《数学通报》问题2688的探究与推广

福建省漳州市厦门大学附属实验中学(363123) 章海辉 张奇凤

1 引言

《数学通报》2022年第61 卷第10 期提出了一个有关双曲线定点的问题2688 为:

问题已知双曲线Γ:过Γ上的点作两条斜率分别为k1,k2的直线,分别与Γ 交于P,Q两点(均异于点T),若k1+k2=2k1k2,求证:直线PQ过定点.

本文从点T的位置、曲线的类型和斜率和与积的关系出发,给出了问题的推广与证明.

2 主要结论和证明

定理1已知椭圆Γ:过Γ 上的点T(x0,y0)作两条斜率分别为k1,k2的直线,分别与Γ 交于P,Q两点(均异于点T),若k1,k2满足方程r·(k1+k2)+s·k1k2=t(r2+s2+t20),则直线PQ的斜率为定值或直线PQ过定点

证明(1)当直线PQ的斜率存在时,设P(x1,y1),Q(x2,y2),直线PQ的方程为y=kx+m,将直线PQ的方程代入椭圆方程,整理得(k2a2+b2)x2+2ka2mx+a2m2−a2b2=0,所以从而

由r·(k1+k2)+s·k1k2=t,整理得

因式分解得

若m−y0+kx0=0,即m=y0−kx0时,直线PQ的方程为y=kx+m=k(x−x0)+y0,此时直线PQ过定点T(x0,y0),舍去.

若(sb2−ta2)m+2rka2y0−ta2y0−tka2x0−sb2y0−skb2x0−2rb2x0=0,

①sb2−ta2=0 时,此时直线PQ的斜率为定值;

②sb2−ta20 时,有

直线PQ的方程为

此时直线PQ过定点

(2)当直线PQ的斜率不存在时,设P(x1,y1),Q(x1,−y1),则有由r·(k1+k2)+s·k1k2=t,整理得

综上,结论成立.

定理2已知双曲线过Γ 上的点T(x0,y0)作两条斜率分别为k1,k2的直线,分别与Γ 交于P,Q两点(均异于点T),若k1,k2满足方程r·(k1+k2)+s·k1k2=t(r2+s2+t20),则直线PQ的斜率为定值或直线PQ过定点

证明(1)当直线PQ的斜率存在时,设P(x1,y1),Q(x2,y2),直线PQ的方程为y=kx+m,将直线PQ的方程代入双曲线方程,整理得(k2a2−b2)x2+2ka2mx+a2m2+a2b2=0,所以从而

由r·(k1+k2)+s·k1k2=t,整理得

因式分解得

若m−y0+kx0=0,即m=y0−kx0时,直线PQ的方程为y=kx+m=k(x−x0)+y0,此时直线PQ过定点T(x0,y0),舍去.

若(sb2+ta2)m+ta2y0+tka2x0−sb2y0−skb2x0−2rb2x0−2rka2y0=0,

①sb2+ta2=0 时,此时直线PQ的斜率为定值;

②sb2+ta20 时,有

则直线PQ的方程为

此时直线PQ过定点

(2)当直线PQ的斜率不存在时,则有设P(x1,y1),Q(x1,−y1),则有.由r·(k1+k2)+s·k1k2=t,整理得

综上,结论成立.

注记令r=1,s=−2,t=0,就是数学通报中问题2688 的证明.

定理3已知抛物线Γ:y2=2px(p >0),过Γ 上的点T(x0,y0)作两条斜率分别为k1,k2的直线,分别与Γ 交于P,Q两点(均异于点T),若k1,k2满足方程r·(k1+k2)+s·k1k2=t(r2+s2+t20),则直线PQ的斜率为定值或直线PQ过定点.

证明(1)当直线PQ的斜率存在时,设P(x1,y1),Q(x2,y2),直线PQ的方程为y=kx+m,易知k ̸=0,将直线PQ的方程代入抛物线方程得k2x2+(2km−2p)x+m2=0.所以.从而

由r·(k1+k2)+s·k1k2=t,得

因式分解得

若m−y0+kx0=0,即m=y0−kx0时,直线PQ的方程为y=kx+m=k(x−x0)+y0,此时直线PQ过定点T(x0,y0),舍去.

若−tm+2spk+2rky0+2rp−ty0−tkx0=0 时,

②t ̸=0 时,有则直线PQ的方程为

此时直线PQ过点.

(2)当直线PQ的斜率不存在时,则有设P(x1,y1),Q(x1,−y1),则有由r ·(k1+k2)+s · k1k2=t,整理得化简得(x1−x0)(tx1−tx0+2sp+2ry0)=0,解得x1=x0(舍去),或此时直线PQ过定点综上,结论成立.

注记在定理1-3 中,当s=0 时,两直线斜率之和为定值的情形,特别地,当s=0,t ̸=0 时,就是文[2]中的结论1,3,4;当r=0 时,两直线斜率之积为定值的情形,特别地,当r=0,t ̸=0 时,就是文[2]中的变式1,2,3;当r ̸=0,s=t时,为两直线所成的夹角为定值的情形.