一道向量面积比问题的探究

董文娟

1 试题呈现

例题 已知点P为ΔABC内一点，2PA+3PB+5PC=0，若F为AC的中点，G为BC的中点，PF/PG= ，ΔAPB，ΔAPC，ΔBPC的面积之比为 .

2 解法赏析

分析：（1）因为2PA+PC+3PB+PC=O，F和G为中点，故4PF+6PG=O，则PF/PG=3/2，（2）三角形的面积之比，如何刻画面积，三个三角形之间的面积有何种关系，不同的入手点有不同的解答思路.

思路1：基底法

基底法是解决向量问题的常见方法，选定平面的一组基底后平面内任意一个向量都可以用其线性表示，从而化为基底向量减少未知量，将问题简化.基底法一般会结合向量的基本定理，从数形结合角度去理解问题，综合考查学生的数学建模能力，数学运算能力等.

解法1：如图1，以AB，AC为基底，因为2PA+3PB+5PC=0，所以2PA+3（PA+AB）+5（PA+AC）=0，得AP=3/10AB+1/2AC.由平面向量基本定理

AM=3/10AB，AN=1/2AC，则SΔAPB/SΔABC=AN/AC=1/2，SΔAPC/SΔABC=AM/AB=3/10，则SΔBPC/SΔABC=1－1/2－3/10=1/5，所以ΔAPB，ΔAPC，ΔBPC的面积之比为5：3：2.

评注：三角形中选择相邻两边作为一组基底，将其他向量都用该基底线性表示，根据平行四边形法则，构建平行四边形得到边的关系，从而得到三角形面积关系.

思路2：坐标法

向量和坐标一一对应，因此对于向量的问题除了直接利用向量解决，还可以考虑从坐标入手.根据题目特点，本题除了一般的建系方法外，还可以利用特殊位置特殊点来简化坐标，减少运算.

解法2：（特殊位置）如图2，不妨取PA=（1，0），PB=（0，1），因为PC=－2/5PA－3/5PB，此时C（－2/5，－3/5），易得面积之比为5：3：2.

解法3：（特殊图形）如图3，不妨取ΔABC为直角三角形，且取A（0，1），B（0，0），C（1，0）.设P（x，y），代入2PA+3PB+5PC=0得P1/2，1/5，易得面积之比为5：3：2.

解法4：（一般情况）如图4，不妨取A（m，n），B（0，0），C（a，0），设P（x，y），代入2PA+3PB+5PC=0中得n=5y，因此SΔBPC/SΔABC=1/5，同理可得SΔAPB/SΔABC=1/2，SΔAPC/SΔABC=3/10，易得面积之比为5：3：2.

评注：坐标化后向量问题数量化，向量问题转化为坐标运算问题.对图形或者点位置没有具体要求的问题，可将条件特殊化再建系.

思路3：等和线定理

在平面内一组基底OA，OB及任一向量OP，OP=λOA+μOB，若点P在直线AB上或在平行于AB的直线上，则λ+μ=k（定值），反之也成立，我们将直线AB以及与直线AB平行的直线称为“等和线”.

解法5：如图5，过点P作直线MN//BC，延长AP交BC于点D.由M，N，P三点共线可知AP=xAM+yAN，其中x+y=1.由基底法可知AP=3/10AB+1/2AC.设AP=kAD，根据等和线定理得k=3/10+1/2=4/5，故SΔBPC/SΔABC=1/5，同理SΔAPB/SΔABC=1/2，SΔAPC/SΔABC=3/10，易得面积之比为5：3：2.

评注：在平面向量基本定理的表达式中，如果需要研究两系数的和时，可以用等和线法.根据等和线定理，得到三角形边的关系，由边的关系可得到面积关系.

思路4：综合几何法

对向量的比例关系，从图形上探求三角形的边之间的关系，从而得到面积之间的关系，体现数形结合解题的优势所在.

解法6：如图6，取PA′=2PA，PB′=3PB，则PA′+PB′=PD=－5PC，故P，D，C三点共线，则SΔA′DG=SΔB′DG=SΔA′PG=SΔB′PG=S，

故SΔPAB/SΔPA′B′=1/6，SΔPAC/SΔPA′G=1/5，SΔPBC/SΔPB′G=2/15，故SΔPAB=1/3S，SΔPAC=1/5S，SΔPBC=2/15S，易得面积之比为5：3：2.

解法7：（面积公式）如图7，延长PA，PB，PC使PA′=2PA，PB′=3PB，PC′=5PC，则PA′+PB′+PC′=0，则P为ΔA′B′C′的重心，则SΔPA′B′=SΔPB′C′=SΔPA′C′，SΔPBC/SΔPB′C′=1/2PB·PC·sin∠BPC/1/2PB′·PC′·sin∠BPC=PB·PC/PB′·PC′=1/15，同理SΔPAC/SΔPA′C′=1/10，SΔPAB/SΔPA′B′=1/6，易得面积之比为5：3：2.

