作业栏目“数学思考”设计研究

周宁　余小萍

2021年7月，《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》（以下简称“意见”）中指出：提高作业设计质量，发挥作业诊断、巩固、学情分析等功能，系统设计符合年龄特点和学习规律、体现素质教育导向的基础性作业，鼓励布置分层、弹性和个性化作业.［1］《普通高中数学课程标准（2017年版）》（以下简称“课标”）中指出，学业质量考查内容应围绕数学内容主线，聚焦学生对重要数学概念、定理、方法、思想的理解和应用，强调基础性、综合性；注重数学本质、通性通法，淡化解题技巧；命题时，应有一定数量的应用问题，还应包括开放性问题和探究性问题，重点考查学生的思维过程、实践能力和创新意识，问题情境的设计应自然、合理.［2］为积极贯彻落实《意见》和《课标》要求，数学科作业布置应落实基础性、综合性、应用性和创新性的“四翼”考查要求.本文研究在校本作业中设计“数学思考”栏目，以期提升作业设计和实施质量，提高学生发现、提出、分析和解决问题的能力，落实核心素养的培养.

一、“数学思考”栏目的设计目的

2019人教A版高中数学教科书（以下简称教材）在课后习题中设计三个栏目“复习巩固”、“综合应用”以及“拓广探索”，其中“拓广探索”中的习题具有较强的拓展性、探究性和综合性，但类型和呈现方式较为单一.笔者思考能不能在让作业内容的形式更多样，让学生能不能多思考一点，多一点文字表达，而不仅仅是纯粹的解题.因此在作业中设计栏目“数学思考”，通过该栏目习题的作答，培养学生的思维能力和创新意识，让学生明白“思考什么”以及“如何思考”.

“数学思考”栏目应达成以下目标：

1.能够理解数学问题，能够提出数学研究的新对象和新内容，发展合情推理和演绎推理能力，培养发现问题和提出问题的能力；

2.能够理解数学本质，能够有逻辑地表达数学事实与观点，提升语言表达能力和逻辑推理能力，培养分析问题和解决问题的能力；

3.学会独立思考，体会数学的基本思想和思维方式.

二、“数学思考”栏目的设计原则

“数学思考”栏目的设计需遵循以下三个原则：

1.思想性：思想性体现在对数学概念的本质理解，体现在对数学思想方法的深刻认识，思想性的考查应聚焦问题解决的思维过程.题目的设计应基于对知识本质理解的转化解决问题，培养抽象、推理、模型等思维特征，促进学生思维的深刻性、灵活性、敏捷性等品质的发展，发展关键能力，提升核心素养.

2.发展性：发展性体现在题目蕴含的数学思想和方法具有普适性，培养学生通过迁移数学思想方法发现并解决新问题的能力，发展自我学习的能力.题目考查的知识方法应立足于基础知识、基本方法和基本思想，既符合现阶段学生的知识基础和认知水平，又能在问题解决的过程中突破现有数学思维水平的限制，发展高阶思维.

3.创新性：创新性体现在题目的开放性，鼓励学生运用创造性、发散性思维分析问题和解决问题，培育学生的创新精神.栏目设计拓广探索性试题，给学生很大的思考空间和选择权力，可以根据自己的特点选择、设计问题，选择解题方向和方法，培养独立思考能力和批判性思维品质，对核心素养的培养更有效.

三、“数学思考”栏目的設计策略

1.设计整理类问题，让数学思考更有系统性

整理类问题是指设计问题引导学生对知识内容、思想方法进行反思，将知识方法条理化、逻辑化，提高抽象概括和解决问题的能力.通过对知识内容的整理，促进学生厘清知识联系，把握知识脉络；通过对解题策略的梳理，促使学生提高从个例到类型的抽象，归纳问题解决的通性通法，体悟数学思想方法，提高数学研究的品质.

案例1 （1）思考教材（选择性必修一）P108例3以及P126练习1.你能否在下面习题背景中用斜率将圆锥曲线统一起来？证明你的结论.

习题背景：设A，B两点的坐标分别为0，－a，0，a，直线AM，BM相交于点M.

（2）你还可以用其他量将圆锥曲线统一起来吗？证明你的结论.［3］

参考解答：（1）当kAM·kBM=－1时，则M的轨迹方程为x2+y2=a2y≠0；当kAM·kBM=－b2/a2时，则M的轨迹方程为y2/a2+x2/b2=1y≠0；当kAM·kBM=b2/a2时，则M的轨迹方程为y2/a2－x2/b2=1y≠0；当kAM 2-kBM 2 = 1时，则M的轨迹方程为x2=4ayy≠0.

（2）可以用距离统一圆锥曲线.设平面内动点M到定点F与定直线l（Fl）的距离之比为e，则当01时，M的轨迹为双曲线.证明略.

设计意图：教材习题对圆锥曲线的第二、第三定义有呈现，但较为分散.本案例让学生对相关习题进行梳理，通过统一定义整体认识圆锥曲线的本质特征，理解圆锥曲线存在的条件以及所包含的几何性质.

