浸润数学文化,提升核心素养——对“斐波那契数列与黄金分割”的教学思考

湖南省长沙市第一中学(410005) 赵意扬 吴坚

1 引言

《普通高中教科书人教A 版》的必修与选修教材中共编入了25 篇阅读与思考材料,这些材料有的是数学史的介绍,有的是知识的拓展与延伸,有的是学科知识的融合.“阅读与思考”栏目是作为教材正文内容的补充: 一是体现教学内容的弹性,符合不同层次学生的发展;二是激励学生探究新的知识,开阔视野,培养学生的人文精神与核心素养. 以往的高中数学教学并未真正重视”阅读与思考”,往往倾向于以教师的”讲”来代替学生的”思”,甚至有时被忽略. 斐波那契数列与黄金分割是人教A 版2019 版《选择性必修第二册》第四章数列第10-11 页中阅读与思考内容,作为新旧教材中备受青睐的探究性阅读材料, 有助于培养学生的阅读自学能力,数学建模能力,发展理性思维. 笔者以斐波那契数列与黄金分割为例,设计了“课前预习阅读探究、学生展示盘点收获、合作探究课堂释疑、归纳总结构建体系、作业布置拓展外延”五个环节, 以渗透数学文化为主线, 以培养学生的“阅读能力、自学能力、数学建模能力,逻辑推理能力及运算能力”为重要教学目标,以学生为主体开展学习活动,以教师为主导进行教学实践,老师始终是学生学习活动的组织者、引导者和合作者,使学生真正成为“阅读与思考”的主人.

2.1 课前预习,阅读探究

阅读方式

(1)阅读教材: 普通高中教科书《数学选择性必修第二册》(人民教育出版社A 版)第10-11 页,“阅读与思考”;

(2)利用互联网、图书馆查找收集资料,并阅读相关文献.

阅读目标

(1)查找与意大利数学家斐波那契相关的数学史料,了解数学家斐波那契的生平及主要成就.

(2)针对《算盘书》中的兔子繁殖问题,回答: 初生兔子的对数有什么关系? 成熟兔子的对数有什么关系? 兔子总对数又有什么关系? 并尝试建立兔子繁殖问题的数学模型.

(3)斐波那契数列{Fn}满足等式:F21+F22+...+F2n=Fn·Fn+1,如何利用几何图形呈现这个等式? 并尝试证明该等式. 关于斐波那契数列的性质,你还有其它发现吗?

(4)查找与黄金分割相关资料,了解黄金分割与黄金矩形的基本知识.

(5)认识“斐波那契螺旋”弧线,思考什么是“黄金比例螺旋”? 并探究它们之间存在的关系.

(6)依据所学知识,尝试由递推公式推导出斐波那契数列的通项公式.

(7)查找收集资料,举例说明大自然及生产生活中和“斐波那契数列与黄金分割”相关的现象.

阅读收获

整理阅读与思考后的成果.

阅读质疑

阅读与思考后,你有什么疑问吗? 欢迎写下来,“问题”是创新的起点!

设计意图设置课前活动,通过学生的动手动脑,启发学生思考. 知识的获取、问题的来源不一定局限于课堂,引导学生带着问题阅读材料,基于问题驱动教学模式,在学生开展自主阅读的过程中明确“我要做什么,要解决什么问题,我有什么收获”,为学生设计适合的学习方案.

2.2 学生展示,盘点收获

学生展示1;介绍意大利数学家斐波那契.

设计意图数学承载着思想和文化,是人类文明的重要组成部分. 学生代表1 介绍数学家斐波那契的生平及主要成就,此环节渗透数学文化传承,激发学生学习的兴趣.

学生展示2: 介绍兔子问题中兔子繁殖规律.

设计意图《算盘书》中提出的兔子繁殖问题所蕴含的规律,能引导学生用数学语言观察、思考、表达现实世界,为抽象出递推公式做准备.

学生展示3: 用图形来表示等式:F21+F22+...+F2n=Fn·Fn+1.

