从意识到应用

夏菲

《义务教育数学课程标准（2022年版）》指出，小学阶段要着重培养学生的模型意识，使学生对数学模型有初步的感悟。数学模型是指用数学语言或者数学符号，表示生活中与数学相关的事物的过程，其精确度、形象性、具体性都比较高，应用简单便捷，存在于数学的各个领域之中。从广义上讲，数学这门学科本身就是模型，数学中的各种公式和定理都可以看作是数学模型。小学数学课程中数的概念、关系、运算，图形，数据等，都源于现实生活，是对现实模型数学化的结果，而当这些数学对象被用于解决现实世界的问题时，又需要借助具体的模型表示实际意义。随着教育理念的不断创新，小学数学教学越来越重视学生建模意识与能力的培养，教师在教学中要注重培养学生的数学模型思想，激发学生学习数学的兴趣，引导学生利用数学建模解决实际问题，帮助学生建立数学与现实世界的双向联系，让学生形成初步的模型意识，在数学学习的过程中学有所依、学有所用。

一、当前小学数学教学中存在的问题

现阶段，部分小学数学教师在实际教学过程中，存在以下三个方面的问题，影响了学生模型建构能力的培养。

一是偏重课堂解题，忽视建模思想的渗透。部分教师只注重讲解题目本身，很少培养学生的解题思维。部分小学生在解决问题时存在一些不足，即便掌握了某一类题型的解题方法，但下次遇到类似问题时依旧会陷入迷茫，甚至会把它当成一种新的题型继续研究。究其原因是教师未帮助学生建构明确针对某类题型的数学模型，使得学生缺乏建模思想。

二是偏重形式化的结论，忽视学生在学习过程中的体验。部分教师在教学过程中看似让学生自主探究，实际上持有一种“强加式”的学习思维。学生最终获得的知识以教师要求记忆的内容为主，并非来自学生的个人思考和建模推导，数学建模趋于形式化的现象比较突出。

三是偏重数学建模拟态，忽視学生在实际生活中的体验。部分教师在教学数学知识时，会选用生活中的事物作为教学案例，但未能充分考虑学生的实际情况，忽视了学生在实际生活中的体验，使得学生无法真正将建模思想与数学知识的实际应用结合起来。

二、小学数学教学中培养学生模型建构能力的策略

新课标将模型思想区分为“模型意识”与“模型观念”两个部分，将数学课程要培养的学生核心素养确定为“会用数学的眼光观察现实世界”“会用数学的思维思考现实世界”“会用数学的语言表现世界”，并指出模型思想的构建步骤为“问题情境—建立模型—求解验证”。学生模型建构能力的培养不是一蹴而就的，必须经历从意识到应用这样一个完整的过程。因此，如何有效引导学生掌握建模的方法，提高学生的模型建构能力，是小学数学教师亟须研究、实践和解决的问题。

（一）问题引导，培养建模意识

有学者认为，在讲解数学知识时，唯一正确的、有效的方法就是让学生自主再创造。换言之，学生要想获得数学知识，就需要不断探索。基于此，在教学实践中，教师可以不断抛出问题，引发学生的自主思考与主动探索。

以人教版小学数学六年级上册第三单元“分数除法”相关内容的讲解为例，根据教材内容，教师可以设计以下问题：“量杯里有升果汁，平均分给2个小朋友喝，每人能喝多少升？”在提出问题后，教师应给学生一定的时间思考。此前，学生接触到的都是整数除以整数，这是他们第一次接触分数除法。当学生独立探究后，他们会在脑海中形成各种解题思路。学生甲认为应让分子4和分母5同时除以整数2；学生乙认为应让分子4除以整数2，分母5则保持不变；学生丙认为应将化为小数0.8，再用0.8除以整数2；学生丁则认为可以用画图的方法解决；等等。那么，上述思路中哪一种是正确的呢？为了培养学生的建模意识，教师不应直接给出答案，而应继续抛出问题，让学生进一步思考和探索。教师可以对学生提问“究竟哪种思路是正确的呢？你们打算怎样验证？”，并指导学生用量杯量一量、分一分，对上述思路进行验证，让学生在实践操作中得出正确结论，进而归纳出分数除以整数的模型，即分母不变，分子除以整数。

在探究过程中，从探究并表达解题思路到推翻自我的假设，再到产生新的思路，都是学生自主进行的，教师只是一个推动者。这个过程中的提出假设、探究验证、解决问题等环节，能够让学生初步感知数学建模的基本过程，学会在现实生活或具体情境中将数学问题抽象化，运用数学模型解决实际问题，获得更多的经验积累，对培养学生的建模意识与模型建构能力有重要价值。

（二）实践操作，经历建模过程

数学模型一定是在实践操作之后才得到的，对于学生而言，实践操作是数学学习中极为重要的概念构建起点与基础。在实践操作的过程中，学生不仅需要具备完成具体的、实际的操作行为的能力，还需要具备观察、思考、接受、对比、沟通、解决问题等抽象的数学能力。

以人教版小学数学五年级上册第六单元的“平行四边形的面积”这部分内容为例，学生可能会提出以下两种平行四边形面积的算法：一是将平行四边形放置于透明方格纸上并描边，然后通过数方格的方式计算平行四边形的面积；二是用剪刀裁剪平行四边形，将其拼成长方形再计算面积。在这个过程中，有的教师会直接通过课件演示裁剪的过程（见图1中的图示①和图

