以必要性分析之矛，攻含参恒成立之盾

卢阳　付思琦

含参恒成立问题因综合性强，解法灵活而备受命题者青睐.笔者在教学过程中了解到学生对于参数分类依据的寻找不胜其烦，需要有较强的思维与观察能力.解题时，常从已知条件中推出一些结论，这些结论就是题目的必要条件，若能再论证充分性的成立，则问题得以解决.我们将这个方法称为必要性探路.本文以2022年高考题为例，赏析利用必要性解题的魅力.

2022年高考Ⅱ卷与全国Ⅰ卷出现了两道相同背景的含参恒成立问题，对学生造成了较大困扰.两题背景如下：

评析：两题的关键都在于对参数进行分类讨论.例1利用端点函数值的特殊情况，再结合必要性探路，便可快速得到分类依据，是前面所说的第二类背景；例2难度较大，需要对函数图像进行大致猜测，考查了学生的逻辑推理与直观想象能力，突破口依旧是利用“f（0）=0”的特殊性和必要性探路，属于第一类背景的变式.

除了求参数范围外，高考和联赛还时常考查求参数的取值.这类问题依旧面临着分类依据不易找，讨论情况繁而多，解题过程杂而长的特点.如能合理利用必要性缩小讨论范围甚至直接求出参数值，那就能“化繁为简”.

二、利用必要性求参数值

例3 （2022福建预赛题）如果对任意x，y，不等式4x2+y2+1≥kx（y+1）恒成立，求最大常数k.

分析：若x，y为正实数，则4x2+y2+1=2x2+y2+2x2+1≥22x（y+1），此时k=22，又因为当x=y=1时，易得k≤3，于是猜测k=3.

解：下面证明4x2+y2+1≥3x（y+1）对任意整数x，y均成立.

4x2+y2+1－3x（y+1）=（94x2－3xy+y2）+（74x2－3x+1）=（32x－y）2+（74x2－3x+1）①.令f（x）=74x2－3x+1=74（x－67）2－27，易得当x≤0或x≥2时，f（x）≥f（0）=1>0.所以当x≤0或x≥2时，①式的值大于0.又当x=1时，4x2+y2+1－3x（y+1）=y2－3y+2=（y－1）（y+2）≥0，对任意y∈Ζ都成立.因此，不等式4x2+y2+1≥3x（y+1）对任意整数x，y成立.

综上，k最大为3.

评析：此题直接去求k的范围，无论是直接讨论还是分离参数，都显得无从下手.若能枚举一些特殊值代入不等式中，可得到一些必要条件，从而猜出k的最大值为3，进而把参数范围的问题转化为不含参数的证明题，难度大大降低.

例4 （2022泉州质检）f（x）=（x－m）sinx+cosx，x∈0，5π4.（1）若m≤π2时，求f（x）的单调性；（2）若m=0时，f（x）+1≤a（x－π）恒成立，求a的值.

分析：这里只分析第（2）问.令g（x）=f（x）+1－a（x－π）=xsinx+cosx－ax+aπ+1，x∈0，5π4.又因为g（π）=0，所以g（x）≤g（π）在0，5π4上恒成立，于是x=π必为g（x）的极大值点，所以g′（x）=0为必要条件，得a=－π.

解：下面证明a=－π符合题意.令g（x）=xsinx+cosx+πx－π2+1，g′（x）=xcosx+π，g″（x）=cosx－xsinx.

①当x∈0，π2时，g′（x）>0，故g（x）在0，π2上遞增；当x∈π2，π时，g″（x）<0，则g′（x）单调递增，进而g′（x）>g′（π）=0 ，得到g（x）在π2，π上递增，于是g（x）在0，π上递增，所以g（x）≤g（π）=0；

②当x∈π，5π4时，g″′（x）=－xcosx－2sinx>0，故g″（x）在π，5π4上递增，又因为g″（π）=－1<0，g″（5π4）=π2（5π4－1）>0，所以存在x∈（π，5π4），使得g″（x1）=0，于是g′（x）在π，x1上递减，在x1，5π4上递增，又因为g′（x1）0，所以存在x2∈（x1，5π4）使g′（x2）=0，则g（x）在π，x2上递减，在x2，5π4上递增，因为g（π）=0且g（5π4）<0，所以g（x）≤0在π，5π4上恒成立.

综上，a=－π符合题意.

评析：此题主要考查运用导数判断函数的单调性，零点存在定理等基础知识，考查抽象概括、推理论证、运算求解等能力.若对a进行分类，需要讨论①a≥0，②－π