设计意图利用图形表示这个等式,发展学生直观想象数学核心素养,并因此而引出斐波那契螺旋线,是与黄金分割关联的重要衔接点.

学生展示4: 斐波那契数列与斐波那契螺旋线的应用.

设计意图斐波那契数列与黄金分割鉴赏: 黄金分割拥有可再生性,而斐波那契数列与斐波那契螺旋则诠释了生命活动的自我衍生性,是长期自然选择的结果,该环节是启发学生用数学的方式观察、思考、表达世界.

2.3 合作探究,课堂释疑

问题1如何用符号语言表达兔子繁殖规律?

师生活动: 引导学生将文字语言转化为符号语言, 用{an}表示第n个月的小兔子对数,{bn}表示第n个月的大兔子对数,{Fn}表示第n个月小兔子与大兔子总对数,建立数学模型,得出递推公式.

因为每个月的大兔子对数等于前两个月的大兔子对数之和, 所以有bn=bn-1+bn-2(n＞2). 又因为每个月小兔子对数等于上个月大兔子的对数, 所以有an+1=an+an-1(n＞1), 故有Fn=an+bn=an-1+an-2+bn-1+bn-2=Fn-1+Fn-2(n＞2).

设计意图①从兔子繁殖问题中抽象出斐波那契数列,将文本的自然语言转化为数学语言,用数学的方式表达世界;②摆脱数学兔子繁殖问题具体形态的影响,获得数列的一般规律.

问题2如何证明等式F21+F22+...+F2n=Fn·Fn+1?

师生活动: 引导学生利用迭代法或者裂项相消法解决问题.

师生总结:思路1迭代法: 由斐波那契数列的递推公式可知:Fn+1=Fn+Fn-1,所以Fn·Fn+1=F2n+Fn-1·Fn,将Fn=Fn-1+Fn-2代入得Fn·Fn+1=F2n+Fn-1·(Fn-1+Fn-2)=F2n+F2n-1+Fn-2·Fn-1重复上述步骤,可得Fn·Fn+1=F2n+F2n-1+F2n-2+...+F22+F2·F1,又因为F1=F2=1,故Fn·Fn+1=F2n+F2n-1+F2n-2+...+F22+F21. 即等式F21+F22+...+F2n=Fn·Fn+1成立.

思路2裂项相消法(省略)

设计意图①“推理是数学的命根子,运算是数学的童子功. ”从数的角度论证公式,在活动过程中,提升逻辑推理与数学运算核心素养; ②在证明的过程中提升学生的思维品质,让学生从感性的发现上升到理性的认识.

问题3什么是“斐波那契螺旋”弧线?“黄金比例螺旋”呢? 如何理解“斐波那契螺旋”弧线与“黄金比例螺旋”弧线之间的形状会越来越接近?

师生活动: 从等式F21+F22+...+F2n=Fn·Fn+1的图形表示中发展出斐波那契螺旋弧线, 教师介绍黄金螺旋,并将斐波那契螺旋与黄金螺旋叠放一起对比. 引导学生通过猜测、计算归纳出的值会趋近黄金分割比.

设计意图引出斐波那契螺旋与黄金螺旋,并引导学生从叠放一起的两个图形的高度吻合,由形的角度直观想象斐波那契数列与黄金分割的关联.

问题4依据所学知识,如何由递推公式推导出斐波那契数列的通项公式?

师生活动: 学生独立思考, 自主探究, 教师引导学生从研究比值的角度将递推公式转化为等比数列,生生合作、师生合作解决问题. 设Fn+λFn-1=μ(Fn-1+λFn-2),对比系数解得求得数列的通项公式为

设计意图要解释为什么比值会随着n的增大而趋近黄金分割比,离学生思维发展区最近的是{Fn}的通项公式. 通项公式是本节课的一个难点. 引导学生按照思维的一般规律,在比较复杂的情境中把握事物之间的关联,将不熟悉的问题转化为熟悉的情境,通过构造等比数列解决问题,从而突破难点. 培养学生理性思维能力,发展学生逻辑推理与数学运算的核心素养.

