构造函数法证明不等式的若干策略

张园

运用对相关函数求导证明不等式是近年来高考命题的一类热点题型，由于涉及许多导数问题中的解题技法，降低了解题的成功率，我们有不少同学都望而却步.此类问题的破题关键就是找一个与待证不等式紧密联系的函数，然后运用导数运算的方法，研究该函数的单调性、极值、值域等性質，进而达到证明不等式的目的.本文以近几年高考题或模拟题为例，通过探索不同类型不等式的证明，阐述构造函数证明不等式的六种方法，供参考.

点评：通过将待证的结论式变形整理，揭露了待证式的实质，也就是需要证明不等式f（x）

点评：在充分挖掘题目内涵的基础上，将待证的不等式进行转化、变形，使之等价变形为另一个大小关系证明的问题，然后再通过建立新函数轻松地解决了问题.

五、挖出同构关系后构造函数

点评：由于待证的不等式比较复杂，在分析、化简、变形的基础上，再经过换元处理，成功的找到了同构关系，然后通过设新函数，这样，成功地解决问题就是很容易了.

六、选择关键部位构造函数

例6 已知函数f（x）=1+lnxex，设g（x）=（x2+x）f′（x）（f′（x）为f（x）的导函数），试证明，对于任意x>0，g（x）<1+1e2.

点评：在解题过程中，根据大小比较的需要，对表达式中的一部分采用构造函数处理，也是一个重要的解题思路，这种求解方法的关键是精确替换，以起作用、易解决为替换原则.