基于深度学习理念的初中数学教学设计课例研究

周素萍

摘要：判定数学深度学习是在教师的引领下，学生围绕具有趣味性、挑战性的数学学习主题，积极参与，提高学习效率。它不仅要求学生学会理解数学知识的本质，关注数学知识之间的联系，还更多地注重应用、分析、创造等高阶思维活动。它的最终目标指向发展学生的数学素养。为了让学生形成主动、积极的深度学习，笔者通过“圆内接四边形”新授课教学设计的分析，提出指向深度学习的教学设计的三个立足点：基于单元整体理解及设计、基于数学内容的变式和整合、基于学生对问题的多角度体验。

关键词：深度学习   几何学习  圆内接四边形

一、教学内容解析

本节课是浙江教育出版社《数学》九年级第三章第六节的内容，“圆内接四边形”安排为1课时。《数学课程标准》对本节课的要求及建议是：“在平面几何研究的基础上，拓展与圆有关的定理系统，进一步深入研究平面几何。”其中对学生学习水平的要求是：“会解决一些较复杂的几何论证和计算问题，提高直觉思维、归纳猜想和逻辑推理能力。”

这节课中，笔者尝试运用实验几何与论证几何相结合的研究方式，展现几何研究的完整过程，并用准确的数学语言进行论证；从多角度探究定理，并发现其本质都是几何演绎；进一步从“定义→判定与性质→运用”的基本结构特征演绎推导出圆的内接四边形的判定定理，充分体现化归思想方法。

二、教学目标设置

（一）经历探索圆内接四边形判定的过程，体会研究图形判定条件的方法。

（二）掌握圆内接四边形的判定定理，能运用圆内接四边形的判定定理解决简单的数学问题。

三、学生学情分析

学生已熟悉圆周角、弦切角定理、相交线定理、切割线定理等具体知识，会利用这些定理解决一些问题，也了解可以从性质定理的逆命题出发探索其判定定理。但是对于为什么研究圆的内接四边形判定，直线型图形和曲线型图形之间有何联系，学生还不能抽象出整体的知识框架，这限制了圆的相关性质和判定的应用，所以有进一步研究推导判定定理的必要。

四、教学策略分析

依据教学内容与要求，针对学生的认知能力和特点，笔者对本节课的教学进行如下设计。

在教学内容的结构上，注意整个单元的“瞻前与顾后”，定理探究兼顾“实验与演绎”，教学安排选择“主要与次要”。

（一）瞻前與顾后

本节课伊始即通过回顾上一节学习的性质，指出几何的学习探索大都通过“定义→判定与性质→运用”的基本结构特征进行，让学生能够带着方法进入这节“似曾相识”的判定课。完成判定定理演绎论证后，再次从“定义→判定与性质→运用”的基本结构揭示几何学习的基本方法，并形成知识框架，帮助学生把握数学知识的本质联系，对学到的知识进行迁移与应用。

（二）实验与演绎

初中平面几何是从实验几何过渡到演绎几何的，本章节作为最末一章，当然也要关注两者之间的联系，以“先画圆还是先画四边形”厘清证明的逻辑关系，再结合性质及其逆命题的关系导出猜想，进行对比，更加强调几何演绎的思想方法。最后再回到具体的证明判定定理中，类比问题的转化，从三点转化到四点，使对圆的相关性质理解更深刻、准确。

（三）主要与次要

笔者将教学的重点放在经历探索圆内接四边形判定的过程以及体会研究图形判定条件的方法上，给予学生足够的时间探索判定定理，体会演绎几何的思想方法。而将运用判定定理化“隐圆”为“显圆”融入整节课的例题中，这样的设计着重探索推导过程，又涵盖了深度的知识点，达到本节课的教学目标。

五、教学过程设计

（一）复习旧知，引入新知

几何命题的探索应当符合学生的认知基础，也需要符合学生的认知水平，同时应当符合学生的思维逻辑。如何在课堂教学中引导学生探究并合理猜想，一直是圆内接四边形判定定理教学的难点，其原因在于圆的基本要素、相关要素比较多，判定四点共圆不只是寻找角的关系，边的关系也会涉及，所以仅依靠简单地测量、观察很难发现其中的规律。事实上，学生已经学习了圆内接四边形的性质——对角互补，因此，引导学生关注互逆定理的推导，进而从定理的逆命题引出猜想相对合理。

浙教版教材的编排也是以这一逻辑呈现的，前后联系紧密，便于学生对知识进行迁移，迅速猜想得到四点共圆的条件，彰显了教材编写的智慧。

教学设计一

问题1：对于圆，我们已经从哪些角度进行了研究？

问题2：从以前研究三角形、四边形的过程来看，在研究了与圆有关的角及比例线段后，我们还可以从哪个角度对圆继续开展研究？

问题3：根据圆内接四边形的性质，你能提出一个合理的猜想吗？

设计意图：要引出圆的内接四边形的判定定理，应该找出新知识的生长点，做到瞻前顾后，从学生已有的知识及经验出发，类比之前三角形、四边形章节的判定定理探究过程，让学生从“定义→判定与性质→运用”的基本结构厘清研究脉络，并从整体形成知识框架。

