HPM视角下弧度制教学的再思考

蒋逸卿 郑蓉蓉 唐恒钧

【摘 要】弧度制一直是高中数学教学中较难把握的内容。近年来，随着HPM教学理念的广泛传播，HPM视角下弧度制的教学设计案例逐渐增多，但在凸显知识发生发展和促进学生理解概念的过程中还存在一些不易处理的问题。本文提出弧度制教学中四个普遍存在的问题，评析现有HPM视角下弧度制教学设计处理这四个问题的典型方案，最后根据弧度制的历史发展脉络对教学内容进行整合重构，给出针对四个问题的教学设计。

【关键词】HPM；弧度制；教学设计；教学反思

一、引言

HPM视角下的教学研究不断深入，实践表明，在课堂教学方面，数学史具有知识之谐、方法之美、探究之乐、能力之助、文化之魅、德育之效等六类教育价值［1］。弧度制一直是高中数学教学中的一个热点和难点，基于HPM视角的弧度制教学可以从多方面突破难点，提高课堂的有效性。弧度制教学设计中目前还存在一些较难处理的问题，本文试图梳理和评析现有HPM视角下弧度制教学设计处理这些难题的典型方案，尝试根据弧度制历史发展脉络整合教学内容，并借鉴现有研究的处理思路，对弧度制教学的重构设计进行探索，以期为现有弧度制教学提供有益的参考。

二、HPM视角下弧度制教学研究现状审视

弧度制一课的教学设计中，主要有以下四个较难处理的问题：

（1）引入环节如何自然凸显弧度制的必要性和内在逻辑。

（2）寻找可以表示角的新的量（标准）并进行验证时如何体现合理性与关联性。

（3）寻求新制度（弧度制）下的“单位1”时直接就令l/r=1。

（4）得到1弧度的角的定义后直接给出了任意角定量表示|α|=l/r。

现有HPM视角下弧度制的教学设计是如何回应上述四个问题的？下面评析几种典型的处理方案。

（一）引入环节如何自然凸显弧度制的必要性和内在逻辑

现有教学设计对该问题的关注程度较高，也涌现出很多切实有效的策略，其中以“函数定义冲突型”和“单位制型”两类方案最为普遍和典型。

方案1：函数定义冲突型

这类方案的引入思路一般是先让学生回忆初中所学的锐角三角函数，举出例子，再反思是否符合高中对应关系的函数定义，引发认知冲突，为能在原有函数体系中建立三角函数的概念而引入弧度制。

这种方式指明了学习弧度制的目的，在凸显学习弧度制的必要性和内在逻辑上的效果显著，学生能体会到学习弧度制是必要的、重要的，这为问题（1）的解决提供了非常不错的思路。但还有问题值得继续思考：是否六十进制的角度不是实数？事实上，角度与弧度一样，都是度量平面角的量值，具有单位量，“度”或“弧度”并不影响其本身实数属性；角度单位“度、分、秒”之间每逢60进1，但度以上并无更大的单位，因此角度数常常表示为十进制的数［2］。综上，角度不是实数的观点的理论依据有所欠缺。此外，由于研究的方向是用实数表示角而非统一度量单位，后续环节在数学史的融入方面可能有一定困難。基于以上缘由，这类方案近年来逐渐式微，取而代之的是从单位制出发的方案。

方案2：单位制型

这类方案从同一问题中单位的适切性、统一性的角度引出弧度制，可以分为多种度量制度式和单位不统一式两种类型。

多种度量制度式沿用教科书的引入思想：类比物理量的不同度量制，让学生体会一个量可以有多种单位制，不同的单位制各有优势，单位的选择要与问题贴合，从这个角度引出可能有其他度量角的方式（弧度制）。以物理量具有不同单位制为例的引入方式符合学生的认知，可以很好地激发学生探寻角的其他度量方式的兴趣。但本质上一个量的多种单位制与弧度制的逻辑关联不强，弧度制引入的必要性与思维指向性有所不足［3］，数学史的融入方式易停留于附加式和复制式。

单位不统一式通过设置数学情境和提出引发认知冲突的问题（比如[sinα]与[α]的关系），来明确统一角度单位与长度单位的研究目标。这一目标与驱动弧度制产生和发展的目的是一致的，因此将知识线、活动线与统一弧长、半径度量的历史发展线相交融，从而厘清数学本源，为学生生成积极的内在学习动机，引导学生经历“再创造”的过程。当然这类方式也有不易处理的地方，比如情境问题“[30°]+sin[30°]等于多少？”是值得商榷的，即使用弧度制，[30°]转换为了 π/6rad，它本身依然是量值，与数值sin[30°]仍然无法相加。

