构建复数模型妙解数学问题

广东省中山市烟洲中学 (528401) 闫伟

《普通高中数学课程标准(2020 年修订)》中明确指出:数学源于对现实世界的抽象,基于抽象结构,通过符号运算、形式推理、模型构建等理解和表达现实世界中事物的本质、关系和规律[1]. 其中,“模型构建”是解决数学问题的一种有效途径,但是在实际教学中却较少得到重视.“模型构建”是通过对一类问题的抽象与推理,构建出解决问题的模型,实现复杂问题简单化,从解题的角度来说避免了知识的零碎化,极大提高了解题效率.

复数是高中数学的重要组成部分,尽管在高考的比重不大,但是因为复数的代数形式、几何形式、向量形式、三角形式以及指数形式与三角、几何、代数等学科有着密切的联系;其变换灵活,集数与形于一身,是我们解决数学问题的重要工具. 下面根据函数、三角函数、不等式、数列、二项式以及平面几何、解析几何试题的结构特征,建立复数模型,并运用复数及其相关知识解决高考模拟试题与自主招生试题,以期培养学生的建模素养与探究精神.

1 函数最值问题

例1已知x,y∈R, 且x+y+1 = 0, 求(x-2)2+(y-3)2的最小值.

解析令z1= (x-2)+(y-3)i,z2= 1-i,于是得到|z1|2=(x-2)2+(y-3)2,|z2|2=2,

由|z1|2|z2|2= |z1z2|2可知2((x-2)2+ (y-3)2) =((x-2)+(y-3))2,又因为x+y=-1 代入得到(x-2)2+(y-3)2的最小值为18,此时x=-1,y=0.

评注根据所给二元函数的特征,构造相应的复数,将其化成与复数模有关的问题,并利用|z1|2|z2|2= |z1z2|2解题,求解过程简捷、高效.

评注本题采用了复数换元法求函数的最值,根据三个根式的特点,都是两数的平方和,恰当的构造复数,进而结合复数的模的性质来消元求最值,复数的模的性质是解决代数问题的一大利器.

2 三角函数问题

例4若sinA+sinB+sinC=0,cosA+cosB+cosC=0. 求证: sin 3A+ sin 3B+ sin 3C= 3 sin(A+B+C);cos 3A+cos 3B+cos 3C=3 cos(A+B+C).

证明由题设条件,构造复数

根据复数相等的条件可知, sin 3A+ sin 3B+ sin 3C=3 sin(A+B+C);cos 3A+cos 3B+cos 3C=3 cos(A+B+C).

评注复数与三角函数的联系主要依赖于复数的三角形式,借助复数的辐角运算可以巧妙地解决,本题根据题设条件构造相应的三个复数,利用复数的运算性质结合复数相等的条件求证结果.

3 不等式问题

评注结合不等式左边的结构特征: 多个根式相加,根式中都是两个数的平方和, 自然联想到复数的模, 因此,构造复数借助的复数的性质: |z1| + |z2| +···+ |zn| ≥|z1+z2+···+zn|来证明,方便迅速.

4 平面几何问题

图1

图2

评注复数的几何意义是复平面上的点, 因此通过复平面可以实现复数与平面几何之间的转化; 本题根据条件AC⊥CD,AC=CD构造复数结合复数乘法的几何意义建立相应的关系式,进而求得D点的轨迹——圆,再根据D点的轨迹求得两点间的最大距离.

评注本题求解三角形的面积实质上解决D点到BC的距离问题,根据题设条件CA=CD,∠ACD= 60°构造复数利用复数的乘法几何意义建立关系,进而结合三角函数有界性求最大距离,借助复数求解使得解题过程简洁,极大降低了运算带来的复杂度.

5 解析几何问题

例 8如图 3 所示,已知A(2,0),B点为半圆x2+y2=1(y≥0)上一动点,点C在x轴上方且ΔABC是BC为斜边的等腰直角三角形,问B在何处时,O,C两点距离最远,最远距离是多少?

图3

解析设∠AOB=α(α∈[0,π]), 将平面坐标系视为复平面, 设点A,B,C对应的复数分别为zA,zB,zC,则zA= 2,zB= cosα+ i sinα, 因为AB=AC且∠BAC=90°,由复数乘法的几何意义可知

6 二项式问题

评注赋值法是解决二项式展开式中的系数和的常用方法,由已知表达式特点构造复数,通过借助复数进行赋值并结合棣莫弗公式,实现高效解题.

7 数列问题

评注本题考查了数列和组合计数原理的相关知识,难度较大,先由题设求得{bn}通项的组合数,再根据组合表达式构造相应的二项式和复数,进而结合复数的运算性质进行转化求解,较用组合知识解答避免了分类讨论的复杂性,解题过程相对简洁,明了.

结束语

以上例题足以说明构造复数模型求解数学问题的优越性,表明复数在高中数学中有着广泛的应用. 利用复数模型解题的关键是通过观察题设条件,构建契合解题需要的复数,并借助复数的相关知识进行求解,这就要求学生熟练掌握复数的有关性质并巧妙灵活地应用. 伴随着新一轮的课程改革,对学生思维能力的要求越来越高,各类试题的变化也越来也灵活,通过机械刷题已经无法适应当下的高考. 因此,教师要转变教学观念,进而增强解题的灵活性,提高解决问题的能力和数学思维的修养.