试析高中数学命题教学中的先行组织者*

广东省广州市花都区教师发展中心 (510800) 李桃

《普通高中数学课程标准(2017 年版2020 年修订)》中指出: 教师要把教学活动的重心放在促进学生学会学习上,积极探索有利于促进学生学习的多样化教学方式;教师要善于根据不同的内容和学习任务采用不同的教学方式,优化教学,抓住关键的教学与学习环节,增强实效[1]. 美国教育心理学家奥苏贝尔提出的先行组织者理论旨在构建能激发学生主动学习的有意义学习,恰好契合新课程所倡导的教学理念.

1 先行组织者的内涵

奥苏贝尔首次给出“先行组织者”的经典定义: 先于学习材料之前呈现的,在概括与包容水平上高于新的学习材料的引导性材料. 他认为先行组织者要比新材料要更具抽象性、概括性和综合性,并能清晰地反映学生认知结构中原有的知识原式与新的学习任务之间的联系[2]. 奥苏贝尔本人以及后来的研究者发展了这一概念使之更加宽泛, 在呈现顺序上,先行组织者不仅可以在学习新材料前呈现,也可以在过程中和之后呈现;在包摄性上,先行组织者既可以高于学习材料,也可以低于学习材料. 但都要求先行组织者与新知识有实质性的联系,并能促进新知识的学习、保持[3].

2 高中数学命题教学

所谓数学命题,指的是数学真命题,其外延就是数学课程中的数学公理、定理、数学公式、法则、数学对象的性质等.根据广义知识学习三阶段(习得、巩固和转化、迁移和运用)模型,命题习得阶段包含注意与预期、命题获得两个环节. 喻平教授指出命题获得的基本模式包含结果型、发生型和问题解决型[4]. 根据高中数学命题的特点及教学要求,高中数学命题获得的常用模式是问题解决型和发生型(见图1、图2).

图1: 提出问题→解决问题→获得命题

问题解决型命题教学模式,其基本思想是把命题还原为一个抽象的数学问题,通过解决问题而得到命题的教学模式.解决问题的过程对于发展学生的批判思维,提高逻辑推理能力,培养学生的创新意识有积极作用.

图2: 先行组织者→推理→证明→获得命题

发生型命题教学模式,其基本思想是引导学生去经历知识产生的过程,为形成命题域和命题系建立认知基础. 常用策略是设计先行组织者,引导学生去感知、体验、概括、抽象,从而归纳出命题,再分析证明思路,写出证明过程. 这一教学模式有利于培养学生的归纳推理能力、逻辑推理能力等.

3 命题教学中的先行组织者

结合国内外对先行组织者的研究成果及实践思考,课题组对先行组织者作出大致的分类. 按照引导性材料在命题教学过程中发挥的教学功能,将先行组织者分为导学性、导思性、导知性、整合性这四类;按照其呈现形式,进一步细分有陈述式、问题式、任务式先行组织者. 接下来,笔者以命题习得阶段的两个环节及巩固阶段为主线,通过五个教学案例对各类先行组织者的内涵进行阐述,与专家同行交流.

3.1 导学性先行组织者

在命题习得阶段的注意与预期环节,为激发学生对一个单元、一节课或一个知识点产生积极的学习心向,帮助学生建立新旧知识的联系,促进学生对知识的主动建构,为此所设计的引导性材料统称为导学性先行组织者,分为导学任务式、导学陈述式.

3.1.1 导学任务式

这种导学任务式先行组织者是基于新旧知识的联系而提出的学习任务,能引起学生的认知冲突. 一方面,藉此可以激发学生对学习新知识的预期,另一方面,这种联系对新知识的探索具有导向作用.

案例1 “两角差的余弦公式”教学片断

教师布置任务: 已知α为任意角,请将以下式子进行化简.

学生利用诱导公式能够将①②两个式子化简, 对于③④两个式子有着多种不确定的猜测. 教师引导学生认识: (1) 运用诱导公式有特殊限制, 有必要去探索任意两角差公式. 此时, 教师提出本节课的中心问题: 对于任意角α,β,cos(α-β)与α,β的三角函数值有什么联系? (2)诱导公式是任意两角差公式的一类特殊情形. 基于这样的联系,可以将探索诱导公式的经验迁移运用到探索任意两角差余弦公式[5].

3.1.2 导学陈述式

这种导学陈述式先行组织者是教师呈现给学生的一段材料(文字、图表、视频等),帮助学生建立对本单元或本节课(其中包括内容结构、基本思想和特点等)的整体性认识. 这种整体性认识随着学习的深入,学生将习得的知识置于初期轮廓的适当位置归类并固定下来,这样既可以促进新的学习开始,又可以防止归类以后的消失,这有助于学生良好认知结构的形成和发展.

案例2 “平面向量及其应用”教学片断

教师指导学生阅读教材上的章节引言, 学生可以明确:(1)本章的研究对象: 平面向量(既有大小又有方向);(2)研究内容: 概念;运算法则及运算性质;应用;(3)研究方法: 类比、数形结合等.

