基于“微项目”教学理念的中学数学探究活动设计*

贵阳市第四十一中学 (550007) 李龙梅

1 问题提出

项目学习理论(PBL)是一种基于建构主义理论、发现学习理论、实用主义理论而发展的一种学习理论,近年来项目学习理论由于其于发展学生核心素养的教学理念契合,而逐渐演变成当前教育研究中的热点[1].然而项目学习由于时间跨度大、评价难度大、教学参与度低,无法较好的融入到常态教学之中,因此项目学习理论虽然研究热度高,但距离真正为发展我国学生核心素养做出贡献还较远[2].基于上述问题,“微项目”教学理念应运而生,“微项目”教学理念是在吸收项目学习理论中优势的基础上,结合我国常态教学的基本情况而开发出来的教学理念,通过“微项目”理念可以让学生经历知识探究的过程,实现将“冰冷的数学”转化为“火热的思考”,发展学生的数学核心素养[3].

复数乘法的几何意义是复数作为数学研究工具的重要手段, 特别是在处理几何旋转问题时有着无可比拟的优势.在《普通高中数学课程标准(2017 年版)》中,复数的三角表示作为选学内容呈现,不做为学业考试的要求[4].因此在教学实践中许多教师由于往往有所忽略,使得学生对复数的认识局限于解无实数根方程以及复数简单的四则运算,不能同向量那样作为研究工具加以运用. 此外,复数乘法的几何意义中蕴含了许多宝贵的思想方法,是发展数学学科核心素养的重要来源. 基于此,本研究运用“微项目”教学理念,对复数乘法的几何意义进行开发,设计数学探究活动,旨在通过数学探究活动, 让学生经历复数乘法的几何意义的发现过程,培养学生的类比思想、转化与化归思想,体会“复数”作为数学工具的妙用,提高学生的学习兴趣.

2 “微项目”教学理念概述

“微项目”教学是指以学科核心概念为中心, 以微型项目为载体,引导学生的情境问题中开展一系列探究活动的教学.“微项目”教学主要涵盖四大元素: 内容、情境、活动和结果.[5]

内容是指依据课程标准、教科书,对教学内容的学科核心概念加以提炼,抓住教学内容的本质以及探究数学知识过程所运用的思想方法. 情境是基于对学科核心概念的把握,从现实世界中挑选能体现学科核心概念的真实情境. 活动以学科核心概念为统领,对学科核心概念的抽象程度分别设计不同的不同目标的数学活动,让学生逐步接近数学知识的本质,形成对数学知识的本质理解. 结果是指基于“微项目”学习获得的知识的应用,以及整个学习过程过程中形成的数学小论文、数学研究报告、数学日记等.

3 复数乘法的几何意义数学探究活动设计

3.1 复数乘法的几何意义的内容分析

复数乘法作为数学工具主要解决的是几何平面中的旋转问题,如点关于点的旋转、直线绕点旋转等,而这些问题虽然向量也可以解决,但运算过程较为繁琐,也因此凸显了复数乘法的几何意义作为数学工具的重要性,因此整个探究活动的核心概念应以旋转为统领. 复数乘法的几何意义的知识发生基础是实数乘法的几何意义,其中需要从符号和数量两个角度来考虑,如1×1,1×(-1),1×2,通过对比发现乘法在坐标轴上点的变化可以归纳出乘法的几何意义: 符号代表了点的对称变换(正不变,负对称变换),数量代表了点的伸缩变换. 如果从点运动的角度看,可以认为负号在乘法中的几何意义就是点绕原点O旋转180°. 在实数乘法的几何意义上,复平面中结合i 的定义分析i 作为乘法的几何意义.

i2= -1, 为使等式右边具备几何含义, 将等式拓展为1×i×i=1×(-1),从等式的右边看,其几何意义就是点(1,0)绕原点O旋转了180°,而等式左边进行了两次i 的乘法运用,如果把i 看作一次旋转,容易推出乘以一次i 就是旋转了90°. 那么这个旋转是方向是什么呢? 观察1×i = i,将式子拓展为复数形式: (1+0i)i = 0+1i,可以得出复平面点(1,0)经过i 变换后得到(0,1),也就是说,一个复数乘以i 的几何意义为该复数在复平面对应的点绕原点O逆时针旋转了90 度. 这一过程可以让学生进行猜想.

那么如何证明这个结论呢? 可以从复数三角形式来进行证明:

z1=r1(cosα+ i sinα),z2=r2(cosβ+ i sinβ),z1、z2在复平面对应的点P、Q, 则分别为模长为r1、r2, 与实轴正半轴的夹角为α、β. 容易验证,z1z2=r1r2(cos(α+β)+i sin(α+β),也就是说,z1乘以z2的几何意义可以理解为:z1在z2的作用下进行了长度为r2的伸缩变换和角度为β的逆时针旋转变换. 若z2= i, 则r2= 1,β= 90°,即不做伸缩变换,仅做逆时针90°的旋转变换. 这一过程可以让学生结合所属知识加以证明.

