小初数学衔接教学：从何与如何

吴立宝 刘颖超

【主持人语】 中小学各学段课程内容及其实施的上下贯通和有机衔接，有助于形成符合教育规律和人才培养规律的协同育人格局。这需要全科推进、全程推进、全员推进。近年来，江苏省苏州市姑苏区小学数学团队聚焦数学学科的小初衔接，以“教学内容不越界，课业负担不加重”为基本原则开展了专项研究，为初中数学学习做准备。本期《关注》呈现相关实践研究成果，并邀请高校专家做更具理论深度和视野宽度的思想引领，旨在为义务教育一体化的高质量发展提供可借鉴的经验和有价值的思考。

——蔡宏圣

摘要：做好学段衔接是深化课程改革、落实协同育人的必然要求。小学与初中数学衔接教学应遵循数学学科知识结构上、学生学习心理和方式轉变、思维发展及素养进阶的逻辑。在此基础上，明确小初数学衔接教学的路径：贯通数学知识内容，建立整体结构脉络；着力提升学生的自主力，疏通学习心理和方式转变的堵点；做好关键节点的教学，实现思维发展与素养进阶。

关键词：小初衔接；数学教学；知识结构；自主学习；核心素养

本文系天津市教育科学规划2021年重点课题“中小学生综合素质评价研究”（编号：BHE210014）的阶段性研究成果。

2014年，《教育部关于全面深化课程改革落实立德树人根本任务的意见》提出：“进一步明确各学段各自教育功能定位，理顺各学段的育人目标，使其依次递进、有序过渡……要增强整体性，强化各学段、相关学科纵向有效衔接和横向协调配合。”［1］《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称“新课标”）在“前言”部分提出：“遵循学生身心发展规律，加强一体化设置，促进学段衔接，提升课程科学性和系统性。”［2］并进一步明确了“小初衔接”的要求：“依据学生从小学到初中在认知、情感、社会性等方面的发展，合理安排不同学段的内容，体现学习目标的连续性和进阶性。”［3］做好学段衔接是深化课程改革、落实协同育人的必然要求。本文主要谈一谈小初数学衔接教学“从何衔接”和“如何衔接”的问题。

一、 从何衔接：小初数学衔接教学的逻辑

开展小初数学衔接教学，需要从根源出发厘清从何衔接。一方面，立足数学学科知识特征，剖析由小学到初中知识的延伸；另一方面，以学生发展为本，分析由小学到初中数学学习心理和方式转变以及思维发展、素养进阶的逻辑，从而探寻小初数学衔接教学存在的衔接点——一致性与进阶性表现。

（一） 知识结构上的逻辑

新课标对课程内容的主题进行了调整和重组，体现了知识的系统性与结构性。下面，主要分析数与代数、图形与几何、统计与概率领域的知识结构，说明小初数学衔接教学中知识结构上的逻辑。

1. 数与代数领域知识结构上的逻辑

在数与代数领域，初中阶段“数与式”是小学阶段“数与运算”的延伸。一方面，由整数、小数和分数的学习拓展到有理数、实数的学习，以此实现数系的扩充；另一方面，由数的学习到式的学习，是实数系向代数式体系的推广，式的概念是通过字母表示数，在数及其运算的基础上建立起来的。［4］“数与式”“数与运算”的小初一致性体现在“计数单位”上。整数的计数单位是10n-1（ｎ为正整数，后同），分数的计数单位是1n，小数的计数单位是10-n，初中阶段代数式的计数单位可看作“同类项”，数与式的运算本质上都是计数单位的个数累加。因此“数与式”不仅是“数与运算”的发展，而且与“数与运算”有相通的本质内核。

