紧扣计数单位，感悟运算的一致性

施娅林

摘要：《数的运算总复习》一课，是小学阶段数的运算学习的收官之作。站在总复习的节点，学生需要的不是运算训练，而是从整体上厘清各个算法之间的联系、理解算理的本质以及感悟算理的一致性，建构完整的、联系的、发展的认知结构。基于此，立足“计数单位”，沟通运算的本质；凸显“计数单位”，感悟算理的一致性；紧扣“计数单位”，建构完整的结构。

关键词：小学数学；计数单位；运算一致性；数的运算；总复习

一、课前思考

《义务教育数学课程标准（2022年版）》在第二学段、第三学段的“教学提示”中分别指出，“通过数的认识与数的运算有机结合，感悟计数单位的意义，了解运算的一致性”［1］，“通过整数、小数和分数的运算，进一步感悟计数单位在运算中的作用，感悟运算的一致性”［2］。

有关数的运算，苏教版小学数学教材是分阶段编排推进的。有关加、减法，第一学段教学整数的加、减法，结合数的概念，当计数单位相同时，计数单位的个数直接相加、减；当计数单位不相同时，先“满十进一”或“退一作十”，使计数单位相同，再相加、减。第二学段教学分数的加、减法，当分数单位不相同时，先通分，使分数单位相同，再相加、减。第三学段教学小数的加、减法，借助计数器、方格图等易区分计数单位的计数工具，理解小数点对齐才能相加、减。有关乘法，第一学段、第二学段教学整数乘法，由乘法是加法的简便运算推导出乘法口诀，再结合具体情境将运算过程拆分成加法，最后借助竖式计算整数乘法。第三学段教学小数乘小数，先通过具体问题情境，将小数乘法转化成整数乘法算出积；再根据“积的变化规律”推算出小数乘法的积；最后，运用不完全归纳法概括出一般算法。第三学段教学分数乘分数，先借助图示写出结果，再观察多个分数乘法的算式中积的分子、分母与两个因数的分子、分母之间的关系，运用不完全归纳法得出一般算法。有关除法，由乘法推导出除法的商，再借助竖式计算整数除法；运用“商不变的规律”将小数除法转化成整数除法；借助真实情境，利用数形结合思想，从分数除以整数到整数除以分数，逐步归纳出分数除法的一般算法。

基于教材的编排和教学的阶段性，学生能充分地体会到转化和数形结合的思想，掌握算法。但是，较难感悟分数与小数乘、除法在算法上的联系和算理上的一致性，更无法感悟数的四则运算的一致性。因此，站在小学数学总复习的节点，学生需要的不是运算训练，而是从整体上厘清各个算法之间的联系、理解算理的本质以及感悟算理的一致性，建构完整的、联系的、发展的认知结构。笔者以为，《数的运算总复习》一课教学，可以紧扣计数单位，统整数的运算，帮助学生感悟运算的一致性，也为第四学段（初中）学习无理数、代数式的运算打下坚实的基础。

二、课堂实施

（一）立足计数单位，沟通数的认识与运算的一致性

1.追本溯源，沟通意义

师我们学习过哪些数？

生整数、小数、分数。

师上节课，我们复习了“数的认识”，知道所有的数之间是有联系的，都表示“多少个计数单位”。比如，8表示什么？

生8个一。

师4呢？12呢？

生4是4个一，12是1个十和2个一。

师看到这三个数，你想到了哪些算式？

生4+8=12，8+4=12，12-4=8，12-8=4。

师有加法和减法。如果把这里的8再分成4和4呢？

生4+4+4=12。

生3×4=12。

师既然想到了乘法，还有吗？

生12÷4=3。

师加、减、乘、除陪伴了我们六年，你真的了解它们吗？它们的本质是什么？它们分别在什么情况下运用呢？先想一想，然后在小组里交流。

（学生交流。教师巡视，发现很多学生都按照各算式的形式割裂地理解算式的本质。）

生加法就是两个数相加，减法就是被减数减减数；乘法就是两个数相乘，除法就是被除数除以除数。

生乘法就是把相同的数加起来，除法就是平均分。

师其实，把若干个部分合成一个整体用加法，从一个整体中去掉部分就是减法。那乘法和除法呢？

生几个相同的部分合起来就是乘法。

生刚才说除法是平均分。其实，从一个整体中不断地减掉相同的部分也是除法。

师是的，其实这四种运算都和整体与部分有关。

数的认识是数的运算的基础，数的运算是对数的认识的“再应用”，它们都是基于计数单位进行的。因此，复习课伊始，立足“计数单位”这个核心概念，充分利用学生數的认识的学习经验复习四则运算的意义，追本溯源，帮助学生深刻理解数的四则运算。

