谈谈求解含参指对不等式恒成立问题的两种思路

李自留

含参不等式恒成立问题往往较为复杂.含参指对不等式恒成立问题的难度较大，侧重于考查同学们的分析、运算能力.本文结合一道含参指对不等式恒成立问题，谈一谈解答此类问题的思路.

例题：已知实数 λ>0 ，若对任意 x>1 ，不等式λe λx ≥lnx 恒成立，求实数 λ 的取值范围．

本题看似简单，实则难度较大.题目中不仅涉及指数式“ e λx ”和对数式“ lnx ”，而且涉及参数“ λ ”，需将问题转化为函数问题，利用函数的图象和性质来求解.

一、利用函数的性质

解答含参指對不等式恒成立问题，通常需根据不等式的结构特征，构造合适的函数模型，将问题转化为函数最值问题，如将 f（x）≥a 恒成立转化为 f（x） min ≥a ，将 f（x）≤a 恒成立转化为 f（x） max ≤a .然后对函数求导，讨论导函数与0之间的关系，判断出函数的单调性，求得函数的最值，从而确定参数的取值范围.

可见，解答含参指对不等式恒成立问题，需从函数的图象和性质入手，根据不等式的结构特征，将其进行合适的变形，以构造出不同形式的函数，通过研究其函数的性质、图象，来获得问题的答案.

（作者单位：山东省单县第二中学）