巧用类比让思维向深处漫溯*——以“角”的教学为例

江苏省南京江北新区浦口外国语学校(210031)高凯亮

类比一词源自于古希腊,原来是指“比例、比重”的含义,随着语言的发展,被翻译为具有等比重关系类似地事物. 所谓类比,是指两种类似地事物根据一种事物的性质或特征推理出另一种事物也具有相同(相似)的性质或特征,它是合情推理的重要方式之一,也是教学中常用的方法. 下文将苏科版教材七上“角”模块的内容进行整合,类比线段的学习过程构建出角的研究路径,“课前、课中、课后”逐步渗透类比思想. 在知识层面上,让学生自主认识到线段、角两种基本平面图形定义方式所存在的“异”;在学习方法层面上,引领学生体会线段、角两种基本平面图形研究路径的“同”;帮助学生建立具有支撑意义的结构化知识体系[1].

1 整体视角下“角”的教学内容分析及思考

《全日制义务教育数学课程标准(2022 版)》指出需要注重教学内容的结构化,帮助学生从整体上把握学习内容[1].“角”的学习内容在苏科版教材七上第六章,教材预计两个课时完成,但是在实际教学中,往往需要3 个课时才能完成. 笔者执教前将该模块内容整合成以下3 个课时,第1 课时教学内容为类比线段的学习路径构建出角的学习路径并展开研究,第2 课时教学内容为角的综合计算,第3 课时教学内容为做一个角等于已知角. 整合教学内容的目的有两个,第一,体现结构化特征的课程内容;第二,为类比线段研究角提供有力载体;在此过程中让学生感悟到知识的整体性与连续性,为学生后续学习“图形与几何”模块内容奠定基础.

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2 “前测”内容设计说明及数据分析

2.1 “前测”内容设计说明

小学阶段学生已经学习过“线段、角”这两种基本平面图形, 该内容在苏科版教材四年级上册第八章垂线与平行线,学习的顺序仍是先认识线段再认识角,小学阶段“角”的学习内容如下: (1)会用量角器度量角的大小；(2)了解角的分类(锐角、直角、钝角)；(3)了解特殊角(直角、平角、周角)；(4)能用三角板画15°倍数的角. 有见及此,笔者执教前给全班45位学生做了一份“前测”. 第1 题是考察学生能否从宏观角度自主构建出角的研究路径;第2 题是考察学生对锐角、直角、钝角的认识,是否能用角的组成元素或角的动态形成过程给角下定义;第3 题是考察学生是否能将比较线段大小的方法(度量法、叠合法)类比迁移至比较角的大小; 第4 题是考察学生是否能将数线段的方法类比迁移至角中;第5 题是考察学生是否能自主将线段的题目改编成角的题目. 综上分析,前测的目的主要是有两个,第一,检测学生对于角的认识到达哪一个结构层次;第二,能否将线段的学习经验自主地迁移至角的研究中.

2.2 “前测”数据统计及分析

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通过收集、统计、整理“前测”数据,获得每一题不同答题表征及班级人数占比,从第1 题来看,能类比线段的学习路径从宏观角度构建出角的研究路径人数占比为37.8%,所占比例不高;笔者分析后认为,线段是学生初中阶段“图形与几何”模块第一个从宏观与微观两个视角研究的基本平面图形,学生仅经历一次系统地学习基本平面图形(线段),没有形成一个固定研究几何图形的“套路”,这应该属于正常现象. 从第2 题来看,学生能准确区分锐角、直角、钝角的正确率高达100.0%,但是对于从静态(角的组成元素)描述角的正确率较低,甚至没有学生从动态的视角描述角.