2.设计改错类问题，让数学思考更有严谨性

改错类问题是将一些经典问题的错误解答作为素材，让学生进行辨析，发现错因并纠正.这类问题通常是由于学生对问题整体理解不正确或某个易错点没有认识到位，导致易错、反复错.当学生进行纠错时，会促使其反省，对错解进行严谨思考，在问题解决的过程中培养思维批判性和严谨性.

案例2 有同学给出下列问题的解答过程.请判断解答是否正确.如果不正确，请在错误的地方画横线，给出正确的解答并简要说明错误的原因以及对问题的认识.

问题 已知2≤x+y≤3，－2≤x－y≤－1，求3x+y的最值，并说明此时x，y的取值.

解答过程：由已知得0≤x+y+x－y≤2，即0≤x≤1，

3≤x+y－x－y≤5，即3/2≤y≤5/2，所以0≤3x≤3，3/2≤3x+y≤11/2，即3x+y的取值范围为3/2，11/2.当x=0，y=3/2时，3x+y有最小值3/2；当x=1，y=5/2时，3x+y有最大值11/2.

上述解答错误在“3/2≤3x+y≤11/2”及之后.这是因为x与y没法同时取得最小（大）值，使得3x+y取得最小（大），如“当x=0，y=3/2时，3x+y有最小值3/2”，此时x=0，y=3/2不满足“2≤x+y≤3”.

正确解答：由已知得4≤2x+y≤6，所以3x+y=2x+y+x－y∈2，5，即2x+y的取值范围为2，5，当2x+y=4，

x－y=－2. 即x=0，y=2 时，2x+y有最小值2，当2x+y=6，x－y=－1 即x=1，y=2 时，3x+y有最小值5.

对错解的认识：由已知不等式可知x与y是相关的，不是孤立的，因此不能分别求出x，y的范围再对问题求解，需利用整体的思想将已知条件x+y，x－y视为两个变量，将2x+y用这两个变量表示，就可以避免上述的错误.

设计意图：学生在应用不等式性质求解一些代数表达式范围时，经常会忽视应用性质的前提是变量之间不相关，所以会出现经典的错误：分别求各变量范围再应用不等式性質求范围.该错解会扩大所求范围，由于该内容是必修一第二章的内容，而且没有线性规划相关知识的支撑，所以设计问题“求3x+y的最值，并说明此时x，y的取值”，意图让学生发现x和y是互相制约的两个变量，x取最小（大）值时，y未必能同时取到最小（大）值，从而唤醒学生整体的意识解决问题.

3.设计疑难类问题，让数学思考更有深刻性

疑难类问题是指在一些在教学过程不好处理的问题，或是因为内容较为复杂，或是内容涉及超出高中教材.这些问题虽不宜作为课堂教学的内容，但若设计作为课后思考，给予充足的背景资料，让学生有充分的时间进行深入思考，有助于深化教学内容，提高对数学本质的理解和认识.

案例3 一般来说，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小，只有复数为实数的情况下才有大小关系.为什么一般情况下复数不能比较大小？

数学研究的基本结构有代数结构、序结构和拓扑结构.数的大小关系是一种序，但是数系中序关系要成为大小关系，要求满足下列条件：

①对数系中的任意两个数a，b，a

②对数系中的任意两个数a，b，如果a

③对数系中的任意两个数a，b，如果a

④对数系中的任意两个数a，b，c>0，如果a

（1）有同学给出复数比大小的一种定义：

如果两个复数z1=a+bi，z2=c+di，a，b，c，d∈R，如果a>c，则a+bi>c+di；如果a=c，则若b>d，则a+bi>c+di.请问这种定义合理吗？为什么？

（2）有同学说在复数系上无法定义满足上述四种条件的复数比大小规则，请问这种说法正确吗？为什么？

参考解答：（1）这种定义不合理.这种定义满足①②③，但是不满足④.因为i=0+1×i，0=0+0×i，所以由该定义可得i>0，但由④可得，i×i>i×0，即－1>0，矛盾.

（2）由①可知，i与0的关系只能是i>0与i<0之一.

如果i>0，根据④可得i×i>i×0，即－1>0；根据③可得－1+1>1+0，即0>1，由④可得0×－1>1×－1，即0>－1，矛盾；如果i<0，根据③可得0+－i>i+－i，即－i>0；根据④可得0×－i>i×－i，即0>1；因为－i>0，根据④可得，0×－i>1×－i，即0>－i，矛盾.

所以无法定义满足上述4个条件的复数比大小规则.

设计意图：在复数教学中，教师没法对复数的大小关系进行详细说明，只能匆匆带过“复数只能相等或不相等，而不能比较大小，只有复数为实数的情况下才有大小关系”.这是由于涉及对数集结构的高等认识，无法在课堂教学展开.数学是讲“理”的学科，任何规定都有其必然性和合理性，因此通过本问题让学生深刻明白复数不能比大小的原因，并初步了解“序关系”“大小关系”等高等数学知识，激起对数学的兴趣和求知欲.