（二）新度量制度的建立如何具有脉络而不突兀

本部分内容讨论现有教学设计针对问题（2）（3）（4）的典型处理方案，这三个问题指向的是弧度制的建立过程，如何做到自然连贯、脉络分明是值得深思的。

方案1：比值-单位-定量表示型

这类方案与教科书呈现的思路一致，即从弧长公式出发，探究弧长与半径、角之间的关系，学生经历猜想、验证，认识到用[lr]度量角的合理性，接着考虑到表示方法应力求简洁，令l/r=1给出1弧度角和弧度制的概念，再通过作特殊弧度的角的练习得到任意角的定量表示。这种做法在寻找度量标准[lr]的环节上具有较强的探究性，能让学生经历概念的自主建构，体会数学抽象的过程。但学生对新度量制的标准是缺少认识的，容易导致目标指向不明而陷于盲目的规律探寻中。此外，用l/r=1的简洁性来解释“单位1”的产生略显生硬，说服力不够，反映由单位角到定量表示任意角的内在逻辑还不够清晰。

方案2：单位生成型

单位生成型以度量单位的产生和应用为主线，引导学生经历“类比角度制—规定单位1—应用单位1度量其他角”的过程，使得数学史的融入自然透彻。学生能较好理解l/r的本质即为倍数，而不只是一个与角互相确定的量而已，于是|α|=l/r就呼之欲出了。在这种方案下，学生获得了单位制生成的经验，能体会规定单位1的必要性，且基于思维的可逆性，能从半径出发得到规定单位1的方法。当然，这一方案也存在可以探究的地方，比如为何以r为1个单位去量弧长和角而不是用1厘米或1米？显然后者会导致角与度量值无法一一对应，但不可否认这会是学生最自然的想法，在教学中不应被忽略。

纵观上述针对四个问题的典型方案可知，HPM视角下的教学设计应高度关注弧度制本身的发展脉络。

三、弧度制的数学发展脉络

不管是在数学史上还是在数学教学上，角度制与弧度制之间的关系都具有重要意义，弧度制的建立离不开对角度制等分圆周之本质的借鉴，而弧度制与角度制之间的共性与差异又能加深学生对数学本质的理解。因此，本文从角度制的起源开始，根据启蒙期、传播期、确立期［4］三个发展阶段的主要内容，梳理弧度制产生与发展的脉络。

（一）启蒙期

角的度量起源于对两条相交直线分离程度的定量刻画的需求。一般认为由古巴比伦人在等分圆周的基础上，实现了圆弧的度量，在弧与角建立一一对应关系后得到了角的度量，将每一份圆弧所对应的圆心角定义为1度的角。

（二）传播期

天文学家托勒密出于方便计算的考量，在古巴比伦人的基础上对“1度”又做了两次更细致的等分，形成了如今用“度、分、秒”度量角的单位制度——角度制。托勒密及其后的印度数学家阿耶波多在实际计算中注意到弧长与弦长应采用相同的度量单位，因此以弧长的度量单位为准，借助公式2 πr=[360°=21600′]，实现了半径与弧长度量单位的统一。但以弧长单位为基准去实现统一，使得弧长与半径都处于六十进制度量之下，从整体看，计算并未得到实质性简化。

（三）确立期

直到18世纪中期，数学家欧拉逆向思考，提出以半径为单位来度量弧长及对应的圆心角。弧度制的概念由此正式产生，其本质是用十进制的长度单位实现了弧长与半径的统一。

综上，天文学计算中度量单位不统一造成的运算不便是弧度制产生的动力源。从以弧长（圆心角）的度量单位为基准到以半径为度量单位，天文学家、数学家们为统一度量制，经历了启蒙期、传播期、确立期三个阶段的漫长探索。

四、HPM视角下弧度制的教学重构

HPM视角下的弧度制教学需特别关注弧度制本身的发展脉络，本文基于对上述史料脉络结构的提取，以弧度制的发生发展脉络为架构点，以符合学生认知规律为出发点，重构教学活动。以“度量”的思想为主线［5］，在不断提取和应用的过程中使其逐渐清晰、完善，加深学生对知识本质的理解和认识。教学设计流程见图1。

本文呈现的教学设计仅涵盖前文提及的四个问题所对应的教学内容，即弧度制的引入到任意角的定量表示。其中“1.呈现情境，提出问题”针对问题（1）的解决，“2.联想激活，明确方向”“3.猜想类比，探索新知”“4.归纳整理，明确概念”针对问题（2）（3）（4）的解决。

1.呈现情境，提出问题

【情境】（1）如图2所示，自行车以20km/h的速度行驶在马路上，其行驶时间y（h）关于路程x（km）的函数关系式是怎样的？（2）如图3所示，过山车沿着一段半径为20m的半圆形轨道运行，其离地高度y（m）關于旋转角度x的函数关系式是怎样的？