初中阶段“方程与不等式”“函数”是小学阶段“数量关系”的延伸，即从常量相等关系的学习过渡到含有未知量的相等关系和不等关系以及变量之间数量关系的学习。对于“方程与不等式”，小初衔接点体现在，小学阶段等式的基本性质、等量的等量相等的基本事实等内容是初中阶段“方程与不等式”的基础：小学阶段的学业要求是在具体情境中感受等式的基本性质，而初中阶段的学业要求是掌握等式的基本性质并运用其进行等式的变形、解方程，即进行结构化变形而非程序化运算。这也体现了算术思维向代数思维的过渡。对于“函数”，小学阶段是在具体情境中认识、感悟数量的变化，探索规律或变化趋势，初中阶段则是抽象概括出函数的定义，以动态的变化观理解变化过程中的变量关系，研究其几何特征与数量特征。

此外，数与代数领域小初转变的关键点是对“字母”一般性理解程度的加深：小学阶段强调在具体情境中用字母表示关系和规律，初步感受其一般性；而初中阶段强调能够用字母进行形式化的操作和推理，关注结论的一般性。这也是算术思维向代数思维过渡的关键所在。

2. 图形与几何领域知识结构上的逻辑

在图形与几何领域，初中阶段“图形的性质”是小学阶段“图形的认识与测量”的延伸。一方面，从感知图形的特征、组成图形的要素特征的学习过渡到从基本事实出发，通过直观感知、操作验证、推理论证，研究图形的组成要素、性质及图形与图形的关系的学习，抽象概括和推理论证能力要求提高，并逐步发展公理化思想，构建几何基本体系。另一方面，在直观度量研究图形特征的基础上进一步一般化，从推理的角度发现图形组成要素及图形之间的关系。

初中阶段“图形的变化”“图形与坐标”是小学阶段“图形的位置与运动”的延伸。小学阶段“图形的运动”认识图形的三种刚体变换，即平移、旋转和轴对称，体会变化过程中的不变量；初中阶段“图形的变化”提升要求，理解三种图形运动，探索其基本性质，同时加入相似变换等，由欧式几何扩展到仿射几何，初步接触射影几何。在小学阶段“图形的位置”借助方格纸上点的位置与数对的关系积累的坐标学习经验的基础上，初中阶段“图形与坐标”引入平面直角坐标系，理解平面上的点与坐标一一对应，利用代数思维、数形结合方法研究几何。“图形的运动”和“图形的变化”是从变化的角度研究图形，“图形的位置”和“图形与坐标”是从解析几何的角度研究图形的运动变化。

图形与几何领域的一致性体现在其本源是“度量”：图形的概念可以在度量中建立，图形的大小可以度量，图形的位置及其变化关系也是在度量基础上研究的。［5］因此，“度量”不仅有利于衔接学段间的联系，还可以沟通“图形与几何”各主题的联系。

3. 统计与概率领域知识结构上的逻辑

对于统计内容，初中阶段“抽样与数据分析”是小学阶段“数据分类”“数据的收集、整理与表达”的延伸。小学向初中转变的关键点是由描述性统计转变为更关注数据分析的推断性统计，渗透归纳的统计思想，利用样本的数字特征来估计总体的数字特征和变化趋势，更加全面地感受数据的数字特征。统计解决问题包括收集数据、整理数据、描述数据和分析数据的过程。在收集数据的过程中，小学阶段主要感受生活中大量存在的数据，利用调查、实验、测量、查阅资料等方法收集数据，更多地体会数据中蕴含的信息——对于小初衔接而言，注意在小学阶段就为初中大样本数据收集的学习积累客观经验；初中阶段则进一步感受現实数据的不确定性，要求学会用简单随机抽样的方法收集数据，体会抽样不同导致得到的数据结论不同，感受统计中或然推理的归纳思想，对数据收集方法做合理决策。关于数据的整理与描述，第一步是数据的分类，从小学阶段要求对物体、图形或数据按一定的标准进行分类转变为初中阶段对数据按照组内离差平方和最小的原则进行分类，事物的物理属性逐渐被过滤，数据观念进一步凸显出来；同时，小学阶段要求在数据分类的基础上，绘制条形图、折线图等统计图表来表达数据，并认识扇形统计图，借助图形直观感知数据的特征，初中阶段除这三类统计图外，增加扇形统计图和频数分布直方图的绘制，强化统计图的意义表达，增强对数据理性刻画能力的要求。关于数据分析，小学阶段学习反映数据集中趋势的平均数和表达确定数据及随机数据的百分数，初中阶段感知用平均数进行统计推断的结论对一些情况已不能有力地帮助决策，进而过渡到更加全面地学习反映数据集中趋势、离散程度以及分布位置的数等，并用样本从特殊到一般地估计总体，初步渗透数理统计的思想，从对数据的局部认知发展到全局认知。