（二）分析验证，揭示本质

圆内接四边形判定的证明也是本课教学的难点之一，在此之前，学生对于论证点是否在圆上的方法掌握较少，圆的定义、三角形的外接圆具有一定关联，学生会运用类比的思想，先任意选出三点作一个圆，然后证明另一个点也在该圆上。因此，对于圆内接四边形判定定理的证明，本课引导学生类比问题的转化，从三点转化到四点。

教学设计二

问题4：教材上有与证明点在圆上相关的知识吗？

追问1：证明的题设和结论分别是什么？

追问2：请大家先尝试画出图形，先画圆还是先画四边形？

设计意图：借助要证明的结论寻找相关圆单元的知识点，引出圆的定义、不在同一直线上的三点在一个圆上等相应的知识。通过是先画圆还是先画四边形这一问题，厘清证明的逻辑关系，学生独立思考操作，明确已知和求证，启发学生思考问题的症结，引导学生一步步深入思考判定定理的本质。

问题5：如何确定第四个点在圆上？

问题6：如果不好直接论证，那么反过来想一想，第四个点不在上面会如何？点D在圆上的反面是什么？

设计意图：启发学生将四点问题转化为“三加一”的问题进行研究，最后启发学生反向思考，即可以用反证法间接证明。

问题7：说出证明这个问题的思路。

活动1：结合图形（如图l、图2），引导学生完成该过程的证明。

设计意图：明确命题的三种语言，引导学生明确思路。

（三）梳理归纳，解决问题

活动2：例题分析

例题：已知，如图3，在△ABC中，AB=AC，O是边BC的中点，点D，E分别在边AB，AC上，且么∠DOE+∠A=180°，求证：OD=OE。

设计意图：可以通过八年级学习的角平分线性质、垂直平分线性质添加辅助线解决（如图4所示）。引导学生比较不同解法处理同一道题目的优点与不足，帮助学生在理解不同解法的基础上优化解题思路，同时助其运用判定定理化“隐圆”为“显圆”，利用圆的相关性质解题，体会圆的工具性。

（四）布置作业，拓展提高

从下列问题中任选其一完成独立探究，整理学习报告，在班内进行展示。

问题8：请查阅数学练习册，是否有可以运用本节课学习的判定定理解决B的习题？

问题9：是否可以将圆内接四边形判定定理推广到圆内接五边形判定定理？

设计意图：考查学生对本节课内容的理解与掌握程度，积累研究几何图形的数学活动经验，培养类比意识与迁移能力，发展数学素养。

六、教学思考

（一）指向深度学习的教学设计，是基于单元整体理解及设计

单元深度理解是课时教学的指引，进行教学设计时必须瞻前顾后——本节内容与以往的内容有何联系？之后的内容与现在的内容又有何联系？

“瞻前”使得当下的课时有切实的生长点，从几何学习的基本结构及脉络类比切入，这样的学习對学生认知构成挑战，形成了新的知识序列和联结，真正与学生原有的知识发生深刻交融，进入高层次的思维系统，让学生能够顺利地进行迁移和运用，并以融会贯通的方式解决相应的问题，甚至产生创造性的思考和方案，达到触及数学本质的深度学习效果。“顾后”使当下的课时定位更科学，立意更深远，学生以学习活动为意识对象，对思维活动进行计划监控与调节，从而形成更高阶的认知能力。

（二）指向深度学习的教学设计，是基于数学内容的变式和整合

数学深度学习的资源需要经过加工，这就要求在教学设计时对学习素材进行变式和整合。数学深度教学之于课堂需要进行变式和整合，先画圆还是先画四边形在孤立的场合中呈现为技巧性问题，但是在推导定理、介绍教材和证法拓展的深度学习过程中，它展现了圆的内接四边形的判定本质这一深刻认识的必然，几何演绎思想方法呼之欲出。

（三）指向深度学习的教学设计，是基于学生对问题的多角度体验

数学深度学习是一个过程，既存在于个体的思维之中，也通过群体间互动而生的深切体验深化。具体知识与问题是数学思维的载体，用不同的方法解决同一问题，并发现这些方法间的关联与统一是思维体验常用的策略。

在中学数学课堂中，基于深度学习理念的教学设计能够帮助学生把握数学知识本质，激发学生的数学学习兴趣，促使学生积极主动地参与到课堂教学活动中，在数学学习的过程中发现问题，在思考问题的过程中深化思维。教师还可以根据数学课程知识拓展内容，让学生参与到展示活动中，培养学生的数学思维，提高数学课堂教学的效率，为学生今后的数学学习与发展奠定坚实的基础。