一道模考压轴题的背景与多解探析

数学知识发轫于问题，活用于问题解决.剖析典型试题的命题立意、命题背景，探究多样化的解法以及沟通各种解法之间的内在联系，是发展解题水平、达到解题目的的一条值得尝试的路径，也是体味数学源头的一种方法.

一、试题呈现

（2022届南昌市高三第一次模拟测试理科第12题）已知A－1，0，B3，0，P是圆O：x2+y2=45上的一个动点，则sin∠APB的最大值是（ ）.

本题通过设置鲜活灵动的问题情境，考查一类最大张角问题，重点考查直观想象、数学建模、数学运算、逻辑推理等数学核心素养.另一方面，试题一改往常解析几何、立体几何或导数试题压轴的命题惯例，而是选取了正弦定理、圆与圆的位置关系等“基础”知识命制试题压轴，破旧立新的背后旨在引导教师破除思维定势，全面备考，科学训练，摒弃以往醉心于“押题”训练、“套路”训练的旧有思维.总之，本题立意新颖，导向鲜明，内蕴丰富，具有较高的挖掘价值.

二、命制背景

本题源于经典的米勒问题.1471年，德国数学家、天文学家米勒（Johannes，miller）向诺德尔（Chri-stian，roder）教授提出了如下有趣的问题：如图1所示，在地球表面的什么部位，一根垂直的懸杆呈现最长（即可视角最大）？上述最大视角问题因米勒首先提出，故称之为米勒问题.米勒问题广泛分布于各种实际问题中，例如探求欣赏一幅画的最佳角度、足球比赛最佳射门点等，成为世界数学史上100个著名极值问题中的首个极值问题.

将上述问题加以抽象，即为如下问题：“如图2，设M，N是角∠AOB的一边OA上的两点，试在边OB上找一点P，使∠MPN最大.”对于上述问题，我们有如下定理：

米勒定理：设M，N是角∠AOB的一边OA上的两点，点P是射线OB上异于O点的一动点，则当且仅当△MNP的外接圆与射线OB相切于点P时，∠MPN最大.［2］

证明：如图3，在射线上任取异于P点的一点P′，连接MP′，NP′，NP′与圆相交于点C.由圆周角大于圆外角得∠MCN>∠NP′M.又因为∠MCN=∠MPN，所以∠MPN>∠MP′N，得证.

三、问题解答

以下分别从∠APB的正弦、余弦、正切值的最值问题探讨三个思路寻求解题突破口.

思路一：利用正弦定理和米勒定理探索最值

本题探求一角正弦值的最小值问题，联想到正弦定理，可转化为△ABP的外接圆半径最小值问题.再根据米勒定理，转化为圆与圆的内切关系问题，利用圆心距与两圆半径之间的关系式构造方程求得最小半径.

解法1：如图4所示，设△ABP的外接圆半径为R，则AB/sin∠APB=2R，从而sin∠APB=AB/2R=2/R.由米勒定理知，当△ABP的外接圆与圆O相内切时，R最小，sin∠APB最大.设△ABP的外接圆的圆心为C，则C1，4－R2.因为OC=35－R，所以R2－3=35－R，解得R=85/5，sin∠APB的最大值是5/4，故选C.

思路二：应用余弦定理和基本不等式求解最值

从结论出发联系余弦定理，cos∠APB=PA2+PB2－AB2/2PA·PB=PA2+PB2－16/2PA·PB.于是，可考虑借助已知条件建立PA，PB长度间的关系，再结合基本不等式，放缩求出cos∠APB的最值问题.

解法2：（利用∠AOP与∠BOP的互补关系建立PA，PB长度间的关系式）设PA=m，PB=n，显然cos∠AOP=－cos∠BOP，由余弦定理得12+452－m2/2×1×45=－32+452－n2/2×3×45，化简得3m2+n2=192，即有3m2+n2/192=1，所以cos∠APB=m2+n2－42/2mn=m2+n2－16/1923m2+n2/2mn=9m2+11n2/24mn≥29m2×11n2/24mn=11/4，从而sin∠APB的最大值是1－11/42=5/4，故选C.

点评：利用“1”的代换，借助基本不等式实施放缩，求得余弦值的最小值.

解法3：（利用向量恒等式建立PA，PB长度间的关系式）设PA=m，PB=n，∠APB=θ，易知PO=3PA+PB/4，平方得PO2=9PA2+6PA·PB+PB2/16，即45=9m2+6mncosθ+n2/16，解得cosθ=720－9m2－n2/6mn，由余弦定理得cosθ=m2+n2－16/2mn，所以720－9m2－n2/6mn=m2+n2－16/2mn，化简得3m2+n2=192，下同解法2.

解法4：（借助斯特瓦尔特定理建立PA，PB长度间的关系式）设PA=m，PB=n，由斯特瓦尔特（Stewart）定理得PA2·OB+PB2·OA=PO2·AB+AB·AO·BO，即有3PA2+PB2=45×4+1×3×4，亦即3m2+n2=192，下同解法2.

思路三：借助两角差的正切公式和过P的直线系方程探求最值

设出点P的坐标x，y，从∠APB的正切值切入，引入过Px，y点的直线系方程，然后利用原点到该直线（系）的距离小于等于圆的半径构造不等式，使问题获解.