评注：几何法从图形上直观分析面积比关系，不用大量的定量计算，对平面几何知识要求较高.

利用系数关系构造新的三角形将点P位置特殊化为熟悉的重心，利用三角形面积公式，将面积比转化为边之比.

思路5：平面向量的外积

向量的外积×=sin〈，〉，在平面向量中×0=0，×=0，×=－×，因为三角形面积公式S=1/2absin〈，〉与向量的外积运算结果类似，因此利用向量的外积运算可以很好解决三角形的面积问题.

解法8：由2PA+3PB+5PC=0，故PA×2PA+3PB+5PC=0，展開得到2PA×PA+3PA×PB+5PA×PC=0，则3PA×PB=－5PA×PC=5PC×PA，因此3SΔPAB=5SΔPAC，同理2SΔPAB=5SΔPBC，2SΔPAC=3SΔPBC，易得面积之比为5：3：2.

评注：平面向量的外积运算，可以运用在求三角形的面积问题中，在此考虑外积的大小不考虑其方向，要熟知外积运算的性质.

思路6：奔驰定理法

向量的奔驰定理揭示了三角形的面积和向量之间的关系，对于解决三角形的面积比问题，空间四面体的体积比问题等都适用.

解法9：由SΔPBC·PA+SΔPAC·PB+SΔPAB·PC=0，易得面积之比为5：3：2.

评析：奔驰定理的证明可以参考解法8，奔驰定理可以迅速的解决该面积比问题.对于点P在三角形外的问题，点P为三角形的四心问题，及对于空间四面体的问题也由相应的推广［1］.

3 简单应用

3.1 变形求面积比

例1 设P是ΔABC所在平面上一点，满足PA+PB+PC=3AB.若SΔPAC=1，SΔPAB=.

简析：由PA+PB+PC变形得4PA-2PB+PC=0，因为PB前的系数为-2，则点P在三角形外，SΔPBC：SΔPAC：SΔPAB=4：2：1，所以由SΔPAC=1，得SΔPAB=1/2.

3.2反求向量式系数问题

例2 （2021泉州一模）如图8，在ΔABC中，点D在直线AC上，且AD=2/3AC，点E在直线BD上，且BD=2DE，若AE=λ1AB+λ2AC，则λ1+λ2的值是.

简析：由AE=λ1AB+λ2AC得1－λ1－λ2EA+λ1EB+λ2EC=0，故SΔEBC：SΔEAC：SΔEAB=1－λ1－λ2：－λ1：λ2.又AD=2/3AC，BD=2DE可知SΔEBC：SΔEAC：SΔEAB=3：3：6，因此λ1=－1/2，λ2=1，故λ1+λ2=1/2.

变式 设点P在ΔABC内且为ΔABC的外心，∠BAC=30°，如图9．若ΔPBC，ΔPCA，ΔPAB的面积分别为1/2，x，y，则x+y的最大值是．

简析：由三角形面积比得1/2PA+xPB+yPC=0即AP=2xPB+2yPC，平方AP2=4x2PB2+4y2PC2+8xyPBPCcos∠BPC，点P在ΔABC內且为ΔABC的外心，故PA=PB=PC，且∠BPC=2∠BAC=60°，故x2+y2+xy=1/4，x+y2=1/4+xy≤1/4+x+y/22，故x+y≤3/3，当且仅当x=y=3/6时等号成立.

评注：点P在三角形内或者三角形外，三角形面积都有类似的结论，根据向量关系先得到点所在位置，利用对应的面积和系数比关系得到结果.逆向思维可以由面积比得到系数之比，从而得到向量的系数关系.遇到向量的系数问题，结果图形考虑是否可以利用三角形的面积比问题.

4 小结

向量因其独特的双重性，在解题中灵活多变的思路，成为学生惧怕的对象.对于面积比问题的多解分析，更加透彻理解面积比问题的处理，从而对一些向量式的系数问题模式化.

对一题多解，在教学中不可一刀切只讲一种方法，也不可面面俱到，应呈现给学生一些有价值的想法，达到对问题的深刻理解，对问题考查方式的全面理解，对解法的灵活运用，从而对问题更加全面的思考.通过一题多解，归纳多题同解，让学生对数学背景，数学知识，数学思想方法深入理解.从一个有意义且不复杂的题目去挖掘各个方面的信息，从一道题领悟无线道题的可能.

参考文献

［1］钟建新.奔驰定理的证明、应用与推广［J］.数理化解题研究，2021（25）：42-43.

［2］向城，杨小兵，刘成龙.对一个向量面积比问题的研究［J］.中学生理科应试，2019（1）：1-3.