对于概率内容，初中阶段“随机事件的概率”是小学阶段“随机现象发生的可能性”的延伸。从定性描述延展到定量刻画从而深入理解“随机性”，是小初衔接的关键节点：小学阶段在定性层面感知随机现象发生的可能性，通过实例丰富感受随机现象及其结果发生的可能性的体验；初中阶段在定量层面了解随机现象的意义和本质，通过量化随机现象的可能性推断不确定性背后的规律性。

（二） 学习心理和方式转变的逻辑

一方面，从小学到初中，数学知识的抽象性跨度较大，推理论证的规律性、逻辑性和理性程度提高，以及学习内容难度、深度和广度的变化，会给学生带来困难和挑战，使学生产生畏难心理乃至自卑心理，导致学生学习积极性减弱，不习惯、不适应新的学习内容和学习环境，造成学习上的心理障碍。但是另一方面，步入初中阶段，学生的自主性和独立性增强，面对新的知识境脉，对抽象内容的兴趣也会提高，渴望从更具一般性的角度认识事物，透过具体的表象去认识数学知识的本质规律；同时，对教师的依赖有一定程度的降低，更想整理和分析自己的感性经验，由表及里地思考具体和个别事物背后的一般规律，并概括其本质特征，从而深化和丰富对一类事物的认识。因此，只要合理铺设抽象知识形成过程的台阶，调动学生的主动性和求知欲，便会激发学生积极的学习心理变化，借助非智力因素的影响为小初数学衔接的有效教学实施打好基础。

学习心理的变化也决定着学习方式的转变。小学阶段的学习方式主要是模仿性学习，即惯性地跟随教师的思维进行思考。初中阶段，学生独立自主的需要迅速萌生，自我意识逐渐觉醒，他们力求成为主动的探索者、发现者和选择者，更加独立地观察和思考，从而形成自己的见解。［6］尤其在综合与实践领域，学习方式由小学的跨学科主题式学习转变为初中的跨学科项目式学习，提升了对自主合作和探究能力的要求，注重经历发现问题、实践探究、最终解决问题的动脑思考、动手操作、用心体悟的交互过程。学生自主学习能力的提升要求教师在小初数学衔接教学时，处理好“导”与“学”的关系，为学生提供自主探究和独立思考的学习机会，激发学生的主体意识，采用研究性学习、项目式学习、问题式学习和合作学习，促进模仿性学习转变为主动性学习及创造性学习。

（三） 思维发展的逻辑

小初数学衔接教学的另一难点是学生思维的变化和发展。从小学到初中思维变化和发展的总体特征为由具体形象思维到抽象逻辑思维：小学阶段以具体表象与思维关联形式为主导，初中阶段以概念、判断、抽象、概括、推理的形式进行思维为主导。具体表现在以下三个方面：

一是算术思维向代数思维的发展。算术思维是利用数和数量进行计算、求得结果的过程，采用的是操作性观念；而代数思维是对结构和关系的一般化思考，表现为结构性观念。算术思维向代数思维转换的关键，一方面是对潜在代数结构的识别，转变算术中执行程序化计算的思想，以联系性和结构性的视角发现潜在的代数结构关系、变化规律，并以一般化的符号表征和推理论证；另一方面是对未知量的理解，算术思维中需要通过操作已知量来求解未知量，而代数思维中未知量是可以操作的对象，参与到变形和计算中，且其结果不一定是具体的数值。

