非一致性噪声条件下的特征空间波束形成

刘野，戎海龙，陈阳

(常州大学微电子与控制工程学院，江苏常州 213164)

0 引 言

波束形成和子空间类算法是两类最主要的方位谱估计方法。以最小方差无失真响应波束形成算法(MVDR)[1-2]为代表的最优波束形成能自动抑制各向同性干扰，获得最高的输出信干噪比，并具有较好的稳健性。而以基于特征子空间的多信号分类算法(Multiple Signal Classification,MUSIC)[3]、旋转子空间不变法(Estimation of Signal Parameters via Rota‐tional Invariance Techniques,ESPRIT)[4]为代表的子空间类方法[5-7]从理论上突破了方位分辨的瑞利限制，极大地提高了阵列目标方位分辨能力。但子空间类方法的稳健性通常不如波束形成方法[8]，因此人们将子空间处理引入到波束形成中，提高了波束形成的方位谱估计性能。其中较为典型的是特征空间波束形成[9]，将MVDR的权向量投影到信号子空间，减小了阵列流型误差和噪声引起的权向量扰动，获得了更好的分辨率[10]。

在这些基于特征子空间的算法中，一般假设阵元噪声是一致的，即每个阵元噪声的方差相同。此时可以通过阵列协方差矩阵的特征分解估计特征子空间[11-12]。而实际情况中，由于水声环境的复杂性，阵列的噪声分布可能是非一致性的[13-16]。当阵元噪声功率各不相同时，直接利用阵列协方差矩阵特征分解估计的特征子空间存在误差，会导致这些算法的性能严重下降。

针对这一问题，文献[17-18]通过两种不同方法估计噪声协方差矩阵，阵列协方差矩阵与噪声协方差矩阵的差值为不含噪声的阵列协方差矩阵。对不含噪声的阵列协方差矩阵进行特征分解估计特征子空间，消除了噪声不一致性带来的影响。其中，文献[17]通过迭代实现噪声协方差矩阵估计，需要多次特征分解运算。文献[18]中的方法较本文方法增加了噪声协方差矩阵估计，运算量方面增加了3次M维方阵的乘法运算。

本文提出了一种新的非一致性噪声条件下特征子空间估计方法，从理论上证明了将阵列协方差矩阵对角线置0，进行特征分解估计的特征子空间不受阵元噪声非一致性的影响。本文方法在算法复杂度和运算量均有明显优势。与文献[17]方法相比，本方法具有相同的性能，但无须估计噪声协方差矩阵，复杂度低。将其应用到特征空间波束形成算法，提高了非一致性噪声条件下特征空间波束形成算法的方位分辨能力。仿真和实验结果验证了本文所提方法的可行性和有效性。

1 信号模型

假设接收阵列是阵元数为M的均匀线列阵，接收从远场的目标信号源发射的L个独立的窄带信号(已知L＜M)。阵列噪声为零均值高斯噪声，且与信号不相关。阵列在t时刻输出信号的表达式为

式中：A(θ)为M×L型的方向向量矩阵，其中a(θi)(i=1，…，L) 为方向矢量；s(t) =[s1(t)…sL(t)]T为目标信号矩阵；n(t) =[n1(t)…nM(t)]T为噪声向量。

阵列的协方差矩阵可以表示为

式中：P=E{s(t)sH(t)}是目标信号的协方差矩阵；Rs为不存在噪声时阵列的协方差矩阵；Q=E{n(t)nH(t)}是噪声的协方差矩阵。因噪声相互独立，Q可表示为

式中：σ2m(m=1，…，M)为各阵元噪声的功率。

当噪声的协方差矩阵Q的对角线元素不相同时，对Rx的特征分解得到的特征向量与对Rs的特征分解得到的特征向量不同，此时无法由Rx的特征分解直接获得准确的信号和噪声子空间。当特征空间波束形成将权向量向信号子空间投影时引入误差，会使特征空间波束形成的性能退化。

2 非一致性噪声特征空间波束形成

阵列协方差矩阵Rx与噪声协方差矩阵Q的差值即为Rs。因此通过估计Q，可得到Rs的估计，进而通过Rs的特征分解获得信号子空间。根据文献[17]中的方法估计噪声协方差矩阵，将阵列接收数据的协方差矩阵Rx分成：

式中：

其中：Pk为第k个目标信号源的功率。

根据式(5)～(7)可知：

假设ui、λi为Rs的特征向量和特征值，则有：

将式(8)代入式(9)得：

所以有：

因此，ui、λi-σ为R1的特征向量和特征值，即直接对R1进行特征分解，可以得到对应的信号子空间矩阵：

将MVDR波束形成的权向量：

投影到信号子空间，可得：

特征空间波束形成的空间谱估计可以表示为

3 数值仿真与分析

本节将通过数值仿真来分析算法的有效性。仿真参数为接收阵列为5个阵元的均匀直线阵，声速为1 500 m·s-1，采样频率为39 3216 Hz，信号频率为1 750 Hz，阵元间距为半波长。阵元噪声为零均值的高斯白噪声，各阵元间噪声相互独立，噪声与信号、信号与干扰以及信号与信号之间都相互独立，其噪声协方差矩阵Q=diag{[1 1 1 3 3 ]}。

