只能“平行于x轴”吗？

1 问题呈现

题目 已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过A（0，－2），B（32，－1）两点．

（1）求E的方程；

（2）设过点P（1，－2）的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足MT=TH．证明：直线HN过定点．

本题是2022年高考全国乙卷理科的第20题，也是文科的第21题（以下简称考题）．用待定系数法易得E的方程为x23+y24=1，表示焦点在y轴上的椭圆．第（2）问研究动直线过定点问题，是解析几何中的热点问题，常考常新．

2 解法探究

命题4 如图7，已知P为椭圆C：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）外一点，过点P作椭圆C的切线，切点分别为Q，R，过点P的直线交椭圆C于M，N两点，过M且平行于PR（PQ）的直线与线段RN（QN）交于点H，则线段MH的中点T在直线RQ上．

（证明留给读者自行完成）

通过以上的探究，可见考题是“命题2＋命题4”下的特殊状态：点A与切点R重合于椭圆的下顶点，切线PA与x轴平行．而在一般的状态下，切线PR与x轴不平行，平行线的不同作法，会造就不一样的动点T在定直线上和动直线NH过定点，更显解析几何“动中取静”的精彩．

圆锥曲线的魅力就在于一个结论的精彩往往不只在一条曲线中绽放．在双曲线、抛物线中同样可探得如下的结论：

命题5 已知A为双曲线C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）上一点，过点A的三条直线分别交双曲线C于M，B，N三点（均异于点A），满足1kAM+1kAN=2kAB．过M且平行于x轴的直线与直线AN交于点H，则线段MH的中点T在直线AB上．

命题6 已知P为双曲线C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）外一點，过点P作双曲线C的切线，切点分别为Q，R，过点P的直线交双曲线C于M，N两点，过M且平行于PR（PQ）的直线与直线RN（QN）交于点H，则线段MH的中点T在直线RQ上．

命题7 已知A为抛物线C：y2=2px（p＞0）上一点，过点A的三条直线分别交抛物线C于M，B，N三点（均异于点A），满足1kAM+1kAN=2kAB．过M且平行于x轴的直线与直线AN交于点H，则线段MH的中点T在直线AB上．

命题8 已知P为抛物线C：y2=2px（p＞0）外一点，过点P作抛物线C的切线，切点分别为Q，R，过点P的直线交抛物线C于M，N两点，过M且平行于PR（PQ）的直线与直线RN（QN）交于点H，则线段MH的中点T在直线RQ上．

参考文献

［1］ 张培强．对一道解析几何联考试题的拓展探索［J］．中学数学研究（上半月），2022（5）：32-35．

［2］ 张培强．九层之台 起于累土——对一道解析几何题的赏析［J］．中国数学教育（高中版），2021（5）：50-53．

［3］ 张培强．几何画板助力椭圆中的蝴蝶翻飞——对椭圆中“斜率定商”的探索［J］．数学之友，2017（12）：80-84．