问题1：函数y=0.05x的自变量x是什么类型的数？函数y=20sinx的自变量x是什么？

问题2：函数h（x）=0.05x+20sinx的自变量x又是什么？h（10）有意义吗？你遇到了什么问题？

问题2-1：如何让函数h（x）有意义？

【预设】学生发现在函数h（x）中自变量的单位不统一，即一个是长度单位一个是角度单位，为了使函数有意义，提出统一单位的想法。对于角来说，可能需要采取一种以长度单位为基础的度量方式。

【设计意图】根据本文第二部分“二、HPM视角下弧度制教学研究现状审视”的评析，“单位不统一式”的引入方式在教学中具有较大的优势。因此首先设置情境，引导学生写出自变量使用不同单位制的两个函数关系式，由函数的和引出一个函数中自变量单位制不同的问题，用h（10）存在意义的问题将认知冲突推向高潮，激发学生想要了解自变量为一般数值时三角函数的意义的强烈欲望，从而引出对长度单位、角度单位统一的探究，避免了前文所述的使用了弧度制也无法解决[sin30°与30°]不能相加问题的尴尬。

问题3：我们是如何度量角的大小的？

教师引导学生回忆角度制的定义，并播放视频呈现古巴比伦人建立角度制的过程：古巴比伦人最早创立了以六十进制为基础的角度制，即把圆周进行360等分，每1份弧长对应的圆心角定义为1度的角，记作[1°]。

教师提出，除了把圆周等分的角度制外，历史上还有许多其他类型的度量角的方法。教师呈现历史上法国等分圆周建立的十进制的角度制，军事上的密位制，天文学中等分圆周形成的角度制等资料。

问题4：这些度量方法有何相同点？有何局限？

【预设】学生归纳出这些方法都把圆周进行了一定数目的等分，得到一定大小的单位角后再去量其他角的大小。教师引导学生发现等分圆周具有随意性和偶然性，容易造成跨地区和跨领域交流的不便，因此若能建立一种与长度单位统一的度量角的方式，或许有解决这类问题的优势。

【设计意图】问题3通过回忆角度制以及介绍其他本质相同的量角方式，让学生了解度量单位建立的基本路径。问题4让学生归纳所述度量方法的共性，体会以等分圆周为基础的量角方式的局限，从另一个侧面体会统一单位建立新度量方式的必要性。

2.联想激活，明确方向

问题5：再次思考古巴比伦人定义1度角时的顺序，你能发现什么？

【预设】教师引导学生发现古巴比伦人采用的“度”这个单位最早是刻画圆弧的长度单位，在圆心角和圆弧之间建立起一一对应的关系后，才将它作为度量角的单位。教师可以指出，这导致数学家们进行圆的相关计算时遇到了麻烦，源于弧长的单位与半径的单位并不统一，也就是角度单位与长度单位不统一。

问题6：历史上数学家们为弧长和半径度量单位的统一做了很多工作，你们认为对两者进行统一的方向是什么？

学生提出，度量单位的统一要么都采用历史上弧长的度量单位，要么都使用半径的度量单位。

活动1：探究如何采用历史上弧长的单位（即“度”）去度量半径。

问题7：如果都使用圆心角和弧长的度量单位（度），那么半径长是多少（度）呢？

【预设】学生讨论探究。教师展示托勒密做过的工作，即借助 2πr=360[°]得到直径为360°/π度，近似为120度，半径就是60度，半径和任意弧长都可以统一用弧长的单位（度）来表示了。教师指出，这同样带来了问题，在平面几何的研究工作中采用得最为普遍的是长度单位，统一使用弧长单位就会使得众多计算需要转化单位而变得十分烦琐。因此，学生猜想也许统一用半径的单位来度量会更方便。

3.猜想类比，探索新知

问题8：如果都使用半径的度量单位，如何度量圆心角和弧长呢？

问题8-1：半径的度量单位是什么？

活动2：探究并验证采用基本的长度单位度量圆心角大小的可行性。

问题9：直接使用半径的度量单位刻画圆心角是否可行？请探究验证。

【预设】学生合作探究，绘制出同心圆后发现，有弧长公式l=nπr/180，在弧长固定时圆心角的大小与半径大小成反比，可能导致同样单位数的圆心角的实际大小不同。

师：这给你怎样的启示？

生：使用一个新的标准去度量角的大小必须遵循相应的原则，即角相同时新的量也应该相等，角不同时新的量也要不同。

【要点说明】学生最自然想到的是用1cm长的圆弧作为度量弧长的1个单位，类比角度制的定义，1cm的弧所对的圆心角也就记作1个单位角，理应能顺利刻画角的大小，即要确定一个圆心角[θ]的大小，只需计算出其所对的圆弧长s对于一个单位角所对圆弧长的倍数m，圆心角[θ]的大小就是m个单位。但学生通过探究发现这种方法不可行，教师进而引导学生进行归纳，即使用新的标准去度量角的大小必须遵循相应的原则。

