一道源于教材的习题探究

杨承根

教材是学生学习的主要材料，好的高考题应该是源于教材.所以在平时的教学中，我们应重视教材，用好教材.在笔者的教学过程中，就对一道教材上的习题进行了深入的探究，现将研究过程展示如下，以飨读者.

一、探究缘起

在人教A版高中数学必修四第147页有如下一道习题：已知cosα+cosβ=1/2，sinα+sinβ=1/3，求cos（α－β）的值.

该问题并不复杂，主要考察同角三角函数的性质以及展开公式，为此只需将前两式平方相加即可得答案cos（α－β）=－59/72.基于此，笔者根据该问题改编了如下的一道习题：

变式 已知cosα+cosβ=1/2，sinα+sinβ=1/3，求sin（α+β）的值.

笔者将此题给学生练习后，发现正确率非常低，其解答过程如下：将上述两式进行平方差可得（cosα+cosβ）2－（sinα+sinβ）2=5/36，化简得cos2α+cos2β+2cos（α+β）=5/36，根据和差化积等公式得2cos（α+β）［cos（α－β）+1］=5/36，代入cos（α－β）=－59/72的值可得cos（α+β）=5/13，从而得sin（α+β）的值为±12/13.

在上述解法中，计算过程均正确，错误的根源在于sin（α+β）正负值的判断.在上述解答过程中可知α+β，α－β的余弦值均为唯一值.而如何判断其正弦值的正负呢？一般解法在于求解出α，β的正、余弦值，再进行求解.此法的运算量太大，且忽略了三角函数的相关性质.为此，笔者从如下六个角度对该问题进行了分析.

二、解法分析

解法一：（利用和差化积求解）将上述两式相乘得（cosα+cosβ）（sinα+sinβ）=1/6，化简得sin（α+β）+1/2（sin2α+sin2β）=1/6，利用和差化积等公式得sin（α+β）［1+cos（α－β）］=1/6，代入上面的结论知sin（α+β）=12/13，仅有唯一解.

解法二：（利用正弦的平方差公式）将题干两式整理得2（cosα+cosβ）=3（sinα+sinβ），移项得2cosα－3sinβ=3sinα－2cosβ.两边平方后整理得12sin（α－β）=13（sin2α－sin2β）.根据正弦的平方差公式sin2α－sin2β=sin（α－β）sin（α+β），又sin（α－β）≠0，从而sin（α+β）=12/13.

解法三：（综合运用恒等变换相关公式求解）由cosα+cosβ=1/2，得2cosα+β/2cosα－β/2=1/2；同理由sinα+sinβ=1/3得2sinα+β/2cosα－β/2=1/3.兩式相除得tanα+β/2=2/3.从而sin（α+β）=2tanα+β/2/1+tan2α+β/2=12/13.

解法四：（综合运用恒等变换相关公式求解）由cosα+cosβ=1/2，得cos（α+β－β）+cos（α+β－α）=1/2，化简得sin（α+β）（sinα+sinβ）+cos（α+β）（cosα+cosβ）=1/2，即1/3sin（α+β）+1/2cos（α+β）=1/2；同理，由sinα+sinβ=1/3，可得1/2sin（α+β）－1/3cos（α+β）=1/3.化简后可得sin（α+β）=12/13.

评注：上述四种解法的本质均值在对两个条件进行等价变形，充分地利用恒等变换的相关公式，要求学生熟悉相关的公式并能够灵活运用.

解法五：（构造等差数列求解）由cosα+cosβ=1/2，可得cosα，1/4，cosβ三者成等差数列，设其公差为d1，从而得cosα=1/4－d1，cosβ=1/4+d1；同理由sinα+sinβ=1/3，可得sinα，1/6，sinβ三者成等差数列，设其公差为d2，从而得sinα=1/6－d2，sinβ=1/6+d2.由于sin2α+cos2α=1，所以（1/6－d2）2+（1/4－d1）2=1，即d21+d22－1/2d1－1/3d2=131/144；同理可得d21+d22+1/2d1+1/3d2=131/144，结合两式得d1=－2/3d2，代入上式计算得d21=131/468，d22=131/208，其中sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=（1/6－d2）（1/4+d1）+（1/6+d2）（1/4－d1），整理得sin（α+β）=1/12+3d21=12/13.

评注：该解法将三角函数问题转化为等差数列，最终通过解方程求得结果，形式虽然新颖，但其本质仍是利用同角函数的性质.其亮点主要在于沟通了两个知识板块之间的联系，但转化后的运算量较大，不易于推广至一般情况.

解法六：（构造向量求解）

构造向量=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ）.由题意得+=（1/2，1/3）.

根据三角函数的定义可知向量，的终点均属于单位圆x2+y2=1.设

=（1/2，1/3），由==1，可设<，>=<，>=θ，向量，，在单位圆中对应的角度为α，β，φ.则有α=φ－θ，β=φ+θ，由此即可得α+β=2φ.所以sinφ=213/13，cosφ=313/13，tanφ=2/3，代入得sin（α+β）=12/13.

评注：与上述解法相比，该解法通过几何的角度进行解释，直观明了，运算量小，且易于推广.

三、背景探究及变式推广

前四种解法的关注点在于条件的变形，以及和差化积等公式的运用上.其本质上是相同的，但并不能说明所求式是否有两解.解法五属于构造证明，若继续求解可求出所有角的三角函数值，但也不易于推广.解法六通过构造向量及单位圆，从几何层面进行解释，可以很好的解释其存在唯一解的原因.我们还可以基于解法六探究该问题的一般形式.

根据向量，为单位向量，则可得向量的终点的轨迹为x2+y2≤4（以原点为圆心，半径为2的圆面）.

设cosα+cosβ=s，sinα+sinβ=t，则sin（α+β）的值为2st/s2+t2，同理还可得cos（α+β）=s2－t2/s2+t2，其中s2+t2≤4.

基于上述分析，还可编制如下变式.

变式 设cosα+cosβ+sinα+sinβ=m（2

证明：设cosα+cosβ=s，sinα+sinβ=t，由题意得s+t=m（表示一条直线）.由于该直线需与圆面s2+t2≤4相交，从而可得m≤22.

2st/s2+t2=2/s/t+t/s，设k=s/t，从而有sin（α+β）=2/k+1/k.现在仅需研究k的范围即可，显然当k=1时，sin（α+β）取到最大值1；当（s，t）为上述直线与圆面的交点时，sin（α+β）取到最小值m2－4/8，从而可得sin（α+β）的范围是［m2－4/8，1］.