因此,第1 节课引导学生从动态角度认识角是一个重要的教学目标. 从第3 题来看,会用量角器度量判断图中两个角一样大的人数占比高达100.0%,但是能用叠合法判断图中两个角一样大的人数占比仅11.1%,班级人数占比较低,归根结底是没有从动态的眼光看图所导致的. 从第4 题来看,大部分学生能够找出所有的角,但是能够表达清楚找角的方法的人数占比有所降低,因此,后续教学中笔者需要有意识地培养学生的语言表达能力以及解题方法的总结能力. 从第5题来看,学生能够将线段的题目完全正确改写为角的题目人数占比略低,部分学生能够将题目完全改写正确,但是解题过程中缺少分类讨论的意识,产生漏解的情况. 第5 题对于学生来说有一定的难度,能将题目改写正确的人数占比还是略低,这是学生类比迁移的学习经验较弱导致的,这也正为笔者在后续教学中指引了正确的教学方向.

综上分析,“角”模块第1 课时制定的教学目标如下: (1)回顾线段的学习路径构建“角”的研究路径;能从静态与动态两个视角描述角,会用数学符号表示角;(2)能用度量法、叠合法比较角的大小(重点是叠合法,度量法学生已经掌握);(3)能正确进行角的和差运算,会进行单位换算;(4)了解角平分线的定义,能从动态的眼光认识角平分线;(5)通过“课中、课后改题”,感悟类比思想.

“角”模块第2 课时制定的教学目标如下: (1) 通过改编线段题目,将“双中点”模型类比迁移出“双角平分线”模型,能用“因为……所以……”的方式进行推理,弄清“因”与“果”的关系(2)通过“课前改题、课中分享、课后再改题”三个循序渐进的环节,深刻感悟类比思想的魅力.

3 教学设计

3.1 “角”第1 课时教学过程

问题1上节课我们研究了线段,本节课研究角,应该从哪些方面对角展开研究呢?

追1从哪儿获得的经验? (形成研究角的内容框架)

问题2请画出一个角,根据你画出的图形(或过程),尝试给角下定义.

追1如果没有方向的同学请观察你画的角,它们的组成元素是什么呢? (归纳出静态角的定义)

追2生活中见过角吗? 举例说明.

追3用笔“比划”一下角的形成过程,还可以怎么给角下定义呢? (归纳出动态角的定义)

追4下面,我们看看如何表示角.

问题3如何比较角的大小?

追1“前测”第3 题大部分同学是用量角器度度量出角的度数,进而比较出角的大小. 还有别的方法吗? (叠合法)

追2从哪儿获得的经验?

追3角的单位除了度以外,还有哪些呢? 一起了解一下吧.

练习0.7°=____′;78°54′=____°.

问题4图中存在角的和差关系吗? 若存在,请写出.

追1若射线OB在∠AOC内部运动,射线OB是否存在比较特殊的位置呢?

追2如何说明射线OB运动到∠AOC“中间”的位置就一定是∠AOC的角平分线呢?

追3用量角器度量出∠AOB和∠BOC的大小,如果两个角的度数一样,那么射线OB是∠AOC的角平分线.

追4还有别的方法吗? 能从其它视角验证吗? (引导学生从动态视角验证,沿射线OB翻折)

问题5请大家看前测第5 题,我们来改写这道线段的题目.

追1线段AB在这道题目当中处于什么地位呢? (是最长的线段)若改写为角的题目应该是这道题目中最大的角.

追2点C是线段AB的中点,对应到角的题目中是什么条件呢? (射线OC是∠AOB的角平分线)

追3点D在直线CB上,且DB=2;对应到角的题目中是什么条件呢? (∠DOB等于某个度数,但不会比∠COB的度数大)

追4求线段CD长,对应到角的题目中是什么问题呢?(求∠COD的度数)

师生活动师生共同改写好题目后,学生先尝试独立解决,教师分步适时介入指导,前测完全正确的学生和教师一起在班级巡视,帮助有困难的学生.

问题6学完本节课,你有哪些收获?

师生活动引导学生从宏观视角总结出“角”的研究路径,固化研究基本平面图形的“套路”;小组讨论总结“线段的题目”改写为“角的题目”的心得与收获(教师在以上教学中形成结构化的板书).