2.寻找关联，融会贯通

师（同步板贴）现在有“＋”“－”“×”“÷”四张卡片。你觉得四种运算中谁和谁有关系？有怎样的关系？上台来移一移，说一说。

生（上台移动卡片，把“＋”和“－”放在一起）减法和加法有关：加法是把部分合成整体；相反，减法是把整体分成部分。

生（上台移动卡片，把“＋”和“×”放在一起）乘法和加法也有关，乘法就是加法的简便计算。

生（上台移动卡片，把“÷”和“－”“×”放在一起）除法和减法有关，除法是减法的简便计算；除法和乘法也有关系，它们是相反的。

师原来它们彼此都有关系，减法是加法的逆运算，除法是乘法的逆运算，乘法是加法的简便运算，除法是减法的简便运算。通过理一理，我们沟通了加、减、乘、除之间的联系。今天，我们就来复习“数的运算”。

学生很容易理解加法和减法运算的算理，但是对乘法和除法运算的算理理解起来比较困难，很难将加法和减法运算的算理迁移到乘法和除法的运算中。究其原因，学生对四则运算之间的联系缺乏沟通，对运算的意义缺乏深度理解。因此，教学中引导学生通过“移卡片”活动主动比较四则运算，在不断地完善中感悟四则运算之间的关联，为深入理解四则运算算理的一致性打下基础。

（二）凸显计数单位，统整四则运算的一致性

1.图式明理，把握本质

师四种运算是互相关联的，而每一种运算都可分为整数、小数和分数的运算。比如，同样是加法，整数加法、小数加法和分数加法之间的算法和算理一样吗？想弄清楚它们的异同点，你打算怎么办？

生举例子。

师特别好！举例子是数学研究的一种重要方法。我们先通过举例的方法来研究整数、小数和分数的加法。

（学生思考。教师巡视，发现一部分学生列举了一些较简单的口算，一部分学生写了竖式。）

师（板书，如图1所示）这个同学的例子很有特点，看出特别在哪里了吗？

生整数和小数中的数字是一样的。

师为什么在整数加法中，3和9对齐，但在小数加法中却不对齐计算呢？

生因为要数位对齐。在整数计算中，3和9都是个位上的数，分别表示3个一和9个一，可以直接相加；而在小数计算中，小数点对齐，数位才能对齐。

生3和9不在同一个数位上，3在十分位上，表示3个0.1；9在百分位上，表示9个0.01。

师原来，不管是整数的末尾对齐还是小数的小数点对齐，都是为了相同数位对齐。数位对齐就是计数单位相同，计数单位相同的数才能直接相加。那分数加法呢？好像和刚才的整数、小数不太一样。

生分母不一样，要先通分。分母相同，才能相加。

师其实，通分是为了统一分数单位，也就是统一计数单位。看一看你们自己举的例子，也是这样的道理吗？

生（齐）是的。

师在加法中，我们发现不同数的运算方法不同，但道理是一致的。其他运算的道理是不是也一样呢？四人小组内商量一下，你们打算研究哪一个？怎样研究？请将你的研究过程记录在学习单上。

（学生合作研究。教师巡视，发现很多小组选择研究乘法和除法。）

师很意外，没有小组研究减法，能说说原因吗？

生减法的道理和加法是一样的，太简单了。

（其他学生纷纷点头表示赞同。）

师你们真会学习，能够举一反三，发现减法中整数、小数和分数也是计数单位相同时才能直接相减。第三小组研究的是乘法，请带着你们的学习单上台展示、汇报。

（学生列竖式，将竖式的过程表达出来。）

生小数乘法可以转化成整数乘法。分数乘法就是分子乘分子，分母乘分母，与整数、小数的乘法有点不一样。

师确实，乘法运算不像加法和减法运算那样容易看出计数单位。（出示图2）老师也带来了一些例子，一起看一看。

师看明白了吗？说说你的感受！

生原来乘法运算中，不管是整数、小数还是分数，都跟计数单位有关。

生原来分数的乘法也跟计数单位有关。

师研究除法的同学发现了什么？

生小数除法可以转化成除数是整数的除法，分数除法就是乘它的倒数。

师那它们有什么相通之处吗？

（学生沉默。）

师要想讲清楚分数除法的运算道理，还可以请图形来帮忙。（出示图3）分数除法，谁看明白了？

生12除以18就是求48里有多少个18。

师所以，除法其实也是计数单位的个数的运算。

加法运算的原理很容易迁移到减法运算，而乘、除法的算理本质学生很难一下子发现。教学时，教师通过横式的分解过程，凸显计数单位，向学生呈现小数的乘、除法计算过程；借助直观图，帮助学生理解分数乘、除法本质上也是基于分数单位（计数单位）的运算。通过图式，将抽象的认识变直观，让算理“看得见”，有效帮助学生理解四则运算算理的本质。