3.2 导思性与导知性先行组织者

在命题习得阶段的获得环节,为促进学生主动思考探索,积极参与获得知识的过程,在问题解决型、发生型命题获得模式中设计的引导性材料分别统称为导思性、导知性先行组织者.

3.2.1 导思性先行组织者

对于问题解决型命题获得模式,关键是启发学生找到解决问题的方法. 当问题难以直接解决时,教师要根据学生认知水平设计恰当的导思性先行组织者. 学生经历完成一项具体任务,或者通过阅读一段材料,从中抽象概括出解决问题的方法,再将方法迁移运用到解决一般问题. 对应的任务、材料分别称为导思任务式、导思陈述式先行组织者.

案例3 “等差数列前n 项和公式”教学片断,2 种技术路线

(1)导思任务式

教师在提出本节课的研究主题后,给出求具体的等差数列之和的任务为先行组织者.

如下图所示,建筑工地上堆放着一堆钢管,最上面一层有4 根,下面每一层比上一层多一根,共7 层,请计算这一堆钢管的总数.

（49）伏願神明如在，盻蠻來臨。鑒此際之精虔，削多生之罪對。（《北極真武佑聖真君禮文》，《中华道藏》30/587）

学生用算术的方法很容易得到运算结果,教师引导学生观察图形,学生容易观察到梯形区域中的部分区域是平行四边形,这部分容易计数. 教师顺势让学生回顾梯形与平行四边形的关联. 梯形面积公式的推导采用“平行倒置”的策略.学生将形的“倒置”迁移到数式的“倒序”,可自行推导出等差数列前n项和公式

(2)导思陈述式

教师在提出本节课的研究主题后,呈现以下阅读材料为先行组织者.

我国南宋数学家杨辉提出了这样一个问题:“今有圭垛草一堆,顶上一束,底阔八束,问共几束? 答: 36 束. ”他的计算方法可以用下图来表示.

杨辉设想有另外一堆同样的草,将其倒置,并和原来的草堆拼在一起,这就得到8×9 的草堆,一共72 束,因此原来的草堆共有36 束. 学生通过分析计数方法,可明确关键因素是各行的数量依次构成等差数列,即可采用“平行倒置”的策略计数. 学生将形的“倒置”迁移到数式的“倒序”,可自行推导出等差数列前n项和公式

3.2.2 导知性先行组织者

对于发生型命题获得模式,关键是设计出符合逻辑,适切的导知性先行组织者. 学生在问题链的启发下,逐步发现新命题,或者发现新旧命题之间的联系,由旧命题推理得到新命题; 又或者学生根据阅读材料(操作实验)归纳出新命题. 对应的问题链、广义的阅读材料(操作实验)分别称为导知问题式、导知陈述式先行组织者.

案例4 “对数函数的图象与性质”教学片断,2 种技术路线.

教师设计以下问题链:

问题1. 从运算的角度看,同底的对数函数与指数函数有怎样的联系?

问题2. 以上联系反映到两者的函数图象上有什么几何意义?

学生根据两个函数的自变量与函数值的关联,由点的对称可知同底的指数函数与对数函数的图象关于直线y=x对称. 由此,学生可以根据指数函数图象作出同底的对数函数的大致图象,进而对照指数函数的图象与性质,梳理出对数函数的图象与性质.

(2)导知陈述式

利用计算工具画图,将底数a作为变化的控制量,教师

给学生演示动态图象或者学生动手操作. 学生观察这些图象的位置、公共点和变化趋势,类比指数函数的图象与性质,归纳出对数函数的图象与性质.

3.3 整合性先行组织者

在命题巩固阶段,教师引导学生辨别新旧命题的区别与联系,利用学习任务帮助学生形成命题域、命题系,这都有利于学生将新旧知识整合到认知体系中, 不断完善认知结构,促进记忆的保持和增进. 这类学习任务或问题统称为整合性先行组织者.

案例5 “基本不等式”教学片断

由重要不等式推导出基本不等式后,教师布置以下2 个学习任务.

任务1: 在圆O中,AB是圆的直径,点C是AB上的动点,AC=a,BC=b. 过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD,BD. 请在这个图形中对基本不等式进行解释说明.

学生完成任务1,则获得基本不等式的几何表征,直观形式有助于学生理解记忆这个命题.

任务2: 已知a,b∈R,请证明

学生完成任务2,一方面,基本不等式与这个常用不等式组成一个命题域,帮助学生形成系统的认知结构,另一方面,教师引导学生对从试误到顿悟的解答过程进行反思,有利于深化学生对基本不等式与重要不等式的准确认识.

结束语

在高中数学命题教学中,教师应以课程标准中对命题的教学要求和学生认知水平为依据,制定恰当的命题教学方案,以促进学生主动参与命题的学习过程;以深刻理解命题本质为目的,合理设计先行组织者,发挥好先行组织者的桥梁作用、导向作用,切实提升命题教学的实效,发展学生的核心素养.