二是直观具体思维向形式演绎思维的发展。小学阶段主要经历的是经验性抽象（直接来源于客观对象本身及其性质）和伪经验性抽象（来源于作用在客观对象上的行动，如数感和量感中所形成的感觉就可以理解为这一层面的抽象）［7］，两种抽象构建起了具体化世界。初中阶段则是进一步的理性分析和对抽象进行的再抽象，使用符号来操作、推理论证、形式演绎，进入形式化世界。中间的过渡是过程概念化世界：将先前的抽象形成更确切的概念和关系。符号就是一个很好的工具，既表示一个过程，又表示一个概念，是直观感知和形式演绎的中介和桥梁。

三是定性描述向定量分析的发展。这主要体现在统计与概率领域的学习中：小学阶段倾向于感知数据的分类，利用直观统计图呈现数据，以及理解随机现象有可能性的大小，形成数据直觉；初中阶段则强化随机性概念，借助多种统计量刻画数据特征，如反映数据集中趋势、离散趋势和分布位置的统计量，使之更好地判断和估计随机大数据的特点，并定量刻画随机事件可能性的大小。由定性到定量的思维过渡，关键是对随机性和不确定性的理解，进而理解不确定中确定的规律，把握大数据的本质特征。

（四） 素养进阶的逻辑

新课标将数学核心素养正式凝练为“三会”，并提出其具有整体性、一致性和进阶性的特点。小学阶段和初中阶段，数学核心素养具体表现的变化特点主要体现在两个方面：

一是小学阶段“感觉”和“意识”到初中阶段“能力”的进阶。“感觉”是“客观事物作用于感觉器官而引起的对该事物的个别属性的直接反映”［8］，不需要将事物在一定的相互联系和相互区分中构成的全部复杂情况在头脑中取得一个尽可能确切的“映像”［9］。比如，数感是对数与数量、数量关系及运算结果的直观感悟，量感是对事物可测量属性及大小关系的直观感知，［10］它们强调的是一种认知直觉，需要具备大量具体经验以达到相应的感觉阈限，连接起主体感觉和客体知识之间的联系，进而在下次遇到数或量的内容时，形成一种无意识或潜意识的判断。例如，估计课桌宽度，反映出的是40 cm，而不会错误反映成40 dm。小学阶段的“意识”主要指包括感觉、知觉、思维等在内的一种综合认识活动，集中于对数学活动经验的感悟，是从感性的基础认识活动逐步走向经验化的理性认识活动的认知过程。［11］比如，符号意识是能够感悟符号的数学功能，推理意识是对逻辑推理过程及其意义的初步感悟，它们侧重于在经验直觉基础上对其过程、意义和功能的感悟，具有一定的思维成分。“能力”是能够成功完成某种活动所必需的个性心理特征，初中阶段的“能力”指以概括为基础，表现出由感性具体、经验化理性向一般化理性以及辩证逻辑发展的动态认知过程。［12］从数感和量感的直观感知过渡到形成数学概念、性质、法则以及方法的抽象能力，需要经历由实物层面抽象到符号层面抽象中间的半符号层面的抽象，逐步建构起概念、性质、法则等事物的确切“映像”。由符号意识、推理意识过渡到抽象能力、推理能力，需要进行有意识加工和逻辑分析，逐步形成稳定的具有理性一般特征的思维模式，而后发展到能够利用数学概念、性质、法则等条件推出其他命题和结论。

二是小学阶段“意识”到初中阶段“观念”的进阶。“观念”指表象或客观事物在人脑中留下的概括形象，在康德和黑格尔等人的哲学观中，指理性领域内的概念，如黑格尔认为观念是自在而自为的真理，即概念和客观性的绝对统一。［13］因此，“观念”需要在“意识”的经验化感悟中进一步抽象概括。比如，在对数据意义和随机性的感悟、对数学模型普适性的初步感悟基础上，在现实世界与数学世界、客体与主体、特殊与一般的交互中，统一对事物的主客观认识，形成对数据的意义和随机性、运用数学模型解决实际问题的清晰认识，能够根据情境确定合理的数据收集、整理、表达和分析的方法，对数据进行分析判断，并定量表述随机事件的可能性，能够建立合适的模型表达数学中的关系和规律。

