立足单元主题 促进自然生成

卓丽霞

［摘 要］三角函数是一类典型的周期函数，以教学“三角函数的概念”为例，教师可以通过设计问题串，建立函数模型，借助单位圆研究三角函数，借助“C30畅言智慧课堂”引导学生进行自主探究并抽象概念，让学生领悟从具体实例中发现一般规律的数学思想。

［关键词］三角函数；函数模型；单元主题；单位圆

［中图分类号］    G633.6        ［文献标识码］    A        ［文章编号］    1674-6058（2023）11-0023-03

“三角函数的概念”是人教A版教材必修第一册第五章“三角函数”第二节的内容。三角函数是一类典型的周期函数。现实世界中的许多现象都有循环往复、周而复始的规律，笔者在教学“三角函数的概念”时，从我国古代发明的灌溉工具——筒车的转动视频导入，介绍筒车“周而复始”的变化规律。

一、教学过程

（一）创设情境，建立模型

问题1：根据已有的研究函数的经验，你认为可以按怎样的路径来研究周期性问题？

教师引导学生类比学习幂函数、指数函数、对数函数，讨论后得出研究路径：明确研究背景—分析对应关系的特点—归纳共性下定义—研究性质。教师可引导学生将筒车抽象为一个圆，让学生研究圆周上动点[P]的位置变化情况。

追问1：[P]点在圆周上运动一圈，你如何定义一圈？

学生指出要从某一点[A]出发，绕一圈回到[A]点，师生共同复习“任意角和弧度制”，指出圆周上的角顺时针旋转为负角，逆时针旋转为正角，角的范围为全体实数，角的大小与半径无关，从而将筒车的圆周运动抽象为单位圆上点[P]以[A]为起点做逆时针方向旋转（如图1所示）。

追问2：点[P]在做“周而复始”圆周运动的过程中，从哪些方面可以体现出它“周而复始”的特点？

学生分组探讨得出：点[P]在转动过程中，位置会重合，以[OA]为平衡位置，点[P]在水平方向和竖直方向离[OA]距离呈现“周而复始”的现象。

追问3：你能通过什么途径来刻画这种现象？

在教师的引导下，学生发现可以用坐标来刻画，且通过对原点落在不同位置的分析发现建立坐标系的合适位置：以[O]为原点，以[OA]为[x]轴的正方向（如图2所示）。结合前两节的学习，教师指出在运动过程中点[P]的坐标、旋转角[α]都随之变化。

设计意图：鉴于周期现象的复杂性，将筒车旋转问题简化，抽象成单位圆上点的运动，并寻求合适的函数模型进行刻画，探究建立坐标系的必要性和合理性，渗透数形结合思想，发展学生的数学抽象素养。

（二）自主探究，归纳共性

问题2：在运动过程中，点[P]的横坐标[x]、纵坐标[y]和旋转角[α]有哪两个变量可以构成函数关系？

学生自主探究发现，由勾股定理可知[x2+y2=1]，这不符合函数的定义。教师点明本节课的研究对象为角[α]和点[P]的坐标，接下来主要进行对应关系的分析。

追问：如何研究一个一般性的问题？

设计意图：教师引导学生从学习函数的经验得出从“特殊到一般”的研究方法，为后面的探究活动做好铺垫。

探究活动：在上述建立的直角坐標系中，将射线[OA]从[x]轴的非负半轴开始，绕点[O]按逆时针旋转角[α]，终止位置为[OP]。

问题3：确定角[α]后，角的终边与单位圆的交点[P]唯一确定吗？能否求出点[P]的坐标？

教师引导学生在平板电脑上做出一个确定的角[α]，之后进行小组交流，各小组选出一份较为完整的探究材料，通过平板电脑上传，由学生挑选出四份材料让小组代表上台展示（如图3所示）。上台展示的学生通过对不同的旋转角的分析，得出了一致的结论：角[α]的终边与单位圆的交点[P]唯一确定，且通过直角三角形可以求出点[P]的坐标。教师引导学生共同得出求点[P]的坐标的一般步骤：画出角[α]的终边[OP]，过点[P]作[x]轴的垂线交[x]轴于[M]，在直角三角形[OMP]中，利用直角三角形的性质求得点[P]的坐标。教师引导学生，让学生发现如果[α=13π6]与[α=π6]的终边重合，那么这两个角的终边与单位圆的交点坐标是一致的，为下一节学习诱导公式做好铺垫。

