信号与系统课程中“傅里叶级数”课程思政教学设计

赵晓芳 卢贵主 刘华珠

摘  要：连续周期信号的傅里叶级数是信号与系统课程的重要内容，该内容是学习连续非周期信号的傅里叶变换的基础。由于该部分内容涉及的数学理论较强，如何在有限的时间内，讲清楚基本理论的同时润物细无声地进行课程思政，是课堂教学设计的一个难点。该文以思考讨论型+层层推进式教学为主，课程思政“点滴式”融入课堂。课堂上，在传授经典技术知识的同时，结合生产生活中的实际例子，使学生深刻认识到实践是检验真理的唯一标准，并在实践中不断获得新的知识。引导学生发现新的问题并解决问题等，培养学生的实践能力和创新意识。

关键词：信号与系统；傅里叶级数；课程思政；教学设计；教育目标

中图分类号：G640        文献标志码：A          文章编号：2096-000X（2023）23-0096-05

Abstract： The Fourier series of continuous periodic signals is an important content of the course "Signals and Systems"， which is the basis for learning the Fourier transform of continuous periodic signals. Due to the strong mathematical theory involved in this part， how to make clear the basic theory while moistening things silently in a limited time is a difficulty in classroom teaching design. This paper focuses on the teaching method of thinking， discussion and promotion at all levels， and integrates the "bit by bit" of curriculum ideological and political education into the classroom. In class， while imparting classical technical knowledge， combined with practical examples in production and life， students can deeply realize that practice is the only standard to test truth， and constantly acquire new knowledge in practice. Guide students to find new problems and solve them， and cultivate students' practical ability and innovative consciousness.

Keywords： Signals and Systems; Fourier Series; course ideological and political; teaching design; educational objectives

信号与系统是电子、通信、自动化类等电类本科专业的专业必修課，也是专业核心课程，该课程一般在大二开设，课程辐射面较广。以“立德树人”为主线的信号与系统课程，在课堂教学过程中注重加强思想教育和价值导向，旨在引导学生树立正确的人生观、价值观、世界观，丰富课程内涵，通过创新教学方法优化教学设计并改进课堂管理，将社会主义核心价值观、中国优秀传统文化教育、习近平新时代中国特色社会主义思想等有机融入课程教学活动，形成全员、全过程、全方位育人的浓厚氛围。课程思政必须对教学内容进行深入挖掘，并且不能让学生觉得“老师又在思政了”，太过刻意容易引起学生逆反心理[1-2]。特别是在工科专业的课程内容上，要强调逻辑推理和辩证思维，在深入挖掘课程的思想政治要素的同时，还要能够启发学生进行深入思考、逻辑思考、辩证思考等。从课程地位方面看，信号与系统是电类各专业的核心基础课程，还是很多学校研究生入学考试的初试课程，因此课程本身容易受到学生的重视。借此在该门课程中进行课程思政教学，必然会起到事半功倍的效果。

一  课堂教育目标

（一）  教学目标

1）引导学生学习傅里叶级数的基本知识体系，达到明理论、会分析、知应用的综合目标，着重培养学生的逻辑思维能力和理论联系实际的能力。

2）培养学生对事物的洞察和研究能力，在教学中应让学生尽量多观察、多思考、多动手，在观察和实验过程中激发其学习和研究信号问题的兴趣。

3）通过周期信号频域分析数学工具（傅里叶级数）的应用，培养学生在解决实际工程问题时能运用辩证思维，将复杂问题简化且科学处理的能力。

（二）  思政育人目标

1）通过课下观看科学家傅里叶的简史，上课感悟讨论，线下畅所欲言，培养学生树立人生目标、坚守初心、忘我奉献、刻苦钻研及坚持不懈的人生态度和科学态度，努力成为“被世界铭记”的人。

2）在教学过程中，引导学生建立辩证唯物主义的世界观，教育学生要辩证地看待人生挫折，同一问题往往有各种解决方法，遇事不钻牛角尖，辩证地对待人生环境，积极乐观对待各种事情。并有机融入社会主义核心价值观、中华优秀传统文化教育思想的过程。

3）理论联系实际，培养创新意识。课堂上传授经典的技术知识，结合生产、生活当中的实际例子，让学生深刻体会实践是检验真理的唯一标准，在实践中不断获得新的知识，引导学生发现新的问题并解决问题等，培养学生的实践能力和创新意识。

课程思政的融入设计见表1，虽然上下课礼仪不属于上课内容范畴，但还是有必要的，中国有几千年的文化传统，向来就是礼仪之邦，培养学生尊师重道，重拾中华民族优良传统从课堂做起。

二  教学手段和教学方法

在教学手段上，尝试运用现代信息技术手段，采用多媒体教学，辅助黑板书写、视频等，建立信号与系统课程网站，提供ppt教案、教学视频等延伸学习教材，实现网络教学和资源共享。并且采用了多媒体和板书相结合的方式授课，把难理解的知识设计制作成Flash动画来演示。