问题5得到斐波那契数列的通项公式后,你能说明为什么会趋近黄金分割比吗?

设计意图从数学运算的角度考察值,分析斐波那契数列与黄金分割的关联,培养学生理性思维能力.

2.4 归纳总结,构建体系

问题6通过本节课的数学活动,你有哪些收获?

师生活动: 老师引导学生合作交流,依据整个学习过程进行小结,用联系的观点从新知识的获取路径进行归纳总结.

设计意图总结探究的过程、思路及方法,获得知识、能力及意志力的共同进步,建构完整的认知结构,培养学生提炼、总结、概括的能力.

2.5 作业布置,拓展外延

对于同学们的“阅读质疑”,还有以下两个问题未得到解决:

(1)斐波那契数列还有其它性质吗? 如:“前n 项和怎么求? 相邻几项会不会有什么规律? ……”

(2)与黄金分割类比,会有白银分割、青铜分割吗? 符合黄金分割比的事物,给人以美的感受,那不符合的是不是就不美了?

请选择一个话题(或依据本堂所学另择话题),继续你的研究,将发现写成数学小论文.

设计意图本节课课堂活动是基于学生的“阅读成果”及“阅读质疑”为前提设计, 针对学生部分未得到解答的困惑,设置作业,提升学生“反思、求解、实证”等高阶思维,开拓学生视野.

3. 教学反思

阅读与思考集知识性、科学性、趣味性、教育性于一体,且根植于学生知识与能力的最近发展区,是教材的重要组成部分,是数学传统课堂教学内容的延伸,是浸润数学文化的重要载体. 本节课对教材的处理有以下几个特点:

(1)激发学习兴趣

本堂课的教学设计源于课本,但又不囿于课本. 在尊重教材编排的基础上,在学生学完等比数列后,为学生设计了适合的学习方案. 课程注意个体差异,注重让每一位学生参与到学习中,引导学生开展独立思考、自主探究、质疑思辨、合作交流,充分发挥了学生的主动性、积极性,激发了学生的学习兴趣.

(2)凸显数学建模

通过学生的成果展示《算盘书》中提出的兔子繁殖问题所蕴含的规律,并在此基础上建立斐波那契数列的数学模型,摆脱数学兔子繁殖问题具体形态的影响,获得数列的一般规律. 可以说,数学建模的过程,是学生构建知识体系的关键步骤,是提升思维品质的重要过程.

(3)关注问题探究

从等式F21+F22+...+F2n=Fn·Fn+1的图形表示引出斐波那契螺旋与黄金比例螺旋,并引导学生从叠放在一起的两个图形的高度吻合这一要点出发,由形的角度直观想象斐波那契数列与黄金分割的关联,再通过构造等比数列得到斐波那契数列的通项公式,从数学运算的角度考察前项与后项之比,分析斐波那契数列与黄金分割的关联,突破难点,发展学生逻辑推理与数学运算的核心素养,在知识的升华过程中完成了课程的整体目标.

(4)体现学科融合

利用多媒体呈现斐波那契螺旋与黄金比例螺旋的关联、用EXCEL 软件计算斐波那契数列中每一项与相邻后一项的比值, 用seewo 白板展示学生对等式F21+F22+ ...+F2n=Fn·Fn+1的证明, 充分发挥其快捷、生动、形象的特点,为学生提供直观感性的材料,有助于学生对问题的理解和认识,体现学科间的深度融合,极大地提高了课堂教学时效性.

(5)注重美育渗透

罗素说:“进行数学创造的主要驱策力是对美的追求,数学的美冷而严肃,纯净而崇高. ”本堂课通过学生代表展示斐波那契数列与黄金分割的应用鉴赏,让学生获得了和谐与壮观的美学享受;在斐波那契螺旋与黄金比例螺旋的高度一致下,通过直观想象与数学直觉让学生获得高度的美学体验.