基于探究能力发展的操作课教学实践——以“正方形的割补问题”为例

浙江体育职业技术学院 (311200) 徐羽

《义务教育数学课程标准(2022 年版)》提出,选择能引发学生思考的教学方式,改变单一讲授式教学,注重发挥情景设计与问题提出对学生主动参与教学活动的促进作用,使学生在活动中逐步发展核心素养[1]. 基于此,发动学生自主思考,积极动手探究成为初中数学课堂不可或缺的重要教学形式. 基于探究能力发展的视角进行操作课的设计,有助于体现数学知识的学习规律,提高学生的应用能力、创新能力.

1 内容和内容解析

1.1 内容

素材出自浙教版八年级下册课本第五章“特殊平行四边形”的第3 节“正方形”课后的设计题,如图1 所示.

1.2 内容解析

浙教版教材中“设计题”设置的初衷是为学生提高分析和解决问题的能力,并在数学中进行探索、实践和创新提供了机会[2].

在同版教材八年级上册课本第二章“特殊三角形”的第7 节“探索勾股定理”中同样安排了设计题,主题是勾股定理的证明. 教材配套的教学参考书中建议教师借此设计题介绍毕达哥拉斯的证明方法(借助正方形的剪切组合). 两道设计题都用到了正方形剪拼前后面积的不变性,上下册的内容遥相呼应,符合学生认知的螺旋上升结构.

2 学生学情分析

学生已经完成了平行四边形、特殊平行四边形章节的学习,具备在正方形中借助勾股定理寻找或构造特定长度线段的能力.

纸片的拼剪对学生来说是非常熟悉且有趣的游戏. 不过,剪切之后如何拼成正方形,而且剪痕(分割线)数要最少,这需要学生将实际问题转化为数学问题并进一步思考. 学生具备一定的自主探究与合作学习能力,但是如果问题解决的参与度不高或者不完整的话,在利用已知方法解决新问题以及提出新想法方面会有所不足.

根据以上分析,确定本节课的教学重点: 确定分割线(剪痕),形成解题思路;教学难点: 将实际问题转化为数学问题并能进行类比迁移.

3 教学目标设置

本节课教学目标设置如下:

(1)通过剪拼活动前后的寻找分割线以及事后问题的证明,复习特殊四边形相应的知识内容;

(2)借助方格纸,引导学生“以形定数”,总结“分割线”的寻找思路,培养学生的推理归纳能力;

(3)通过问题串的设置,将问题中的数量关系由特殊过渡到一般,培养学生用数学的眼光发现问题,通过知识的迁移,“以数驭形”,提高解决问题的能力.

4 教学策略分析

美国研究者Tulving 在研究重复测试和重复学习对记忆的不同影响中发现,学习-测试-测试-测试(STTT)模式在记忆效果上优于学习-测试-学习-测试(STST),而学习-学习-学习-测试(SSST)模式效果最差. 在深度理解效果上则是STST〉STTT〉SSST.心理学中测试效应告诉我们, 课堂学习满堂灌,课后辅以作业练习是低效率的学习模式. 教师应当合理安排方法总结的时间节点,通过设置同层次的不同问题和同一问题的不同层次表述来调动学生学习的积极性,借助心理效应,达到更好的学习效果.

操作性的数学实践课堂,要让学生动手更要让学生动脑.通过实践帮助理解,理解之后又能进一步指导实践. 要达到这一目标,需要提高学生的参与度,让尽可能多的学生更为完整地参与到问题解决的全过程当中.

5 课堂展示过程

课前向学生发放印有大小相同正方形格子的A4 纸和空白A4 纸以及一张平行四边形纸片(角)各一张.

5.1 问题提出

问题1: 怎样用最少的分割线把一个平行四边形纸片割补成一个矩形?

预设学生能很快作出分割方案: 如图2 所示.

讨论: 如果没有“用最少的分割线”这一条件,会有什么影响?

形成想法: 如果没有限制条件的话可以“随意”割补,剪几刀都可以. 那样目标矩形的形状不再唯一,但是面积不会改变.

问题2: 怎样用最少的分割线吧一个矩形割补成含有角的平行四边形?

预设学生能够较快作出分割方案: 如图3 所示.

讨论: 结合这这两题总结你是怎样想到这些分割线的?请选择其中一个问题证明最后割补的图形符合目标图形要求.

形成想法: 抓住起始图形和目标图形的几何特征,借助分割线在起始图形上构造目标图形的关键元素后进行割补.

