对2023 年高考新课标Ⅰ卷第21 题的探究溯源及拓展变式

江苏省南京市板桥中学 (210039) 纪明亮

2023 年高考新课标Ⅰ卷第21 题是一道概率统计题,主要考查条件概率和全概率公式及由递推关系构造等比数列.这些都是高中数学内的重要知识点. 全概率公式是在文[1]中有系统介绍.

引理[1]若事件A1,A2,···,An两两互斥,且它们的和＞0,i= 1,2,···,n,则对Ω 中任意事件B, 有这个公式称为全概率公式.

一、试题呈现

题目1(2023 年高考新课标Ⅰ卷第21 题)甲、乙两人投篮,每次由其中一人投篮,规则如下: 若命中则此人继续投篮,若未命中则换为对方投篮. 无论之前投篮情况如何,甲每次投篮命中率均为0.6,乙每次命中率均为0.8. 由抽签确定第1次投篮的人选,第1 次投篮人是甲、乙的概率各为0.5.

(1)求第2 次投篮的人是乙的概率;

(2)求第i次投篮的人是甲的概率;

(3)已知:若随机变量Xi服从两点分布,且P(Xi=1)=1-P(Xi= 0) =qi,i= 1,2,···,n,则记前n次(即从第1 次到第n次投篮)中甲投篮的次数为Y,求E(Y).

分析(1)第1 次投篮的人是甲或乙,可由全概率公式得到第2 次投篮的人是乙的概率.

(2)每次投篮人是甲与是乙是对立事件. 从第2 次开始投篮人是甲是由前一次投篮人是谁且是否投进决定的. 设i次投篮的人是甲的概率为pi,根据全概率公式建立pi+1与pi的递推关系,再由该关系构造等比数列得到pi关系式.

(3)因为甲每次投篮次数是0 或1 服从两点分布,所以根据题中提供的两点分布的期望公式只需求得的第i次投篮的人是甲的概率pi,即可算出n次投篮甲投篮次数的期望.

二、试题解答

解(1) 记“第i次投篮的人是甲”为事件Ai,“第i次投篮的人是乙”为事件Bi, 根据全概率公式得P(B2) =P(A1)P(B2|A1)+P(B1)P(B2|B1)=0.5×0.4+0.5×0.8=0.6.

三、试题溯源

这道高考题的问题背景是马尔科夫链[2], 马尔科夫链是概率统计中的重要模型, 其数学定义: 假设我们的序列状态依次是X1,X2,···,Xi,Xi+1,···, 那么Xi+1时刻的状态的条件概率仅依赖前一时刻Xi的状态, 即P(Xi+1|X1,X2,···,Xi)=P(Xi+1|Xi).

四、变式探究

题目2设k个人进行相互传球游戏,每个拿球的人等可能地把球传给其他人中的任何一位,k≥3,初始时球在甲手中,第n次传球之后,

(1)球回到甲手中的概率是多少?

(2)记前n次(即从第1 次到第n次传球)之后球在甲手中次数为X,求E(X).

五、拓展延伸

马尔科夫链的推广设我们的序列状态依次是X1,X2,···,Xi,Xi+1,···, 那么Xi+1时刻的状态的条件概率依赖前两个时刻Xi、Xi-1状态,即

若随机事件Ai服从这一模型,设P(Ai)=pi,则根据全概率公式得:

五、后记

这道高考题蕴含丰富的知识点和思想方法, 马尔科夫链、全概率公式、等比数列构造、等比数列求和、数学期望等重要知识点在这里交汇. 对高考题进行溯源,能透过问题可以发现其背后的数学原理.