在教学方法上，尝试“思考讨论型”教学方法，一节课结束，提出一些思考讨论的题目，并提供一些参考资料，引导学生自学，为下节课打下基础，带着不能解决的问题来上课。对于比较难以理解的知识，用生活中更容易理解的比拟来帮助理解。在讲解主要基本原理和方法的基础上，结合重点问题和实际应用实例，进行课堂分析和讲解。为学生课后自学指定参考资料，锻炼学生整理资料、发现问题、解决问题的能力。课堂教学主要采用层层推进式教学法和工程案例教学法，培养学生发现、解决、分析、计算、总结和解决问题的能力[3]。

三  教学过程设计

（一）  导学——问题引入

分别播放邓玉华和罗林（刀郎）演唱的红色歌曲《映山红》：“若要盼得哟红军来 岭上开遍哟映山红 岭上开遍哟映山红 岭上开遍哟映山红”。让学生从听觉上感受两位演唱家演唱的不同，但是计算机没有听觉，从时域波形信号上看，很难区分到底是谁演唱的，也区分不出来男女。但是，每个人声带振动的频率不一样，比如女生声带振动频率快声音比较尖，男生声带振动频率慢声音就比较浑厚，引导学生思考是不是可以从频域上去分辨。工业上，本来正常按周期工作的机器，突然出现了故障，到底是哪里的故障呢？时域波形看不出来，频域能看出来吗？

问题的提出，吸引学生进入主动学习的状态，引出课程讲解的内容，即信号的频域分析方法——傅里叶级数。通过引入日常生活实例和工程案例，让学生直观地感受到时域无法解决的问题，必须进行频域研究。引导学生认识到看待一项技术的好坏，不能脱离它的使用背景，要看到问题的主要矛盾，也就是最亟需解决的问题。引导学生以辩证的眼光看待生活学习中的各种问题现象。

（二）  天才简史视频感悟

傅里叶级数最早是傅里叶在《热的解析理论》提出的，这本经典著作的问世，经历过很多挫折。有关傅里叶其人其事，可以观看天才简史——傅里叶的视频（大约10分钟），提供二维码及网址，让学生课下观看，上课随机找两名学生谈一下感悟，课下在优学院专门建立讨论区，大家畅所欲言。让学生充分认识创新过程中的困难，但是要有克服困难的勇气。科学无国界，科学家有祖国，引导同学们树立目标，勇于探索，在科学史上留下自己的名字。课后引导学生泛读经典著作。信号与系统课程中涉及到很多伟大的科学家，比如傅里叶、欧拉、狄拉克和拉普拉斯等等，一般都可以通过网络上天才简史专题搜索到，每个视频大约10分钟，非常适合上课前和课间休息的时间观看。

（三）  傅里叶级数的理论推导

每次课都会留一些思考讨论题，引导学生预习和自学。推导傅里叶级数要用到的积分，如公式（1）—（6）所示，提前在课下让学生推导。

上课时，引导学生对积分结果进行观察。从以上积分，可以看出积分项主要包含三角函数集{1，cosω0t，cos2ω0t，…，cosnω0t，…，sinω0t，sin2ω0t，…，sinmω0t，…}，并且在区间一个周期内，大多数积分结果为0。根据泛函理论可知，该三角函数集即为一组完备的正交集。反问什么叫完备正交集。绕过严格的数学推导和理论原理，利用比喻的方式，分别把正弦、余弦集合和1，比喻成男生、女生和老师，考试时，自己写自己的（自己与自己相乘）积分结果不等于0，自己抄别人的（自己跟集合中的其他元素相乘）积分结果就是0，培养学生诚实守信、不踩道德红线的品质。功夫下在平时，不投机取巧。另外，把傅里叶级数形象地比喻成学生熟悉的三棱镜，那么输入的周期信号，经过三棱镜各个频率成分就会显示出来。就如同每个学生经过考试，可以把平时学习的效果呈现出来一样。

然后根据泛函理论，周期信号可以用一组完备正交集来表示。根据完备正交集的概念，推导周期信号的傅里叶级数表达式。

（7）

再抛出问题：式（7）中的系数怎么确定？講解三角函数集的正交特性可得傅里叶级数的系数。

（四）  傅里叶级数存在的条件

再抛出问题：是不是所有的周期信号都可以展开成傅里叶级数？讲解傅里叶级数存在的三个条件。

1）绝对可积，即满足

。                    （9）

2）在一个周期内只有有限个有限的不连续点。

3）在一个周期内只有有限个极大值和极小值。

周期信号展开成傅里叶级数需要满足狄利赫里条件，有三个条件，第一个条件是强狄利赫里条件，第二、第三个条件是弱狄利赫里条件。可以融入我国医务工作者防控新冠感染疫情艰苦卓绝的奋斗历程、相关产业发展历程等相关内容，激励学生刻苦学习、不断创新，引导学生崇尚科学、不畏艰难、积极创新。通过身边实例让学生更加直观理解，结合新冠感染疫情，培养奋斗精神、科学精神、创新精神。