设计意图: 起始的问题相对容易. 在解决问题的过程当中,让学生明确“用最少的分割线”这一条件的意义,与此同时,明确了面积这一重要几何量在此类问题中的不变性. 要求学生给出证明目的是引导学生将拼剪过程当中的数量关系提取出来并明确解决问题之后是需要推理论证的,这是与日常剪纸游戏不一样的地方.

5.2 问题对比

问题3: 如何用最少的分割线把一个长为2 宽是1 的长方形纸片割补成一个正方形? 请用发下来的方格纸尝试.

预设学生能较快作出分割方案: 如图4 所示.

问题4: 图5 是由8 个全等的边长为1 的正方形构成的图形. 能否只剪两刀,将它分成三块,拼成一个大正方形?

预设学生通过讨论交流,合作尝试,在问题3 的基础上明确: 借助面积的不变性,得知目标正方形的边长为由此可见,剪痕应为2×2 方格的对角线. 最后可以给出分割方案. 如图6 所示.

设计意图: 通过问题3,引导学生通过数的思考引导解决形的问题. 问题4 难度增加了,所以明确剪两刀分成三块组成大正方形,以求降低问题难度,让学生围绕数形结合的思考难度相对一致且更为连续. 学生通过几个问题的尝试,已经熟悉“找——剪——拼”这一操作流程. 通过角度与长度两方面特征来确定分割线,通过对互余或者互补角的组合以及相等边的重合来完成大正方形的拼图.

5.3 独立尝试

问题5: 图7 都是由5 个边长为1 的正方形构成的图形,任选一种图形用最少的分割线将其剪拼成一个大正方形.

设计意图: 问题5 的设置是一方面为了学生可以全员参与,让每一个同学可以自主选择问题,独立的完成问题提升了问题的解决能力也提高了信心. 动作快的同学可以完成多个图形的剪拼. 同学之间亦可相互比对. 另一方面,通过对5个小正方形的不同排列方式,让学生在确定长度为的剪痕中比较不同的拼剪方法.

5.4 问题提升

问题6: 如图8,一大一小两个正方形,请用最少的分割线将其剪拼成一个大正方形并给出数学证明.

经过之前五个问题步步铺垫,层层推进,此时给出设计题的最后一问. 会有学生注意到问题5 中的两层图形和这个问题形状极其相似. 不同之处在于前者大正方形面积恰为小正方形面积的4 倍,而后者更具有一般性,正方形的边长关系不再确定.解决该问题,需要学生将实际问题进一步抽象,在前题所得经验基础上抓住问题的前后联系点,运用类比手段,迁移解题方法,进一步提高数学知识的应用能力.

预设部分学生可以给出拼割方案,如图9 所示.

5.5 课堂总结及作业布置

小结: 在今天的拼剪活动中,你有那些收获?

(1)类比归纳简单问题,会给解决复杂问题带来思路;

(2)数与形是一体两面的关系. 图形中暗含有数或者数量之间的关系,还可以依靠数来思考图形问题;

(3)剪切问题不是仅仅依靠尝试就可以的,需要数学的思考找到最少的分割线,完成后要通过数学证明来检验.

作业布置: 图10 所示为三个全等的正方形构成的几何图形,请你切成最少的块数,使其能拼成一个大正方形. (答案如图11)

设计意图: 学生的探究活动不应该随着课堂的结束而结束. 该作业题不再提及正方形的边长(对比问题5),相信此时学生已经心中有“数”,会主动以数驭形,完成拼剪要求. 虽然正方形的个数在减少,但是问题的复杂程度在增加. 由此题所引,部分同学会去思考如果正方形的个数是其他数目的时候,又会出现怎样的拼剪方案.

6 教学反思

课堂教学方式应当是多种多样,多姿多彩的. 或注重启发引导,或强调合作探究,不一而足. 丰富的教学方式,多样的教学手段,合理的问题编排,目的都是让学生可以在实践、探究、体验、反思、交流等学习过程中积累活动经验、感悟基本思想[1].

当数学课堂上有机会让学生“动手”探究且活动可以伴随课堂始终的时候,如何不失时机的让学生“动脑”? 如何设置问题让学生更好地经历数学观察、数学思考、数学表达? 如何通过引导,让学生体会到数学是认识、理解、表达真实世界的工具? 相信只要教师在教学过程当中,积极思考,精心准备,勇于尝试,定会给出美丽答卷,让我们的学生在获得解题经验的同时也能提升数学智慧,发展核心素养.