教师呈现欧拉创造性想法的多媒体资料。

问题10：历史上，数学家欧拉提出以半径为单位来度量弧长。如果将半径本身作为1个单位，則圆周长、半圆周长为多少个单位长度？

活动3：类比探究以半径为单位度量圆心角的大小是否可行。

问题11：如何以半径作为1个单位度量圆心角的大小？是否可行？

【预设】学生再次沿着度量单位建立的路径，先确定1个单位角，即半径长的圆弧所对的圆心角定义为1个单位角。有了前面度量的经验，学生能得到圆心角[α]的大小就等于所对应的圆弧长l对于1个单位角的圆弧长r的倍数，即[l/r]。借助信息技术，学生探究用[l/r]表示圆心角[α]的大小的可行性，即是否满足角相同时新的量也应该相等的原则。最后，在教师的引导下用弧长公式进行严谨证明。弧度制下，角定量表示的关系式呼之欲出。

4.归纳整理，明确概念

问题12：请回顾并总结活动2和活动3是怎样一步一步完成角的度量的？

生：我们类比了古巴比伦人定义1度角的方式，先得到了一定大小的圆弧的1个单位，再定义它所对应的圆心角是1个单位的角，对可行性进行验证后，便能以这个单位角去度量其他角的大小了。

教师呈现1弧度的角和弧度制的定义。

问题13：利用关系式[α=l/r]是否就可以表示任意的角？

问题13-1：能否尝试作出2rad的角？-2rad的角呢？

问题13-2：回顾作角的过程，反思关系式[α=l/r]是否一直成立？若不成立应该如何调整？

【设计意图】采用改进的“单位生成型”方案，将“度量”思想的主线与“统一弧长与半径单位”的历史发展线深刻融合、互相交织，学生反复经历“确定单位1—验证可行性—度量其他角”的过程。在类比和逆向思维的引导下，学生能主动提出1个单位的确定方法并发现任意角定量表示的雏形。此外，正视学生的想法，将以1cm、1m作为1个单位的想法主动暴露在课堂中，并以此为契机引导学生探究、归纳用新标准度量角需要遵循的原则，并结合该原则进行严谨的验证，发展了学生重论据、有条理、合乎逻辑的思维品质和理性精神。

五、小结

本案例彰显了数学史的教育价值。在已有史料基础上，从启蒙期、传播期、确立期三个阶段提炼出了弧度制的发展脉络，教学流程的每个环节都基于相应的脉络节点进行重构设计。比如第一个环节“1.呈现情境，提出问题”，在引发认知冲突，明确统一度量的目标后，学生自然需要对度量角的方式进行反思，因此从启蒙期的角度制出发，体会度量角的基本路径，加深对角度及角度单位本身的认识，体现了知识之谐。

本案例以传播期、确立期两个阶段的发展脉络为依据，设计了三个探究活动。活动1学生实际上循着托勒密、阿耶波多的思想进行统一度量的工作，活动2和活动3则沿着欧拉的思想，在探究中逐步接近弧度制的内核。在此过程中，学生深入弧度制发生发展的历程，在探究中发现并解决问题，享受探究的乐趣，积累了“度量”的活动经验，体现了探究之乐。从活动1至活动3，学生不断沿着“确定单位1—验证可行性—度量其他角”的初始路径尝试进行度量制的统一工作。在活动2中，学生发现采用1cm等长度单位去度量角会出现问题，并概括出使用新标准进行度量须遵循的原则。活动3中学生将该原则运用于猜想的验证上，进一步理解“验证可行性”这一步骤的重要性。学生在此过程中认识到直觉判断的局限性，认识到对猜想进行严谨验证的重要性，展现了德育之效。

参考文献：

［1］陈晏蓉，汪晓勤. 数学史料的选取原则与案例分析［J］. 教育研究与评论（中学教育教学），2017（12）：37-43.

［2］王姿婷，朱一心，王安. 关于弧度制中几点误读的分析［J］. 数学通报，2021（12）：23-27.

［3］商再金，翟洪亮. 展现思维过程 促进概念理解：对“弧度制”教学的思考［J］. 中学数学月刊，2023（1）：15-16，39.

［4］江灼豪，何小亚. 弧度制发展的历史溯源［J］. 数学通报，2016（7）：14-17.

［5］刘烨烨.“弧度制”教学实录与反思［J］. 中国数学教育（高中版），2020（6）：35-39.

（责任编辑：潘安）

【作者简介】蒋逸卿，浙江师范大学教育学院在读硕士研究生，主要从事数学课程与教学研究；郑蓉蓉，浙江师范大学教育学院在读硕士研究生，主要从事数学课程与教学研究；唐恒钧（通讯作者），浙江师范大学教授，博士生导师，主要从事数学课程与教学研究。