变式教学锤炼思维——对2023 年一道函数与导数高考题联想探究

安徽省太湖中学 (246400) 李昭平 安徽省岳西中学 (246600) 查美玲

1 试题简析

题目(2023 年新课标Ⅰ卷第19 题) 已知函数f(x) =a(ex+a)-x.

(1)讨论f(x)的单调性;

(2)证明: 当a＞0 时,

本题第(1)问讨论f(x)的单调性, 考查导函数的符号,对参数a分类讨论即可,属于基本问题. 第(2)问则是含有参数a的指数函数和正比例函数的复合型函数问题,考查函数不等式的证明,也是常见的问题. 对此题做联想探究,获得以下结论.

2 联想探究

2.1 逆向思考

◆ 对高考题中的第(1)问作逆向思考,题设与结论互换并适当改变,得到

联想1若函数f(x) =a(ex+a)-x在(-∞,0)内单调递减,则实数a的取值范围是____.

解析依题意f′(x) =aex-1 ≤0 对∀x∈(-∞,0)恒成立,即所以a≤1. 故实数a的取值范围是(-∞,1].

联想2若函数f(x) =a(ex+a)-x在(0,+∞)内单调递增,则实数a的取值范围是____.

解析依题意f′(x) =aex-1 ≥0 对∀x∈(0,+∞)内恒成立,即所以a≥1. 故实数a的取值范围是[1,+∞).

◆ 对高考题中的第(2)问作逆向思考,题设与结论互换,得到

联想3已知函数f(x) =a(ex+a) -x. 若f(x)＞在x∈R 上恒成立,则实数a的取值范围是____.

2.2 改变条件

◆ 将高考题中的条件变为“f(x)的最小值为2”,则得到

联想4若函数f(x) =a(ex+a)-x的最小值为2,则实数a的值是____.

解析易得f(x)min=f(-lna) = 1+a2+lna. 因此1+a2+lna=2,a2+lna-1=0. 令g(a)=a2+lna-1,a＞0. 则,g(a)在(0,+∞)内单调递增. 又g(1) = 0,所以a2+lna-1 = 0 有唯一解a= 1. 故实数a的值为1.

◆ 将高考题中的条件变为“关于x的方程a(ex+a)-x=2 有且仅有一个实数解”,则得到

联想5若关于x的方程a(ex+a)-x=2 有且仅有一个实数解,则实数a的取值范围是____.

解析令g(x) =a(ex+a) -x- 2, 依题意g(x)有且仅有一个零点.g′(x) =aex- 1. 则当a≤ 0时g′(x)＜0,g(x) 在R 上单调递减. 又x→-∞时g(x)=aex+a2-x-2→+∞,且g(a2-2)=aea2-2≤0,故此时g(x)在R 上存在唯一零点. 当a＞0 时,由g′(x)=0 得= -lna.x∈(-∞,-lna)时g′(x)＜0,g(x)单调递减;x∈(-lna,+∞)时g′(x)＞0,g(x)单调递增. 因此g(x)≥g(-lna)=a2+lna-1. 又x→-∞时g(x)→+∞,x→+∞时g(x)→+∞, 所以由a2+lna-1 = 0 解得a=1,此时g(x)有唯一零点.

综上可知,方程a(ex+a)-x=2 有且仅有一个实数解时,实数a的取值范围是(-∞,0]∪{1}.

2.3 类比引申

◆ 将高考题已知函数中的参数a变换位置, 即变成f(x)=ex+a-ax,类比引申得到

联想6已知函数f(x)=ex+a-ax.

(1)讨论f(x)的单调性;

(2)证明: 当a＞0 时,

解析(1)f′(x)=ex-a,x∈R.

①当a≤0 时,f′(x)＞0 恒成立.

②当a＞0 时, 由f′(x) = 0 得ex=a, 即x= lna.当x∈(-∞,lna) 时,f′(x)＜0; 当x∈(lna,+∞) 时,f′(x)＞0.

综上所述,当a≤0 时,f(x)在R 上单调递增;当a＞0时,f(x)在(-∞,lna)内单调递减,在(lna,+∞)内单调递增.

◆ ex与lnx是一对孪生兄弟,将高考题已知函数中的ex变成lnx,类比引申得到

联想8已知函数f(x)=a(lnx+a)-x.

3 反思启示

3.1 变式教学的价值. 以上我们从一道最新高考题出发,得到9 个联想. 在整个过程中,融观察分析、直觉猜想、逻辑证明于一体,恰当运用到复习课堂中,让学生经历一次再发现的过程,学生的解题能力和数学素养得到提高. 变式教学能将数学学科的科学之美、思维之美、联想之美、对称之美、和谐之美展示出来,增强学生的积极情感和学习热情. 这正是数学新课程倡导的教学理念和方法.

3.2 变式教学的方式. 一般有两种,一是利用课本题,剖析思路、总结方法、运用升华,即我们常说的“源于课本、变于课本和高于课本”. 在教学过程中, 对课本中一些经典的题目,要进行深刻的探究. 对于可以一题多解的题目,鼓励学生交流讨论,归纳各种方法的共性,有利于学生对数学思想的感悟和数学方法的掌握. 教师还可以引导学生进行变式训练,交换条件和结论是否依然成立,改变题目条件由特殊情况联想到一般情况是否适用等等,让学生在问题解决的过程中体会变与不变,感悟问题的本质. 教师还可以引导学生变式设疑,调动起学生的积极思维,引导他们深入思考,有效避免单一、重复的题海战术. 二是利用一些具有代表性、典型性、示范性和拓展性的好高考题或好模考题,对其思考、发掘、研究,通过特殊联想、逆向联想、类比联想、引申联想、混合联想等思维方式,锤炼数学思维,拓宽解题空间.