一道“大梦杯”福建省数学水平测试题的解法与推广

河北省秦皇岛市第一中学(066006) 赵成海

题目(2022年“大梦杯”福建省青少年数学水平测试)若正数a,b,c,满足则=____.

这是一道填空题,难度也不大,对于同学们而言,容易得到其解决方法,但如果对本题多角度地深入思考,发现此题蕴含的价值很高,让我们一起来分享探究过程,体验新收获的喜悦,并求解以此为背景编拟的相应题目.

一.解法分析

分析一题设中三个条件,三个变量a,b,c,其常规思路是通过解三元方程组,求出a,b,c的值,进而可求的值.

解法1(消元法)由得得即代入到abc=1 中,得解得进而从而.

解法2(整体代换)由abc=1 得得从而3b−1=17−b,即以下同解法1.

分析二观察题目所涉及的各个表达式,其特点具有轮换性,因而可以考虑三式乘积,即的不变性,由此入手进行探究,发现结果与三式求和具有某种等量关系,从而使问题得解.

解法3

解法4先通过abc=1,三式分别化简为:三式再相乘,则有

即3×17×(c+cb)=(2+3+17+c+cb),解得也就是.

二.思考探究

思考1由解法3,解法4 的运算过程,不难发现,在已知abc=1 前提下,对于三式,是可以知二求一的,从而考虑一般情况,则有

推广1若正数a,b,c,满足那么m,n,p满足关系式:mnp=2+m+n+p.

证明考虑解法3,或解法4,不难证明.

思考2若对赛题逆向思考,即会想到:是否可以推出abc=1 呢?

探究由

即(abc−1)2=0,因而abc=1,可见逆命是成立.

将探究的结论一般化,得到:

推广2若正数a,b,c,满足那么有结论.

①若mnp−(m+n+p)<2,abc无解,

②若mnp−(m+n+p)=2,则abc=1,

③若mnp−(m+n+p)>2,则通过解关于abc一元二次方程,abc可求.

由此,我们可以得到如下变式:

变式1若正数a,b,c,满足从而abc=1.

变式2若正数a,b,c,满足则则abc=2或

思考3如果改变条件中abc的值,又会如何?

尝试若正数a,b,c,满足则=____.

从而,新问题依然可解,考虑一致性,我们将后续条件的系数随之做出改变,并且一般化如下:

推广3若正数a,b,c,满足那么有结论mnp=k(1+m+n+p+k).

证明通过abc=k,化简三式为:那么

即mnp=k(1+m+n+p+k).

从而m,n,p,k中知三求一,当然与推广2 相类比,需要注意在求k值时,毕竟解一元二次方程,需要分类讨论,因为其值存在与否也是有条件限制的.基于推广3,有:

变式3若正数a,b,c,满足则p=____.

解p3=8(1+3p+8),即p3−24p−72=0,得p=6.

思考4对于思考3 及推广3 的求解,也可以将已知条件再做系数上的变式.

推广4若正数a,b,c,满足其中t为正常数,那么有结论mnp=t3+1+t(m+n+p).

证明已知化为那么

即mnp=t3+1+t(m+n+p).

从而,可考虑如下的问题:

变式4若正数a,b,c,p,满足则p=____.

解p3=9+6p,即p3−6p−9=0,得p=3.

变式5若正数a,b,c,满足=____.

解.

思考5将推广3 与推广4 结合,则有:

推广5若正数a,b,c,满足其中t为正常数,那么有结论mnp=k[t3+k+t(m+n+p)].

证明已知化为那么

即mnp=k[t3+k+t(m+n+p)].

从而,可以考虑如下问题:

变式6若正数a,b,c,满足那么=____.

解即解得.

自然,如果将k,t都取成1,推广5 便可回归到推广1.

我们再回忆以上过程,推广式层层递进,有了如此的变式思考与推广探究,那么想要命制与赛题相类似的题目,就有了比较开阔的思维空间,从而在解题的时候也可以触类旁通,举一反三.