此外，还需要注意运算能力、几何直观、空间观念等具体表现的一致性。这就要进行小学和初中一脉相承的贯通式培养，始终关注规范严谨的运算能力，运用图表描述和分析问题的能力，根据特征对图形形状、大小、位置关系进行空间想象的能力。

二、 如何衔接：小初数学衔接教学的路径

（一） 贯通数学知识内容，建立整体结构脉络

新课标强调：“设计体现结构化特征的课程内容”，“注重教学内容的结构化”。小初数学衔接教学的关键就是将课程内容结构化，形成对知识体系的整体认识。布鲁纳曾提出结构化教学，认为需要将知识领域更广博的结构脉络弄清楚，用基本和一般的观念来不断扩大和加深认识。［14］具体地，一是熟知小学和初中数学知识发展的脉络，形成对知识结构的贯通式理解，厘清数与代数、图形与几何、统计与概率等领域各主题的知识结构，以联系的角度系统化看待各主题内容。例如，将“数与运算”“数与式”看成结构化的整体，以实现数系的扩充和实数系向代数式体系的扩充；将“数量关系”“方程与不等式”“函数”看成结构化的整体，以实现由常量到变量的进阶。同样，“图形的认识与测量”“图形的性质”，“图形的位置与运动”“图形的变化”“图形与坐标”，“数据分类”“数据的收集、整理与表达”“抽样与数据分析”，“随机现象发生的可能性”“随机事件的概率”可以看成四个结构化的整体，同时关注推理论证、归纳概括运动中的不变性及量化分析的进阶发展。二是把握具有一致性的核心概念，实现知识本质理解的上通下达。这些本质内核不随着知识和年级的变化而变化，也并非只能解决一时一事的问题，把握住它们可以起到以一通百、以一法通一类的作用，会使小初数学衔接教学开展得更加顺利。例如，“计数单位”是“数与运算”与“数与式”中相通的核心概念，对计数单位的理解有利于达成对同类项及代数式运算的更好理解。具有整体性的课程，以核心概念为线索，形成若干相互关联、连续进阶的发展脉络，有利于塑造学生的知识结构，是解决知识体系不断增长问题的必然路径［15］，能帮助学生理解数学知识、发展数学素养，同时，結构化的组织也有利于实现教、学、评的一体化。

（二） 着力提升学生的自主力，疏通学习心理和方式转变的堵点

从小学到初中，教师要充分利用学生自觉性、主动性和独立性增强等变化特征，疏通学习心理转变的堵点，采用合理的学习方式，以实现数学学习的平稳过渡。首先，以生为本铺设过程性台阶，帮助学生克服学习心理障碍。学生刚刚学习初中数学时，其学习心理障碍主要来源于知识抽象性的增强和数学思维方式的转变。因此，教师需要为知识的形成搭建阶梯，将复杂抽象的学习任务逐级分解成学生“最近发展区”内的学习任务，发挥学生的主体意识，激发学生想要一探究竟的心向，使其深度卷入提取问题、解决问题的学习活动中，成为知识的创造者和学习的掌控者，获得学习内驱力，提升自我效能感，在心理上逐渐消除知识的陌生感，实现从学会到会学再到乐学。其次，重视培养学生的自主力，实现学习方式的转变。初中数学对学习方式的要求有所变化，重视基于真实情境的问题解决式学习和项目式学习，尤其是综合与实践领域的学习。因为初中生的自主意识和独立意识逐渐增强，渴望发现问题、探究问题，进行意义建构，而这正是破除小初数学衔接教学壁垒的有利资源。通过发展学生的自主力，使其经历独立思考、自主理解、操作探究的探寻数学知识产生、形成和发展的过程（也是发现问题和解决问题的过程），改变对教师讲解习惯性依赖的情况，及早适应初中阶段的学习方式；同时，也能发展学习的积极性，产生良好的学习心理，更好地适应初中阶段的数学学习。