解法5：设Px，y，则x2+y2=45，则直线PA，PB的斜率分别是kPA=y/x+1，kPB=y/x－3，tan∠APB=tan∠PBx－∠PAx=tan∠PBx－tan∠PAx/1+tan∠PBxtan∠PAx=kPB－kPA/1+kPB·kPA=y/x+1－y/x－3/1+y/x+1·y/x－3=4y/x2+y2－2x－3=4y/42－2x=2y/21－x.设2y/21－x=k，则kx+2y－21k=0，则原点O0，0到直线kx+2y－21k=0的距离d=21k/k2+4≤35，解得k2≤5/11，即tan2∠APB≤5/11，从而sin∠APB的最大值是5/4，故选C.

点评：比较上述各解题思路与解法，环肥燕瘦，辩证统一.但思路1应用米勒定理，解答最为简捷明快.

四、模型应用

以米勒问题为背景的最大张角试题在历年高考中屡见不鲜，经久不衰，而米勒定理应成为解决下此类问题的首选良策.

例1 （1986年高考全国卷理科第5题）如图5，在平面直角坐标系中，在y轴正半轴（坐标原点除外）上给定两定点A，B，试在x轴正半轴（坐标原点除外）上求一点C，使∠ACB取得最大值.

例2 （2005年高考浙江卷理科第17题）如图6，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点F1，F2在x轴上，长轴A1A2的长为4，左准线l与x轴的交点为M，MA1：A1F1=2：1.

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线l1：x=mm>1，P为l1上的动点，使∠F1PF2最大的点P记为Q，求点Q的坐标（用m表示）.

例3 （2010年高考江苏卷第17题）某兴趣小组测量电视塔AE的高度H（单位m），如图7所示，垂直放置的标杆BC高度h=4m，仰角∠ABE=α，∠ADE=β.

（1）该小组已经测得一组α，β的值，tanα=1.24，tanβ=1.20，请据此算出H的值；

（2）该小组分析若干测得的数据后，发现适当调整标杆到电视塔的距离d（单位m），使α与β之差较大，可以提高测量精确度，若电视塔实际高度为125m，问d为多少时，α－β最大.

囿于篇幅，以下仅给出例3（2）的解答：

解法1：由题设知d=AB，得tanα=AE/AB=125/d，tanβ=CB/DB=EA/DA=H－h/d=125－4/d=121/d，则tanα－β=tanα－tanβ/1+tanαtanβ=125/d－121/d/1+125/d×121/d=4/d+125×121/d≤4/2d×125×121/d=4/2d×125×121/d=25/125，当且仅当d=125×121/d即d=555时等号成立.又0<β<α<π/2，0<α－β<π/2，由于y=tanx在0，π/2上單调递增，所以当d=555时，α－β最大.

解法2：由题设知α－β=∠DEB，由米勒定理得，当EA与过点D，B，E的圆相切且切点为E时，∠DEB最大.易求得DB=4/121d，此时，由切割线定理得EA=BA·DA，即125=d·4/121d+d，解得d=555，问题获解.

以上解法中，可以再次体会应用米勒定理大幅缩减运算量的天然优势.

值得关注的是，近年来，米勒问题在竞赛数学中也频频亮相.

例4 （2004年全国高中数学联赛第12题）在平面直角坐标系xOy中，定点M（－1，2），N（1，4），点P在x轴上移动，当∠MPN取最大值时，点P的横坐标为 .（参考答案：1）

例5 （2006年全国高中数学联赛第9题）已知椭圆x2/16+y2/4=1的左右焦点分别为F1，F2，点P在直线l：x－3y+8+23=0上.当∠F1PF2取最大值时，PF1/PF2= .（参考答案：3－1）

例6 （2017年辽宁省初赛第9题）已知F1，F2分别为椭圆Γ：x2/a2+y2/b2=1a>b>0的左右焦点，F1F2=2，A为Γ的右端点，直线l过点A，且垂直于x轴，P为直线l上一动点，若∠F1PF2的最大值是π/4，则点P的坐标是.

解：由已知得Aa，0，F1－1，0，F21，0.当点P在x轴上方时，设Pa，tt>0，由米勒定理知：当为P经过点F1，F2且与直线l相切的圆的切点时，∠F1PF2取到最大值.由切割线定理，可知AP2=AF1·AF2，即t2=a+1a－1，则t=a2－1.又∠F1PF2的最大值是π/4，所以tanπ/4=1/a2－1，解得a2=2，即t=1.同理，当点P在x轴下方时，t=－1.综上，点P的坐标是（2，±1）.

五、强化训练

1.（2022年1月广东省华附等四校联考第7题）在足球比赛中，球员在对方球门前的不同位置起脚对球门的威胁是不同的，出球点对球门的张角越大，射门的命中率就越高.如图8为室内5人制足球场示意图，设球场（矩形）长BC大约为40米，宽AB大约为20米，球门长PQ大约为4米.在某场比赛中有一位球员欲在边线BC上某点M处射门（假设球贴地直线运行），为使∠PMQ最大，则BM大约是（）.（精确到1米）

A.8米 B.9米 C.10米 D.11米

2.（2022年东北三省三校联考第12题）已知a>b>0，F1，F2是双曲线C1：x2/a2－y2/b2=1的两个焦点，若点P为椭圆C2：x2/a2+y2/b2=1上的动点，当P为椭圆的短轴端点时，∠F1PF2取得最小值，则椭圆离心率的取值范围为（ ）.

A.0，2/2B.2/2，1C.0，2/3D.2/3，1

（以上两题分别选C，A）

参考文献

［1］徐章韬.中学数学教材核心内容分析：经验型面向教学的数学知识［M］.北京：科学出版社，2021.1.

［2］张志刚.一道课本习题的溯源、破解与思考［J］.中学数学月刊：2022（5）：66-68.

［3］张志刚.素养立意下一道视角极值题的溯源、破解与思考［J］.数理化解题研究：2022（25）：63-66.