（五）  例题分析，加深理论

通过上面的理论分析，学生大多掌握了傅里叶级数的来源和计算方法，但是不少同学还会有疑问，难道周期信号真的可以用式（7）来表示吗？那么可以用一道经典的例题来解释验证。计算图1所示周期矩形脉冲信号的傅里叶级数展开式[4]。

利用式（8）很容易计算出来傅里叶级数的系数，假设选用前N项和来逼近题目所给出的标准方波信号，则有

当N为不同值时的逼近效果如图2所示。

通过图2，可以明显看到随着N的增加，逼近效果越来越好，当N=15时，逼近效果接近了原始的矩形方波信号。有关图2的仿真效果，可以让学生分组进行周期信号的叠加实验，在实验中，注意提示学生编程时要严谨规范，注意中英文符号的区别等，培养工匠精神。可以引导学生去观察结果，穿插提问互动环节。最后总结一下，想要逼近原始的矩形方波信号（比喻成理想信号），就需要不断地增加N（不断努力），即越努力越理想。并且在不连续点处，总会有一个波峰，无论N取多大，这个波峰不会随着N的增加而消失，这种现象就是很著名的吉布斯现象。

（六）  课堂引申，思考练习

引导学生思考，当周期信号的周期为无穷大时，从时域上看连续周期信号变成了连续非周期信号，那么在频域上会是什么样子呢？让学生带着这个问题去预习连续非周期信号的频域分析，为下节课的学习做铺垫。同时指定一两个参考文献去供学生阅读，拓宽学生的视野，扩展学生学习的内容，活学活用。

四  结束语

教学过程设计应符合认知规律，在实际工程应用背景下学习数学方法，抽象概念以具体实例为载体，增强新概念、新理论的学习效果，提高学生学习兴趣，提高思想政治效果。通过板书的例题和分析，引导学生去发现能够用所学知识解决问题[5-6]。

1）通过课下观看科学家傅里叶的简史，上课感悟进行讨论，线下发表自己的意见，培养学生树立人生目标、坚守初心、忘我奉献、刻苦钻研及坚持不懈的人生态度和科学态度，努力成为“被世界铭记”的人。把名人传记融入课堂思政，以工程实例引导学生进行思考，复杂问题用类比的方法简单化、通俗化，并引导学生独立思考问题、解决问题。将思政元素有机融入专业教学，达到润物细无声的效果。

2）在教学过程中，引导学生建立辩证唯物主义的世界观，教育学生要辩证地看待人生挫折，同一问题往往有各种解决方法，遇事不钻牛角尖，辩证地对待人生，积极乐观地对待各种事情。

3）理论联系实际，培养创新意识。从实例出发，引入理论，再回到实例中，多问几个为什么，用所讲理论解释实际问题。使学生进入主动思考和学习状态。

4）课堂采用问答法和思考法进行教学，师生互动频繁，课堂氛围较为活跃，学生参与度较高。采用循序渐进的方式引导学生回答出正确答案，加深学生对知识内容的理解。同时深度挖掘专业知识中所蕴含的思政元素，提高了学生对思政内容的认可度，减少学生的排斥情绪，在讲授专业知识的同时增强了育人效果。

参考文献：

[1] 程普，余路，刘向君.信号与系统课程思政教学思考与探索[J].高教学刊，2021，7（17）：193-196.

[2] 王晴，张振国，李秀英.“信号与系统”课程教学改革探究[J].电气电子教学学报，2019（2）：24-27.

[3] 刘靳，邓成，朱明哲，等.“信号与系统”课程教学改革中的新探索与思考[J].教育研究，2020，3（7）：65-67.

[4] 陳后金，胡健，薛健.信号与系统[M].北京：清华大学出版社，2014.

[5] 张亚周，孙雪丽，钟兆根.《信号与系统》课程“采样定理”的课堂教学设计[J].课程教育研究：学法教法研究，2019（24）：10.

[6] 郑君里，谷源涛.试谈“信号与系统”课程理论与实践之结合[J].电气电子教学学报，2014，36（3）：1-5.

基金项目：2021年广东省教学质量与教学改革项目“集成电路设计应用型人才培养计划”（粤教高函[2021]29号）；东莞理工学院2022年校级质量工程项目“课程教研室”（202202009）；东莞理工学院2022年课程思政示范项目“信号与系统”（教务【2023】15号）

第一作者简介：赵晓芳（1982-），女，汉族，河南许昌人，博士，特聘副研究员。研究方向为信号处理。

*通信作者：卢贵主（1968-），女，汉族，青海共和人，博士，教授。研究方向为集成电路设计。