理清算理算法 提升运算素养

褚玉霞　戚有建

一、问题提出

《普通高中数学课程标准（2017版）》提出了数学六大核心素养，明确把“数学运算”列为六大核心素养之一，明确了“数学运算”的定位：数学运算是在明晰运算对象的基础上，依据法则解决数学问题的素养.通过运算可以促进数学思维发展，形成规范化思考问题的品质，养成实事求是、严谨求实的科学精神.“数学运算”主要表现为：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果.

教学中，很多教师片面的将数学运算理解为追求速度、技巧、准确率的技能训练，这样的训练方式对学生运算素养的提升是低效的.实际上数学运算是演绎推理的一种形式，数学运算离不开算理的支撑.算理是客观存在的规律，能为数学运算提供正确的思维方式，从而保证运算的合理性和正确性.算理是在把握问题结构的基础上，从格局上合理布置运算的各个环节，使运算承上启下、有条不紊和结构紧凑，便于运算过程的自然展开，算法是一个将需要引入的运算法则、定理、公式组织成一个紧凑的系统，形成运算的一套程序.每个运算环节中都蕴含着相应的“算理”，我们应该帮助学生分析这些算理，从而指导运算，让学生体会到算理是进行一类运算的客观规律，进而提高运算的严密性和可操作性.本文以一道解几题为例，谈谈笔者在数学运算素养培养和提升方面的一些做法和思考.

二、教学案例

题目 如图1，已知C，D分别是椭圆x2/4+y2/2=1的左右顶点，动点M满足MD⊥CD，连CM交椭圆于P，证明：OP·OM为定值．

分析1：本题研究的图形是一个动态图形，对于动态图形，我们要思考图形因何而动，图形中的动态元素之间存在怎样的联系.动因确定运算对象，牵一发而动全身.本题如果理解为M点动而引起P点动，从而导致OP·OM在动，那么我们不妨从设点M开始，由于横坐标已知，所以可以设M点纵坐标.

导图1：设点M（2，m）→用m表示P点坐标→计算OP·OM

解法1： 设M（2，m），则直线CM的方程为y=m/4（x+2），代入椭圆方程x2/4+y2/2=1得（m2+8）x2+4m2x+4m2－32=0，其中Δ=1024，因为－2是此方程的一个根，所以－2xP=4m2－32/m2+8，即xP=16－2m2/m2+8，可求得P（16－2m2/m2+8，8m/m2+8），所以OP·OM=2×16－2m2/m2+8+m×8m/m2+8=4，为定值.

点评：解法1通俗易懂，学生容易想到，其中对方程（m2+8）x2+4m2x+4m2－32=0的认识是关键，可能有学生担心此二次方程的根会很复杂、会是无理根，实际上，此二次方程的根肯定是有理根，不会是无理根，因为此方程实际上已经知道一根是－2.另外此二次方程实际上可以化简为一次方程，因为有一个因式是（x－2）．

分析2：根据分析1，本题可以理解为M点动而引起P点动，从而导致OP·OM在动，由于C点是定点，所以M点动等价于直线CM的斜率在动，所以本题也可以设直线CM的斜率.

导图2：设直线CM斜率k→用k表示P点坐标→计算OP·OM

解法2：设直线AD的方程为y=k（x+2），代入椭圆方程x2/4+y2/2=1得（2k2+1）x2+8k2x+8k2－4=0，因为－2是此方程的一个根，所以－2xP=8k2－4/2k2+1，即xP=2－4k2/2k2+1，可求得P（2－4k2/2k2+1，4k/2k2+1），又由直线AD的方程为y=k（x+2）可得M（2，4k），

所以OP·OM=2×2－4k2/2k2+1+4k×4k/2k2+1=4，为定值.

点评：比较解法2和解法1可以发现，解法2直线AD方程y=k（x+2）中的k实际上就相当于解法1直线CM方程y=m/4（x+2）中的m/4，所以解法2和解法1本质上是一样的，但是解法2的过程稍简洁一些.

分析3：“M点在直线x=2上动”等价于“P在椭圆x2/4+y2/2=1上动，直线CP交直线x=2于M”，所以本题也可以设P点的坐标.

导图3：

设点P（x0，y0）→用x0，y0表示M坐标→计算OP·OM

解法3： 设P（x0，y0），则直线CP的方程为y=y0/x0+2（x+2），可得M（2，4y0/x0+2），所以OP·OM = 2x0  + 4y0 2/x0  + 2 = 2x0 2 + 4y0 2 + 4x0 /x0  + 2，又由P在椭圆上得x0 2/4 + y0 2/2 = 1，即2x0 2 + 4y0 2 = 8，所以OP·OM = 2x0 2 + 4y0 2 + 4x0 /x0  + 2 = 8 + 4x0 /x0  + 2 = 4，为定值.

点评：解法3以P点的坐标P（x0，y0）为参数，看起来有2个参数，但这2个参数满足椭圆方程，所以可以通过方程的变形整体消参，这里对方程的代数变形要求较高.另外，解法1、解法2都需要将直线和椭圆的方程联列，而解法3不需要方程的联列，所以解法3运算的效率更高，充分彰显了解析法的特点和方程的魅力.

分析4：根据分析3，本题可以设P点坐标，P点坐标包括三角形式.

导图4：

设P（2cosθ，2sinθ）→用θ表示M坐标→计算OP·OM

解法4： 设P（2cosθ，2sinθ），则直线CP的方程为y=2sinθ/2cosθ+2（x+2），可得M（2，22sinθ/cosθ+1），所以OP·OM=4cosθ+4sin2θ/cosθ+1=4cos2θ+4sin2θ+4cosθ/cosθ+1=4，为定值.

点评：解法4和解法3本质上是一样的，但解法4比解法3运算路径更短、运算效率更高，因为解法4中只有一个参数.

三、教学思考

1、明晰运算对象是提升运算素养的前提

《普通高中数学课程标准（2017版）》指出，数学运算素养是在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养.可见明晰运算对象是思路探究、程序设计、方法选择的前提和起源．所以我们要结合运算情境，引导学生多角度、多层次观察运算对象，得到不同的表达形式，即运算对象的多元表征，挖掘运算对象的内涵和背景，从而探究运算思路，设计运算程序．

2、理清算理算法是提升运算素养的关键

当前，很多教师在进行运算教学时侧重于技能的训练，将数学运算变成了追求速度、技巧、准确率的技能训练，这样的训练方式对学生运算素养的提升是盲目的、低效的.实际上，数学运算是演绎推理的一种形式，数学运算离不开算理的支撑.算理是客观存在的规律，能为数学运算提供正确的思维方式，从而保证运算的合理性和正確性，提高运算的严密性和可操作性.

3、亲身体验过程是提升运算素养的根本

很多教师在进行运算教学时，重视思路分析却忽视让学生真正动手去算，从而导致部分学生不愿算、不敢算、不会算．忽视学生的亲身体验，运算经验的积累、运算素养的提升是一句空话．因此，只有让学生亲身经历完整的运算过程，把分析运算条件、探求运算思路、设计运算程序、检验运算结果这些过程还给学生，才能充分培养他们的运算素养，优化他们的思维品质．