一道2022年山东省预赛试题的探究

盛龙

题目 已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）.證明：存在圆心在原点的定圆，使该圆上任意一点的切线与椭圆C恒有两个交点A，B，且OA·OB=0.（2022年全国高中数学联赛山东赛区预赛第12题）

试题设计平凡、朴实、常规，是学生最熟悉的题型，入手比较容易且解题的思路很多.考查了直观想象、数学运算和逻辑推理等数学核心素养，检验了学生分析问题和解决问题的能力，是一道有探究性的好题.

参考答案：（1）x26+y23=1；（2）32.

设计思路：题3的进一步深化，S△PMN=2S△OPN，性质3的特殊化.

基于以上对3到题目的设计，解析几何试题考查学生用解析几何方法解决解析几何问题的能力，使学生体会到对于几何问题，“解析化”的途径必须进行认真的研究探索和选择，同时强调运算的准确性对于解析几何是十分必要的.