示②），再让学生计算平行四边形面积，但这种方式无法让学生获得更深的感悟。因此，教师应该给学生动手操作的时间。并且，教师会发现每个学生裁剪的过程是不一样的。学生会用不同的方式剪开平行四边形两边的三角形（见图1中的图示③和图示④），但无论怎样裁剪，最终都能拼成一个长方形，并且长和宽都分别对应平行四边形的底和高。由此可见，学生只有自己动手裁剪了，才能通过独立思考、自主操作、小组讨论、总结反思等，充分、深入地理解平行四边形面积计算公式的推导过程。这样的实践操作能强化学生的数学思维，有助于提高学生的模型建构能力。

（三）逻辑严谨，完善建模结论

从狭义上讲，数学建模是针对某种特定问题而建立数学模型的过程，这个过程往往是从普遍的现象中发现一定的规律，再推导到特殊情况，从而使所建构的数学模型面对所有情况都成立。在具备初步的模型意识和实践能力后，学生需要在教师的引导下，逐步形成严谨的逻辑思维，完善自己建立的模型。

以“画一个长6厘米，宽4厘米的长方形，再把这个长方形的长和宽分别增加，算一算，新长方形的面积是原来的几分之几？”这道题为例，学生通过计算能得到新长方形的面积是原来的。此时，教师可以继续对学生提问：“任意画几个长方形，把长和宽分别增加，再算一算新长方形的面积是原来的几分之几？”当学生再次算出时，便会有一个大胆的建模假设，即只要长方形的长和宽增加，新长方形的面积就是原来的。但这类题型的本质并不在此，而在于引导学生探究长方形长和宽扩大相同的倍数与面积之间的关系。因此，教师要追问：“如果长方形长和宽分别增加呢？新长方形的面积还会是原来的吗？”此时，学生便会探究这些数据的关系，发现长方形面积与长、宽之间的关系。接着，教师可以让学生思考“这个模型能归纳所有的长方形吗？正方形呢？”这一问题，并让学生了解模型思想必须具备从特殊到一般，再从一般到特殊这一特征，这才是真正完整、严谨的建模过程。在这个过程中，教师要引导学生发现自身思维的不足，让学生了解数学建模的内涵与本质，促使学生在思维的不断碰撞和修正中，逐渐形成模型意识，培养模型应用能力，进而提高学生的数学能力，提升学生的数学学科核心素养。

（四）有效评价，寻求建模优化

探究的目的是解决问题，但问题是否解决，离不开后续的有效评价和回顾总结。探究后的评价、反思、总结与回顾等环节，看似并非必要环节，实际在帮助学生总结经验、优化建模方法等方面有着不容忽视的作用。

例如，在教授人教版小学数学五年级上册第五单元的“用字母表示数”相关内容时，教师可以让学生解答课本上的一道例题（图2）。学生在填写表格后会发现，每增加一个三角形就需要增加2根小棒，如果用a表示增加的三角形个数，那么共用小棒的根数就是3+2a。这正是这节课需要学生发现的结论，从中会衍生出摆正方形、正五边形、正六边形等一系列题目。但笔者发现，部分学生往往分不清“第几个图形”和“增加几个图形”，具体问到“第5个三角形需要几根小棒”时，部分学生可能会写作3+2×5，这其实是错误的，a表示增加的三角形个数，这里的a应该是4。因此，当问到第n个图形有几根小棒时，学生应该写3+2（n-1），化简得到2n+1。这一模型也可以直接理解成除第一个三角形外，其余每个三角形都用到了2根小棒，二者虽然结果一样，但后者在思维过程上却更容易理解，这便是模型优化的过程。学生在建模时往往会从容易理解的角度一步步推导出模型，此时，反思和评价就显得尤为重要。此外，圆的面积公式、圆锥的侧面积公式等，学生对这些公式的推导，都是在第一次建模之后根据结果反思、总结，继而得到一個更为简便的模型。

（五）融入生活，提倡建模应用

随着教育改革的深入，当前的数学教学越来越强调数学知识的情境化和生活化。教师在培养学生的模型建构能力时，要结合生活实例完成教学知识的整合，让学生在具体的数学知识应用中区分数学现象，明确数学结构、数学关系、数学定理、数学性质之间的统一性与辩证性。需要注意的是，在引导学生获得全新的数学知识之后，教师需要留给学生足够的时间，让学生自主完成数学知识的验证。在此过程中，教师需引导和启发学生发现拓展性数学知识，进而自主地解决问题，不断地强化自身的模型意识，提高模型建构能力。

以小学数学应用类题型中的“植树问题”为例，在解“在一个周长为400米的圆形池塘的岸边每隔4米栽一棵白杨树，一共能栽多少棵白杨树？”这一题时，教师可以基于真实的户外环境进行教学实践，带领学生前往公园观察相应的植树场景。此外，教师还可以提出其他类似的应用问题，引导学生强化模型意识，让学生掌握数学知识和现实生活的关系，以培养学生的模型建构能力，让学生在实际操作中将数学知识应用于生活，进而提高学生解决问题的能力。

（作者单位：昆山市玉山镇振华实验小学）