会显得更加紧凑，有助于学生构建系统的知识框架。从表到图的教学，可以通过两者的特征衔接，利于学生了解“统计表”数据更清晰，但不利于直观分析的特征后，体会“统计图”便于研究差异的本质特征。

2. 适当提高统计量的占比，增加平均数的螺旋重复

通过表3可以发现3个版本教材涉及的统计内容主要以统计图表为主，较少涉及统计量，且只涉及统计量中的平均数。平均数的编排位置在3个版本教材中并不相同，人教版安排在四下，苏教版安排在四上，北师大版安排在四下和五下。由此可见，人教版、苏教版均按照直线式的编排方式对平均数内容进行编排，前后的教材内容几乎没有重复。平均数的教学重点不仅在于计算，更在于能理解并体会平均数的作用。仅在一册教材中涉及平均数的内容，不利于学生更深一步地掌握统计的相关知识。因此，教材的编写中，可以适当增加平均数的螺旋重复，将平均数与条形统计图、统计表、统计量等相关内容相联系，注重知识点之间的相互联系，使整个知识形成一个体系，突出数学教材的整体性和逻辑性［6］。

参考文献：

［１］ 李俊. 中小学概率统计教学研究［Ｍ］. 上海：华东师范大学出版社，２０１８.

［２］ 中华人民共和国教育部. 义务教育数学课程标准（２０１１年版）［S］. 北京：北京师范大学出版社，２０１２.

［３］ 耿素娟. 人教版与苏教版小学数学“统计与概率”领域内容比较［Ｊ］. 小学教学参考，２０１５（０８）：２９－３０.

［４］ 孔凡哲. 螺旋式上升课程设计编排风格的误区及其矫正［Ｊ］. 课程·教材·教法，２００６（１０）：４１－４６.

［５］ 吉欢. 中新两国小学数学教材统计与概率内容的比较研究［Ｄ］. 云南师范大学，２０２１.

［６］ 王莹. 中新两国小学数学教材中“平均数”的比较研究［Ｄ］. 扬州大学，２０１８.