指向深度学习的深度教学

刘璇燕

数学深度教学是帮助学生“通过数学会思维”，学会总结反思和“再认识”，强调通过“联系的观点”帮助学生更好地学会学习，深入学习，从而真正成为学习的主人的教学.单元复习教学中，围绕教学中的重难点，通过对相关题目的背景分析、解法思考等追溯题目的根源，变式拓展探寻题目本质内涵，找寻学生解题能力生长的轨迹，是很好的复习策略.本文以圆锥曲线定义法求最值问题为例，谈谈自己对“深度教学”的感受和思考.

1 问题呈现

例1 抛物线y2=4x的焦点为F，定点Q2，1，P为抛物线上动点，则PF+PQ的最小值为＿＿＿.

分析：本题考查抛物线的定义、简单几何性质和数形结合思想，是一道基础题.由点Q在抛物线内侧，作图（略），把抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，但是在课前练习中只有一半的學生能够求出正确答案3.分析作业情况主要原因有三个：缺乏数形结合意识，没有判断定点与抛物线的位置关系；不能灵活运用抛物线定义进行转化；对于能够运用抛物线定义转化写出正确答案的部分学生，问其思路原因时，都说是印象中就是这样解题的，但却不清楚为什么要进行转化.针对这种情况，笔者进行了以下的变式练习探寻题目本质内涵.

变式1 抛物线y2=4x的焦点F，定点Q3，4，P为抛物线上动点，则PF+PQ的最小值为＿＿＿.

分析：定点Q在抛物线的外侧，焦点F在抛物线的内侧，作图（略），当动点运动到三点共线时和最小，所以PF+PQ≥QF=25.

设计意图：由例题出发，改变点Q的位置，定点Q在抛物线的外侧，焦点F在抛物线的内侧，不需要通过定义转化，可以直接求解；与例1形成对比，引起认知冲突，揭示学生学习中的问题，引导思考例1用定义转化距离的原因，是因为求动点到两个定点距离之和最小值时，需要把同侧距离（定点在动点的同侧）转化为异侧距离（定点在动点的异侧），然后利用三角形的两边之和大于第三边，当三点共线时距离之和取得最小值，提升数形结合思维.

变式2 抛物线y2=4x上一动点P到直线x=-1的距离为d，定点Q1，1，则d－PQ的最大值为＿＿＿.

分析：定点Q在抛物线的内侧，直线在抛物线的外侧，作图（略），运用抛物线定义将点到准线的距离转化为到焦点的距离d=PF，d－PQ=PF－PQ≤QF=1.

设计意图：例1和变式1都是求距离之和最小值问题，变式2引出了求距离之差的最大值问题，需要把异侧距离转化为同侧距离，然后利用三角形中两边之差小于第三边，当三点共线时同侧距离之差取得最大值，激发逆向思维.

2 变式探究

教师提问1：以上是关于抛物线上的动点到定点或定直线的距离之和（差）的最值问题，同学们能否小组合作，探究在其他的曲线上是否也有这种最值问题呢？

学生探究1：其他圆锥曲线上的动点到定点的距离之和（差）的最值.

教师请学生上台展示探究结果，整理如下：

3 教学反思

在单元复习教学中，从某个小知识点切入，通过改变题目条件，暴露学生解题中的疑惑点和易错点，尊重学生的认知规律，顺应学生的思维，通过教师的引导逐步深入，学生参与变式探究，对题型不断深入挖掘，追根溯源，促进学生深度学习能力，巩固和创新教学方法，有助于减轻学生的解题负担，激发学生的探究兴趣.

（本文系广州市教育研究院2021年度科研课题：基于核心素养的高中数学深度教学策略研究（课题编号：21BJXP2147）和广州教育学会2022年度科研课题：基于核心素养的高中数学单元教学设计研究（课题编号：202215082）阶段性成果.）