在得到了复数乘法的几何意义后,如何用于实践呢? 并从中体会复数工具处理旋转问题的优势呢? 可以从现实情境中的图像处理问题来开发.

例1: 图像处理软件可以对图片进行任意角度的旋转和缩放,请根据你所学的知识,解释图片处理操作背后的数学原理.

(1)将图片逆时针旋转60°;

(2)将图片放大两倍并逆时针旋转90°

解析: 根据复数乘法的几何意义,上述问题的本质都是图片所有的点对应在复平面上的复数同时乘以复数z,其中(1)z=cos 60°+i sin 60°,(2)中z=2(cos 90°+i sin 90°)

设计意图: 通过图像处理软件的常见操作,让学生运用探究出的数学知识去解释现实现象,发展学生的应用意识.

基于例1 的铺垫,可以提出更为抽象的问题,发展学生运用复数解决几何问题的能力.

例2: 已知点P(3,4),求点P绕原点O旋转60°所得的点Q的坐标.(分别用向量法和复数法)

通过此问题的探究可以让学生体会复数解决旋转问题的优越性.

然而在实际问题中,点的旋转大多数情况是不以原点O为旋转中心的,那么此时该如何处理呢? 通过例3 探究,发展学生的转化与化归思想.

例3: 已知点P(3,4),求点P绕点M(2,1)旋转120°所得的点Q的坐标.

解析: 可以通过构建以M(2,1) 为原点的新的坐标系,将原来坐标系的点迁移到新坐标系中,再运用例1 的方法即可解决.

3.2 情境创设

数学探究活动的情境创设需要符合数学学科的特点,因此在创设情境时, 可以用现实中的真实情境作为情境素材,也可以用数学知识的比较作为情境创设[6].如教材中的数学探究活动“用向量法研究三角形”的性质,通过运用向量法证明勾股定理,说明向量法在证明几何问题时的优势,从而引发运用向量法证明三角形性质的探究. 复数乘法的几何意义是对复平面内点的旋转变换,因此可以通过梳理向量法能解决的几何问题,发现向量法解决旋转问题的短板,从而引出探究复数乘法的几何意义的必要性. 基于上述分析,情境创设如下:

我们通过学习向量,运用代数方法解决了平面几何问题中的点、线的平移问题、线段长度问题、直线的夹角问题、直线的平行和垂直判定,并且还运用向量法的运算性质证明了三角函数的正弦定理和余弦定理,体会了向量这一数学工具的威力. 然而我们一直在回避一个基本的问题,那就是旋转.旋转作为图形变换的基本方式之一,是平面几何问题的重要研究领域. 如问题:

已知点P(3,4),求点P绕原点O旋转60°所得的点Q的坐标.

分析: 设Q(x,y), 则由于旋转模长不变, 根据题意有且x2+y2= 25. 显然方程存在两个解,这是由于cos 60°= cos(-60°),但事实上题目仅有唯一解. 从运算量上看,设计一元二次方程的求解,运算量较大.

可以看到,运用向量法解决点的旋转问题不仅计算难度较大,而且得到的结果也不唯一,这也是为什么我们一直回避旋转问题的原因. 那么究竟有什么数学工具可以帮助我们比较简单的处理旋转问题呢? 那就是我们学习的复数,复数的作用不仅仅是解方程, 我们在学习了复数的三角表示后,发现复数和角有着紧密的联系,这节课我们将通过探究复数乘法的几何意义,掌握解决旋转问题的核心工具.

3.3 数学活动设计

根据布鲁纳的发现学习理论,结合数学学科特点,数学活动设计的总体价值取向是让学生经历知识发现的过程,让学生经历“发现问题—提出猜想—证明猜想—实践应用”,发展学生的数学核心素养和理性精神[7]. 因此整个“微项目”的数学活动以“旋转”为核心,注重学生运用类比思想和转化与化归思想分析问题和解决问题的能力. 具体活动见表1.

表1 复数乘法的几何意义“微项目”活动表

3.4 活动要求与结果评价

数学探究活动的过程中应以自主探究和小组合作相结合的方式进行[8],具体为学生个人前期应尝试独立思考,整理出自己思考的结果和存在的疑问,之后小组内部进行交流探究,形成对问题的统一认识,最后再小组之间进行交流展示,分享自己小组的研究成果.

在探究活动结束后,可以让学生围绕整个探究活动写一篇数学日记,内容涵盖问题的发现、猜想的过程、验证证明的过程、具体应用以及整个探究过程中对数学的感悟.

4 结语

研究基于“微项目”教学理念,以复数乘法的几何意义作为探究对象,通过内容分析确定“旋转”为核心,“类比思想”和“转化与化归思想”为指导思想,从内容、情境、活动、结果四个环节进行探究课的设计. 研究的意义在于通过“微项目”教学理念的设计, 将原本复杂的知识加以组织使其结构化,学生在学习的过程中不仅深入了解复数乘法的几何意义的本质,而且在探究的过程中发展学生的核心素养和理性精神.