2.反思比较，建立结构

师关于整数、小数和分数的四则运算，你有什么感受？

生原来这些计算都是有联系的。之前，我认为分数和整数、小数的计算不一样，其实，它们也有联系的地方。

生都和计数单位有关。

生原来除法也跟计数单位有关。

生加、减、乘、除的运算都是一样的。

师看来大家都已经看到了计算的本质，就是计数单位个数的运算。整数的加、减法计算时末尾对齐，小数的加、减法计算时数位对齐，异分母分数先通分再加、减，本质上都是使计数单位一样；乘、除法的计算也是一样的。

比较是重要的数学思想，是学生感悟运算算理一致性的重要手段。教師有意识地引导学生从不同中找出共性，从变化中找出规律。其中，学生感触最深的是分数除法与整数除法、小数除法的异同，虽然数的形式不同，计算方法不同，但在算理本质上是相通的，都是计数单位个数的运算。学生的头脑中自然而然地形成了对四则运算的结构化认知。

（三）应用计数单位，深化四则运算的一致性

师（出示图4）这些计算对吗？如果不对，请说出错误的原因并改正。

生第一道算式，个位满十要进到十位，而不是百位。

生第二道算式，其实就是85个0.1乘16个0.1，应该是1360个0.01。

生第三道算式，小数点没有对齐，不能直接减。

生第四道算式，商的位置是错的。

师总结这些题目的错误原因，你有什么想提醒大家的？

生数位一定要对齐，小数的小数点要对齐，这样计数单位才相同，才能相加、减。

生小数的乘、除法可以转化成整数的乘、除法，要特别注意小数点的位置对齐，刚才我们研究过了，就是跟计数单位有关。

师在加、减法中相同数位对齐，也就是计数单位相同，才能相加、减；小数的乘、除法要关注小数点的位置。通过复习数的运算，你有什么收获？

生之前觉得计算很简单，没想到藏着这么深奥的道理。

生看不同的四则运算，它们之间其实都是有联系的，都跟计数单位有关。

生之前觉得分数和整数、小数没有什么联系，没想到都是相通的。

师看来大家对数的运算有了更深层次的理解，学习了六年的运算知识全都打通了，运用也更加灵活了！

算理是指“为什么这样算”，算法是指“怎样算”，算理是算法的依据，算法是对算理的总结与提炼。课尾，教师出示了一些错例，考查学生对计数单位的灵活应用，促进学生从本质上理解四则运算的算理，从而打通算法形式不同的四则运算，灵活运用算法，形成计算技能，提升运算能力。

三、课后反思

（一）立足“计数单位”，沟通运算的本质

数概念的一致性是数的运算一致性的基础。课始，教师带领学生立足计数单位复习数概念，再通过4、8、12三个数组成的算式沟通四则运算的意义。接着，通过“移卡片”活动，引导学生深入思考四则运算之间的关系，理解四则运算的基础都是加法运算，为后续深入理解四则运算算理的一致性打下基础。

（二）凸显“计数单位”，感悟算理的一致性

算理是算法的依据，算法是对算理的总结与提炼。因此，学生只有理解并打通四则运算的算理，才能真正地灵活运用算法。教学中，教师先通过对比两道数字相同的竖式，引导学生沟通整数和小数加法运算的算理；接着，基于学生对加法运算算理一致性的理解，引导他们自主完成对整数、小数乘法竖式的解构和建构。然而，学生无法从竖式中直观感受乘法运算算理的一致性，尤其是分数乘法。因此，教师相机呈现整数、分数、小数乘法运算的横式，展示算理的分解过程，促进学生直观感悟整数、小数和分数乘法运算算理的一致性。再运用数形结合的方法，促进学生理解整数、小数和分数除法运算算理的一致性。最后，引导学生通过对比反思，进一步感悟整数、小数、分数四则运算的本质都是将计数单位的个数进行分与合。

（三）紧扣“计数单位”，建构完整的结构

学生对数的运算的掌握是通过一册一册教材、一个一个单元以及一个一个课时的学习逐步累积形成。因此，四则运算的算法和算理在学生的头脑中大多呈叠加状态。总复习课上的梳理和练习，是促进学生形成完整的、关联的认知结构的契机。教师紧扣“计数单位”这一核心概念，引导学生横向勾连加、减、乘、除四则运算之间的关系，纵向勾连整数、小数、分数四则运算之间的关系。从整体上厘清各个算法之间的内在联系和算理的本质，实现了算理结构化，形成了整体的、联系的、发展的认知结构。

参考文獻：

［1］［2］ 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）［S］.北京：北京师范大学出版社，2022：22，25.