解析几何中“僧多粥少”时的解题策略——以一道解析几何试题释疑引申

姜则善

(北京市第二中学)

1 试题呈现

(1)求椭圆E的方程;

(2)设斜率为k的直线l与x轴交于点P,与椭圆E交于不同的两点M,N,点M关于y轴的对称点为M′,直线M′N与y轴交于点Q.若△OPQ的面积为2,求k的值.

2 试题解读

本题第(2)问的解决方法不止一个,但学生采用的基本都是中规中矩的方法,即由于涉及直线l与椭圆E交于不同的两点M,N,故假设直线l的方程为y＝kx＋m,将直线l的方程与椭圆方程联立,利用题中的几何关系,分别求出点P和点Q的坐标,用这两点的坐标表示出△OPQ的面积,再结合根与系数的关系,建立一个关于未知数k的方程,然后求解k的值.但笔者发现很多同学都是计算出错,并且在解题前的构思阶段,一个问题萦绕在他们的脑海中:由于假设直线l的方程时用到了两个参数,即k与m,而题目中给出的条件只能建立一个方程,此时未知数个数比方程个数多,出现了“僧多粥少”的情况,如何能求解出k的值? 计算出错后学生就认为自己的方法不得当,直接放弃思考,转战其他题.

通常情况下,我们利用方程解决几何问题时,碰到的都是解方程,但有时会出现未知数个数比方程个数多的情况,一般会有哪些解决方法呢?

3 解决问题

当未知数个数多于方程个数时,我们通常会用到以下解决方法.

3.1 消去减元，转化可解

在具有强大的计算功底的前提下,一般在计算过程中发现两个未知数会消去一个,转化为一元方程,从而使未知数可以求解.下面以上述题目第(2)问为例,阐述该题的求解过程.

3.2 巧定主元，因式分解

解题过程中会不会遇到有两个未知数、一个方程,且未知数都被保留的情况呢? 答案是肯定的,我们来看下列试题.

例1已知椭圆过点P(2,1).

(1)求椭圆C的方程,并求其离心率e;

(2)过点P作x轴的垂线l,设点A为第四象限内一点且在椭圆C上(点A不在直线l上),点A关于l的对称点为A′,直线A′P与C交于另一点B.设O为原点,判断直线AB与直线OP的位置关系,并说明理由.

(2)求解的关键在于将“点A关于l的对称点为A′”这个条件转化为kPA＋kPA′＝0.即有的答案给出的方法是设直线PA的方程为y－1＝k(x－2),与椭圆方程联立后解出点A的坐标,然后将k换成－k后得到点B的坐标,从而求出直线AB的斜率.该解法的优点在于只用到了一个未知数k,然后求得kAB与k无关,从而解决问题.而在实际教学中,我们发现有一部分学生是如此设计解题思路:由于研究的是直线AB的斜率,所以假设直线AB为y＝kx＋m,将其与椭圆方程联立,然后用P,A,A′三个点的坐标表示条件kPA＋kPA′＝0,从而得到一个方程,于是又出现涉及两个未知数k与m,但是只有一个方程kPA＋kPA′＝0的情况,那会不会又是m被消去的情况呢,我们来看看这种解法的过程.

此时,如果学生有较强的因式分解功底,就能很自然地看出来可以采用定主元的方法对左边二元二次式进行因式分解,可以得到两种分解方法.

方法2将m设为主元,整理为方程(2k－1)m＋(2k－1)2＝0,下同方法1.

点评

以上解题过程中采用的定主元方法在2022年北京卷第20题的第(3)问中也有所涉及,所以这种方法可以在高三解析几何复习中适当重视.

3.3 无穷个解，系数为0

除了上述涉及两个未知数,而只有一个方程的情况外,我们还会碰到以下未知数更多的情形.

例2已知椭圆C的短轴的两个端点分别为A(0,1),B(0,－1),离心率为

(1)求椭圆C的方程及焦点的坐标;

(2)若点M为椭圆C上异于A,B的任意一点,过原点且与直线MA平行的直线与直线y＝3交于点P,直线MB与直线y＝3 交于点Q,试判断以线段PQ为直径的圆是否过定点? 若过定点,求出定点的坐标;若不过定点,请说明理由.

(2)常见的设计思路如下:设定点为G(m,n),动点M(x0,y0),此时有四个未知数,而我们的方程有

还缺少两个方程才能求解出定点G的坐标,着实是“僧多粥少”,而且少两碗,如何求解呢? 以下给出完整的求解过程.

这是一个含四个未知数的方程,如何求解m,n的值呢? 其实我们注意到在这个方程的四个未知数中,如果m,n被我们视为参数,则这个方程可以看成在某种条件下是关于x0,y0的二元一次方程,其图像是一条直线,仍然无法解出m,n的值.此时我们需要做的就是重新审题,自然会发现点M为椭圆C上异于A,B的任意一点,而不是某条直线上的任意一点,所以对于方程[(n－3)2＋m2－36]x0＋21my0－3m＝0来说,只有系数均为零,才能使得方程恒成立,则

点评

这种情形的突破口在于M为椭圆C上任意一点,如果得到的是关于点M的横坐标x0与纵坐标y0的二元一次方程时,由于点M在椭圆上而不是在某条直线上,故只有系数均为零时才能使得等式恒成立;如果得到的是关于M的横坐标x0或纵坐标y0的一元二次方程时,由于点M的任意性使得一元二次方程的解有无穷个,所以也只有在系数均为零时才能成立,下面给出另一道解析几何试题,即最后转化为一元二次方程的情形.

(2)若点A为椭圆上任意一个点,点A关于y轴的对称点为B;PA,PB分别与y轴交于点M,N,且MF1⊥NF2,求椭圆C的方程.

此时有四个未知数,只有一个方程,如何求解椭圆方程中的a,b呢? 我们可以把这个方程看作是一个关于x0的一元二次方程,最多有两个不同的解,而由于A为椭圆上任意一个点,也就是说这个关于x0的方程有无数个解,故只有当此方程系数全部为0时才满足题意,再结合题干中给出的信息,可得

此时戏剧性的一幕出现了,三个未知数,四个方程,“粥比僧多”.由第2个方程可得b＝c,此时我们发现第1个和第3个方程相同,经过求解我们得到椭圆C的方程为

解析几何主要是用代数的方法研究几何问题,其中代数的方法指的就是通过方程来研究,所以解方程的技能起着至关重要的作用,当未知数个数多于方程个数时可能出现本文所述的三种情形,如果在复习中加以训练,可以提高高三解析几何复习的效果,对提升学生的数学核心素养大有裨益.

(完)