（三） 做好关键节点的教学，实现思维发展与素养进阶

从小学到初中的过渡，学生的思维处于从具体形象上升到抽象逻辑的阶段，数学核心素养处于由感觉和意识层面上升到能力和观念层面的阶段。这样的上升并非一蹴而就，需要教师在关键节点处搭建阶梯，帮助学生实现“质”的飞跃。其一，明确小初发展与进阶的关键节点。例如，统计与概率领域，统计思维和数据观念的跃迁需要建立在对随机性和不确定性的深化理解上。现实世界的不确定性需要利用统计与概率来“确定”，统计学侧重用数据来刻画随机现象，概率论侧重建立理论模型来刻画随机现象。［16］小学阶段主要是对大量真实数据进行直观感知，发展统计直觉；小初衔接时，应把握好对随机性、不确定性的理解，进一步渗透正是由于不确定性，得到的结论，或者说对结果的判断有好与坏之分（并且可以计算出其可能性的大小），而无对与错之别，从而发展统计思维，实现由数据意识到数据观念的进阶。同理，数与代数领域，小初衔接时，要关注字母符号的教学，帮助学生实现算术思维向结构化和一般化的代数思维的发展。其二，借助半直观半抽象的内容实现从感性到理性的抽象过渡，如使用表格等工具研究函数，通过不断归纳和概括，从中发现变量之间的关系，进而抽象出函数的概念和性质。其三，提前渗透思想方法。小学阶段可以渗透非形式化演绎推理，如判断某平行四边形（大前提）是否为正方形时，需要看该图形是否满足“一组邻边相等，一个角是直角”（小前提），从而得到结论，由此渗透三段論的思想，为初中阶段的形式化演绎推理奠定基础。

参考文献：

［1］ 中华人民共和国教育部.教育部关于全面深化课程改革落实立德树人根本任务的意见［EB/OL］.（20140408）［20230721］.http：//www.moe.gov.cn/srcsite/A26/jcj_kcjcgh/201404/t20140408_167226.html.

［2］［3］［10］ 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）［S］.北京：北京师范大学出版社，2022：前言2，前言4，7.

［4］［16］ 史宁中，曹一鸣.义务教育数学课程标准（2022年版）解读［M］.北京：北京师范大学出版社，2022：147，211.

［5］ 马芯兰，孙佳威.开启学生的数学思维：对马芯兰数学教育思想的再认识［M］.北京：北京师范大学出版社，2021：63.

［6］ 郝立萍，张莹.加强“小初衔接”提升育人实效——北京景山学校的再探索与实践［J］.中国教育学刊，2023（增刊2）：46.

［7］ 鲍建生，周超.数学学习的心理基础与过程［M］.上海：上海教育出版社，2009：70.

［8］［13］ 辞海编辑委员会.辞海（第六版）［Z］.上海：上海辞书出版社，2011：1158，1318.

［9］ 潘菽.意识——心理学的研究［M］.北京：商务印书馆，1998：28.

［11］［12］ 吴立宝，刘颖超.从意识到能力：代数推理认知发展的进阶理路［J］.课程·教材·教法，2023（4）：120，121.

［14］ 布鲁纳.教育过程［M］.邵瑞珍，译.北京：文化教育出版社，1982：3647.

［15］ 吕立杰.课程内容结构化：教育现代化的议题［J］.教育研究，2023（4）：5765.

（吴立宝，天津师范大学教育学部，教授，博士生导师。主要研究方向：教师教育与数学教育。刘颖超，首都师范大学教师教育学院，博士研究生。主要研究方向：数学教育。）