三大策略破解圆锥曲线中一类“非对称”结构

竺宝林

一个含有若干个元的多项式中，如果任意交换两个元的位置，多项式不变，这样的多项式称为对称式，如x1 -x2 ，1/x1  + 1/x2 ，x1 2 + x2 2，其它均称为非对称式，如x2/x1，λx1+μx2.在一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，若Δ>0，设它的两个根分别为x1，x2，则有根与系数关系即韦达定理x1+x2=－b/a，x1x2=c/a，借此我们往往能够快速处理“对称结构”，但是对于“非对称结构”，直接使用韦达定理处理会有一定的困难.在直线与圆锥曲线中，我们联立方程组，消去x或y，得到一个一元二次方后，也会遇到同样的困难.本文以一个题谈谈圆锥曲线中非对称问题的处理策略.

评注：解决解析几何问题，除了要应对代数运算，还要学会從几何图形中分析其几何特征，只有将几何特征分析得非常充分，代数化才能更加简洁，代数运算的难度才能降低.