特征空间(Eigenspace,ES)波束形成算法分别采用两种特征子空间估计方法。文献[18]中通过估计噪声子空间的间接方法记为ESQ，本文方法记为ESR。

3.1 目标分辨能力仿真

两个目标信号入射方向分别为73°和97°。MVDR、ES、ESQ和ESR 4种波束形成的方位图如图1 和2 所示。图1 中两个目标信噪比(Signal to Noise Ratio,SNR)分别为20 dB 和15 dB。图2 中两个目标信噪比均为20 dB，信号子空间的维度为2。

图1 独立信源不同信噪比时的目标方位图Fig.1 Target azimuth map of independent sources at different SNRs

图2 独立信源相同信噪比时的目标方位图Fig.2 Target azimuth map of independent sources at the same SNR

由图1～2中可以看出，ESQ和ESR两者曲线近似重合。与MVDR和ES相比，ESQ和ESR的主瓣更窄，旁瓣更低。ES 的方位分辨能力要优于MVDR，而ESQ 和ESR 的方位分辨能力优于MVDR和ES。这是由于ESQ和ESR估计的信号子空间比ES的信号子空间更准确。

进行蒙特卡洛仿真，每种算法各自独立仿真200 次。一个目标信号的信噪比为15 dB，入射角为97°，另一个目标信号的信噪比为20 dB，入射角从79°开始减小至67°。图3给出了两个独立信源入射角夹角在18°～30°变化时，4 种算法的目标分辨率。

图3 4种算法的目标分辨率Fig.3 Target resolutions of four algorithms

由图3可以看出，ESQ和ESR明显优于MVDR和ES。在入射角夹角为20.5°时ESQ和ESR可以分辨2 个目标的正确概率近似为20%，而MVDR 和ES完全无法分辨两目标信号。在入射角夹角为27°时，ESQ和ESR的分辨概率已近似为1，而MVDR和ES的分辨概率分别近似为78%和85%。

3.2 不同输入SNR时4种算法的输出SINR仿真

在同一输入SNR下独立运行200次试验，统计算法的输出信干噪比(Signal to Interference plus Noise Ratio,SINR)。图4 给出了4 种算法不同输入SNR 与输出SINR 的关系。MVDR 和ES 的输出SINR较为接近，而ESQ和ESR在输入SNR大于5 dB时的输出SINR明显高于MVDR和ES。

图4 4种算法的输出信干噪比随输入信噪比的变化曲线Fig.4 Variation curves of output SINR with input SNR for the four algorithms

3.3 算法运行时间仿真

在相同情况下，对ESQ 和ESR 分别独立运行100次，并计算算法的运行时间。可以得到ESQ运行时间为594 s，而ESR 的运行时间为575 s。因此，本文提出的方法有效地降低了算法复杂度和运算量。

4 实验数据分析

利用实验数据验证本文所提方法的有效性。海试数据来自48 个阵元的直线阵列，阵元间距为0.3 m，声速约为1 500 m·s-1，采样频率为4 000 Hz，选取单频信号1 000 Hz。实验布局图如图5 所示，水声阵列拖曳于测量船后方约400 m 处，深度约15 m；视野内有三个水面目标，初始方位大致在40°、50°和80°附近。其中，A目标船沿着40°方位远离；B目标船在40°方位向右前方航行远离，C目标船在80°方位同样向右前方航行，但偏转幅度要小于B目标船。因此，B目标船和C目标船的方位历程产生交叉。特征空间波束形成中信号子空间维度取6。

图5 实验布局示意图Fig.5 Experimental layout diagram

图6为4种算法的目标方位历程图。从方位历程图中可以看出，4种方法都能分辨出三个目标信号，但ESQ 和ESR 两种算法的分辨能力更好，旁瓣更低。

图6 4种算法的目标方位历程图Fig.6 Target bearing-time charts of the four algorithms

图7为43 s时刻的方位谱，可以看出，在40°、70°和85°附近都有明显的目标，且相比于MVDR和ES，ESR 的主瓣更窄，旁瓣更低。此时，估计出的噪声协方差矩阵Q如图8所示。可以看到，各阵元噪声功率是不相同的，整体的趋势是随着阵元序号增大而噪声功率减小。其中最小值为364 733，平均值为612 130，最大值为858 453。最大值是最小值的2.35倍，是平均值的1.4倍，为非一致性的噪声。本文方法通过对角线置零的阵列协方差矩阵特征分解直接得到的信号子空间，不受非一致性噪声的影响，因而方位分辨性能较特征空间波束形成有明显的提高。验证了本文方法的有效性。

图7 43 s时刻方位谱Fig.7 Azimuth spectrum at the moment of 43 s

图8 在43 s时刻的48个阵元噪声功率估计Fig.8 Noise power estimations for the 48 array elements at the moment of 43 s

5 结 论

针对阵列非一致性噪声干扰的问题，本文提出了一种新的特征子空间估计方法，将阵列协方差矩阵对角线置零，进行特征分解估计的特征子空间将不受阵元噪声非一致性的影响。与通过噪声协方差矩阵间接估计特征子空间的方法相比，该方法具有相同的性能，但无需估计噪声协方差矩阵，算法复杂度较低。将其应用到特征空间波束形成算法，提高了非一致性噪声条件下特征空间波束形成算法的方位分辨能力。仿真和实验结果验证了本文所提方法的可行性和有效性。