例谈破解双变量函数问题的几个“妙招”

刘启

双变量函数问题通常会要求根据已知条件，求某个函数式的值或最值.解答这类问题，需将问题中的关系式与所学的函数、导数、不等式、方程、三角函数等知识相关联，运用相关的性质、定理、公式进行求解.下面结合一道双变量函数问题来探讨一下解答此类题目的通性通法.

一、消元

消元法是解答双变量问题的基本方法.解题时需将已知关系式变形，用一个变量表示另一个变量，并将其代入目标式中，这样目标式中就只含有一个变量，那么问题就转化为单變量函数问题，再利用基本不等式或函数的性质即可解题.

二、整体代换

整体代换法是指将函数中的某个式子看作一个整体进行代换.在解答双变量问题时，往往可以引入一个变量，将式子中出现次数较多的式子，或与已知关系式有关联的式子用一个新变量替换，从而将问题转化为关于新变量的函数问题，利用函数的性质或基本不等式，即可快速解题.

三、三角换元

三角换元法常用于解答双变量函数问题.在解题时，需根据三角函数中的公式和已知关系式，用sinx，cosx，tanx 替换变量，将目标式转化为三角函数式，这样便可通过三角恒等变换化简目标式，利用三角函数的性质快速求得问题的答案.

总之，解答双变量函数问题主要有两种思路，一是将函数式进行合理的变形，运用基本不等式求解；二是合理处理两个变量之间的关系，可通过代换、消元、指定主元等方式，将双变量函数问题转化为单变量函数问题，利用函数的性质、导数的性质求解.

（作者单位：江苏省响水中学）