追问1：利用平板电脑中GGB画图，任意给定一个角[α]，观察它的终边[OP]与单位圆的交点[P]的坐标，你能得出什么一般性的结论？

教师用GGB展示任意角对应的点[P]坐标，并借助“C30畅言智慧课堂”让学生在平板电脑上操作，由一些特殊例子让学生归纳出一般结论：对于[R]中的任意一个角，它的终边[OP]与单位圆的交点为[P（x，y）]，无论是横坐标[x]还是纵坐标[y]，都是唯一确定的。

追问2：能否用函数的语言来刻画这种对应关系？

学生下结论，教师补充完整。探究中发现两个对应关系，[f]：实数[α]（弧度）对应点[P]的纵坐标[y]；[g]：实数[α]（弧度）对应点[P]的横坐标[x]，两个都是从集合[R]到集合[-1，1]的函数。

追问3：根据这两个对应关系，能求出前面探究中你所取的角对应的函数值吗？

设计意图：让学生通过实际操作和共同探究，并结合教师的设问、追问和直观操作，从特殊到一般再到特殊，厘清三角函数的三要素，初步建构三角函数的概念，使让学生体会函数思想和数形结合思想的重要应用，培养学生的直观想象能力。

问题4：在以往的学习中你有类似引入特定符号表示一种量的经历吗？

类比给对数下定义的过程，明确需引入新的符号来表示上述两种对应关系。设任意给定一个角[α]，它的终边[OP]与单位圆的交点为[P（x，y）]，点[P]的纵坐标[y]叫作 [α]的正弦函数，记作[sinα]，即[y=sinα]；点[P]的横坐标[x]叫作 [α]的余弦函数，记作[cosα]，即[x=cosα]，教师强调符号的书写和意义：脱离了[α]，单独的[sin]和[cos]都是没有意义的。

追问1：给定角[α]，点[P]的纵坐标[y]与横坐标[x]之比[yx]是否也唯一确定？

学生自行给正切函数下定义，并按照函数的定义与常用符号表示三角函数。教师引导学生从函数三要素进行研究，指出正弦函数、余弦函数的定义域和值域，通过特殊角[α=π2]的终边[OP]与单位圆的交点坐标，让学生自然发现正切函数中角[α]的终边不能落在[y]轴上，从而其定义域为[xx≠π2+kπ，k∈Z]，值域为[R]。

设计意图：引导学生类比已有的知识，理解三角函数符号的意义，明确三角函数的三要素，给出三角函数的常用记号，为后续章节的学习做好铺垫。

（三）寻求关联，深化认识

问题5：设[x∈0，π2]，把按锐角三角函数定义求得的锐角[x]的正弦记为[z1]，并把按三角函数定义得到的[x]的正弦记为[y1]，[z1]与[y1]相等吗？

学生阅读课本第178页，独立思考后进行小组交流。教师引导学生作出[Rt△OBC]，其中[∠O=x]，[∠C=90°]，得到[z1=BCOB]。以[O]为原点，[OC]为[x]轴的正半轴建立直角坐标系，作单位圆（如图4所示），根据三角函数的定义有[y1=sinα=B1C1OB1=BCOB=z1]。

追问1：对于余弦函数、正切函数是否有相同的结论？初中的三角函数和高中的三角函数有什么区别？

学生自行探究发现余弦函数、正切函数有着相同的结论。教师先引导学生从三角函数的定义、定义域、值域三个方面，比较初中和高中的三角函数定义的区别，再进行完善，体现三角函数定义的统一性和兼容性。