3.2 “角”第1 课时作业设计及说明

部分作业设计请将两道与线段相关的题目改写成角的题目.

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设计说明“角”第1 课时的作业尽量以基础题目为主,图形不建议过于复杂,笔者在课后作业中设计了2 个探究性问题,第1 题可改写为角的“等量±等量”问题;第2 题可改写为“双角平分线”模型;目的是给学生提供课后类比线段学习的载体.

3.3 “角”第2 课时教学过程

设计说明教师讲解“角”第1 课时作业基础题中出现的典型问题. 分析如何将图8 中线段题目改写成角的题目,并引导学生对获得的一般性结论进行证明,用“因为……所以……”的方式进行推理,弄清“因”与“果”的关系.

3.4 “角”第2 课时作业设计及说明

作业设计请在课本线段模块选择3 道题目改写成角的题目;也可以尝试对线段的题目进行改编后再改写.

设计说明教师讲解“角”第2 课时作业时,尽可能多展示一些学生的作品, 并引导学生分析如何对题目进行变式,例如,将问题特殊化、一般化、条件与结论互换等.

4 总结与反思

4.1 “适时”类比,把握教学时机

有效的教学活动是学生学和教师教的统一,学生是学习的主体,教师是学习的组织者、引导者、合作者. 教师在课堂教学中分步适时介入指导需要找准时机,达到“不愤不启,不悱不发”的境界. 笔者在课前对教材分析时发现,该内容学生在小学阶段已经学习过,由此,给全班45 名学生做了一份前测,其目的是精准定位本节课的起点、生长点与延伸点,明确在课堂上什么环节需要“启、发”. 前测完全正确的学生和教师在班级中巡视,帮助有困难的学生,点拨过程中引导学生回顾是如何解决改编前的线段问题,类似角的问题应该如何解决,教会学生如何想问题. 课堂中把握好教学的时机,能大大提高课堂效率.

4.2 “适度”类比,深化知识理解

《全日制义务教育数学课程标准(2022 版)》指出教师需要在课前明确“为什么教”、“教什么”、“教到什么程度”,这能够有助于教师实现“教学评”一致性. 众所周知,从动态角度观察图形是“图形与几何”模块中重要的观察视角. 通过统计前测第2 题数据发现,全班所有学生对角的描述没有动态视角,因此,教师在生成角的定义环节,把从动态视角描述角作为该环节的重点,笔者执教时通过引导学生从“画角—静态描述角—列举生活中的角—用笔“比划”角—动态描述角”五个循序渐进的环节展开,让学生对“角”有更深刻的认识.在叠合法比较角的大小、轴对称视角再次认识角(角平分线环节)两个环节都有意识地放慢“脚步”,增强学生从动态视角观察几何图形的意识.

4.3 类比思想主导,课后设计“适量”的思维生长链

法国数学家拉普拉斯曾说:“如果你想感悟数学的本质与真谛,那么归纳和类比是你的主要工具”[3]. 很多数学结论的发现都用到类比思想,例如,笔者在“角”的第1 课时课后作业中设计了让学生将线段的问题改写成角的问题,第2 节课是第1 节课作业的延续,第2 课时课后作业中设计了让学生在课本中任选3 道线段的题目改写成角的题目,并思考在求解过程中你有没有什么特殊的发现? 发现的结论具有一般性吗? 说明理由,让学生在情境中自主的发现问题、提出问题、分析问题、解决问题,线段存在的问题,猜想角是否也会存在呢? 从真正意义上做到将学习的主动权还给学生. 从某种意义来说,设计适量类似于上文中这样的作业,不仅能够让知识、思维自然生长,还是对学生思考问题的方式、学习方法等诸多方面的指导.

5 结束语

类比思想仅凭几节课就能够让学生应用自如过于理想化,教师在教学中不仅需要在课堂上给学生播下一颗如何思考问题的种子,还需要在课后作业中设计知识、思维的生长链;从真正意义上实现“教师主导与学生主体”的完美统一.