4.设计拓广类问题，让数学思考更有主动性

拓广类问题是指通过典型例题的解决，能够进行类比联想，将问题推广得到一般性结论.通过这类问题的解决，让学生感悟知识间的联系性和思想方法的普适性，深层次启发学生数学思考能力，被动做题转化为主动思考，在知识方法的思辨、归纳、拓展、延伸的过程中，拓宽思维宽度，拓展思维的广度，挖掘思维深度，提升思维高度.［3］

案例4 （1）求（x－1）（x－2）（x－3）（x－4）（x－5）的展开式中x4的系数；

（2）（ⅰ）下列各项是x+y+zn展开式中的项有（ ）.

A.C2nC3nCn－4nx2y3zn－4 B.C2nC3n－2x2y3zn－4

C.C2nC3nCn－5nx2y3zn－5 D.C2nC3n－2x2y3zn－5

（ⅱ）你能写出x+y+zn展开式中的任意一项、x1+x2+…+xmn展开式中的任意一项吗？

参考解答：（1）x4的系数为－1+－2+－3+－4+－5=－15.

（2）（ⅰ）D；（ⅱ）x+y+zn展开式中的任意一项可以是CanCbn－axaybzc，其中a，b，c∈N，且a+b+c=n；x1+x2+…+xmn展开式中的任意一项可以是Ca1nCa2n-a1…Cam-1 n-a1 -a2 -…-am-2x1 a1 x2 a2 …xm am ，其中ai∈N，i=1，2，…，m，且∑m/i=1ai=n.

设计意图：计数原理是最基本也是最重要的计数方法，虽近乎常识但应让学生意识到原理的重要性，要能够用原理本身来分析问题和解决问题.二项式展开式的推导就是计数原理应用的典例.通过问题（1）让学生回顾计数原理和组合知识推导二项式定理的基本思想，厘清展开式x4得到的过程，加深对原理的理解，为问题（2）的解决做好铺垫.要解决问题（2），除了要理解计数原理还需要迁移对二项式定理展开式项的结构的认识，也可以通过一般到特殊的推理来发现.问题（2）还考查学生的符号一般化能力，培养抽象概括能力.

5.设计探究类问题，让数学思考更有创造性

探究性问題是指在问题中提供一定的数学事实，要求学生能够通过观察、分析数学事实，提出有意义的数学问题、规律或结论，并给出解释或证明.它的主要特点是开放性，条件和结论有可能都是需要自己去发现的，有时还不是唯一的，因此学生可以广泛参与问题的探究.探究性问题的求解更加富于思维创造性，有助于真正调动学生解决问题的主动性与积极性，激发良好的自主求知欲和学习创新性.

案例5 （2022届福州5月质检第17题）已知数列an的各项均为正数，记Sn为an的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.①a2=2a1；②数列lnan是等差数列；③数列Sn+a1是等比数列.

参考解答：①②③，①③②，②③①均成立.下面以①②③为例.

设数列lnan的公差为d，则d=lna2－lna1=2，所以lnan－lnan－1=ln2，即an/an－1=2n>1，故数列an是以2为公比的等比数列，Sn=a11－2n/1－2=2n－1a1，所以Sn+an=a1·2n，故Sn+a1/Sn－1+a1=a12n/a12n－1=2n>1，所以Sn+a1是以S1+a1=2a1为首项，2为公比的等比数列.

设计意图：本案例的条件和结论都是模糊的，需要学生判断给出条件的复杂程度.一般思维的方向是由简单到复杂.比较①②③可知，①给出的信息是最清晰，②考查等差数列的定义及对数运算，③考查等比数列的定义及Sn与an的关系或Sn的公式等，因此合理的选择①②③.在分析比较的过程中，学生需要作出合适的评估和选择，对学生的意志力和随机应变能力提出了较高的要求，体现理性思维、数学探索的考查目标，全方位考查学生的信息加工重构能力、问题表征能力以及解题策略监控与调整能力，凸显素养导向.［5］

四、结语

总之，“数学思考”栏目应有意识地引导学生通过习题的解答进行数学思考，思考知识的本质和内在的规律，概括和强化数学基本思想，在“感知→熟悉→内化”的过程中进行深度思考，让理性思维走向理性精神，提升思维品质.

参考文献

［1］中共中央，国务院.关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见［EB/OL］（2021-7-24）.

［2］中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）［S］.北京：人民教育出版社，2018.

［3］徐章韬.如何提高提出“问题—命题”的能力［J］.数学通报，2015，7：23-26.

［4］马喜君，赵琴学.以探索性思维导学培养学生的有“度”思维——以高三数列二轮复习课为例［J］.中学教研（数学）2022，4：35-3.

［5］李同吉，吴庆麟.论解决结构不良问题的能力及其培养［J］.华东师范大学学报，2006，24（01）：63- 68.

本文是福建省教育科学“十四五”规划2021年度课题《基于核心素养的农村校高中数学校本作业设计研究》（编号：Fjjgzx21-327）的研究成果之一．