设计意图：从边长比值定义三角函数到借助单位圆定义三角函数，使学生理解其中的联系，发现两者的不同之处，感受到在数学学习过程中引入一个新概念或法则，总希望它与已有的概念或法则相容。

（四）联系例题，迁移内化

［例1］求[5π3]的正弦、余弦和正切值。

学生借助“C30畅言智慧课堂”抢答，教师给予评价，并总结从定义出发求三角函数的步骤。

［例2］设[α]是一个任意角，它的终边上任意一个点[P]（不与原点[O]重合）的坐标为[（x，y）]，点[P]与原点的距离为[r]，求证：[sinα=yr]，[cosα=xr]，[tanα=yx] 。

追问1：例2实际上给出了任意角三角函数的另外一种定义，而且这种定义与已有的定义是等价的。你能用规范的数学语言描述一下这种定义吗？

学生小组探讨交流后用数学语言给三角函数和坐标比下定义。

设计意图：通过例题分析，巩固本节课的知识点，使学生能从另一个角度理解三角函数的定义，同时让学生对单位圆这一模型进行再认识，体现单位圆的重要性，展示数学的简洁美。

（五）课堂小结

引导学生从数学建模的角度思考如何建立一个函数模型来刻画点[P]的位置关系，并利用从特殊到一般再到特殊的数学思想方法自主探究，在这过程中，学生体会到了单位圆在学习三角函数中的重要作用，为后续学习诱导公式等内容奠定基础。学习三角函数让学生经历了与前面所学函数不同的学习过程和相似的研究路径，学生能利用三角函数的定义进行求解特殊角的三角函数值。

（六）作业布置

（1）必做题：课本第184页习题5.2 1、2。

（2）选做题：三角函数与单位圆有着密切的联系，类比函数性质的研究，利用单位圆的性质从数形结合的角度研究一下正弦函数、余弦函数的性质。

（3）“阅读与思考”任务：阅读课本第186页《三角学与天文学》材料，借助教室的平板电脑查阅三角学发展历程的相关文章，了解三角学在天文学、物理学方面的应用，下节课课前按小组进行分享。

二、教学设计反思

（一）整体设计，实施单元主题教学

教师在进行教学设计时应准确把握知识的前后联系、逻辑顺序，从学生现有的认知水平出发，把核心概念放在上、下位知識中进行整体设计。教师在进行单元教学时可创设一个贯穿单元始终的问题情境，以更好地促进学生从整体上理解数学，让学生的知识逐步变得具有结构性。教师可先在学生的最近发展区设置合适的问题串，从学生的认知角度引入，再通过问题串追问，降低思维难度，这样既能满足不同学生的发展需求，又能让学生将知识进行迁移。

（二）把握主线，实现持续性学习

教师需把握高中数学的四条主线脉络，建立不同领域知识之间的联系，在教学活动中，教师一方面可采用问题驱动、自主交流、合作探究的方法，让学生发现新知与旧知之间的联系，感知新知与旧知的不同之处，感受数学知识产生与发展过程中蕴含的数学思想，找到联系；同时融合信息技术，借助“C30畅言智慧课堂”更好地进行探究活动，将学生的思维由特殊引向一般，由直观引向抽象，培养学生的自主探究能力，提升学生解决问题的能力。另一方面，教师可以引导学生从更高的层面来理解高中数学的本质，教会学生“学什么”“怎么学”“学了有什么用”，进而实现由知识教学向素养培育的跨越。

［   参   考   文   献   ］

［1］  人民教育出版社，课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心.普通高中教科书 数学 必修 第一册［M］.北京：人民教育出版社，2019.

［2］  中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准：2017年版2020年修订［M］.北京：人民教育出版社，2020.

（责任编辑 黄桂坚）