广东省佛山市乐从中学(528315) 林国红
题目(2016年北京大学博雅计划第7 题)的值为( ).
解答
因为T20,从而.所以
故选D.
本题主要是利用二倍角公式及诱导公式进行解答,难度不大.令人感兴趣的是:试题能不能推广? 即的值是什么? 是否还有其它类似的连乘三角求值式子?
笔者经过一番探究,得到一系列优美的连乘三角恒等式,特意成文,与大家分享.
引理.
证明记,n ∈N∗,其中i 为虚数单位,则方程xn−1=0 有n个互不相等的根ω,ω2,···,ωn(ωn=1).所以
xn−1=(x−1)(x−ω)(x−ω2)···(x−ωn−1),
又因为
从而可得
1+x+x2+···+xn−1=(x−ω)(x−ω2)···(x−ωn−1),
令x=1,则(1−ω)(1−ω2)···(1−ωn−1)=n.取模,得|1−ω|·|1−ω2|···|1−ωn−1|=n.
当1 ≤k≤n−1,且k ∈N∗时,可得,即有.从而
故
证明记,则
由引理,得
证明由引理,可得
两式相除,得
证明记,则
由引理,得
证明由(3),得
证明记,得
即
由(2),可得
证明由(5),得
评注显然,当n=5 时,,这正是原题的情形了.
证明由(5),得
证明由(1),得
证明由,得
证明由引理,可得,由(6),有.两式相除,得
证明由,得
证明由,得
利用上述方法及恒等式,还可得到更多相关的三角恒等式,有兴趣的读者不妨继续探究.