一类一阶半正周期边值问题正解的存在性

杨伟

（西北师范大学 数学与统计学院,甘肃 兰州 730070）

一阶常微分方程周期边值问题在经济、天文、计算机及生物等领域应用广泛，例如动物红细胞再生问题、行星转动周期问题和产品销售模型问题等。关于一阶周期边值问题解的存在性研究尤为必要。MORETTO［1］研究了一阶周期边值问题

此后相继得到了关于该问题解的存在的结论［2-9］。例如，文献［2］运用上下解方法研究了式（1），得到：

定理1设m：[0，1]→[0，∞)，n：[0，∞)→ [0，∞)连续。若α1和β1分别为式（1）的严格上解和严格下解，且在[0，1]内满足α1≥β1，则式（1）存在正解u。

在文献［2］的基础上，文献［3］在非线性项具有奇异性的情形下，研究了含参数的一阶周期边值问题

其中，λ ＞0 为参数，并运用锥上的拉伸与压缩不动点定理，得到：

定理2设 m：[0，1]→[0，∞) 连续，若 n：(0，∞)→(0，∞)连续且满足，则存在λ0＞0，当0 ＜λ ＜λ0时，式（2）有1 个正解 u。

文献［2］在对应问题的权函数定号的情形下考虑了正解的存在性，文献［3］在对应问题的权函数定号且非线性项具有奇异性的情形下讨论了正解的存在性，但是文献［2-3］均未考虑权函数变号的情形。那么，在引入正参数λ 和正常数k 的情况下，当权函数变号且非线性项具有奇异性时，能否利用上下解方法获得一阶周期边值问题正解的存在性？事实上，引入正常数k，既增加了问题的难度，又将问题推广至半正情形，再加上权函数变号，从而需要新的约束条件保证正解的存在性。基于此，本文将采用上下解方法考虑一阶周期边值问题

正解的存在性，其中，k ＞0 为常数，λ ＞0 为参数。下文假定：

记Banach 空间C([0，1])相应的范数为‖u‖=|。Banach 空间C1([0，1])相应的范数为，定义锥K 为

本文的主要结果为定理3 和定理4。

定理3设a∈C([0，1])，f：[0，∞)→[0，∞) 连续且满足 f (0)=0。若下列条件之一成立：

（i）f 满足条件（F1），

（ii）f 满足条件（F2）且 c ＞k，以及‖a-‖充分小，则存在λ0＞0，当λ ＞λ0时，式（3）有1 个正解uλ。进一步，对任意的t∈[0，1]，当λ →∞时，有uλ→∞。

定理4设a∈C([0，1])，f：(0，∞)→(0，∞)连续且满足条件（F3）。若‖a-‖充分小，则存在λ0＞0，当0 ＜λ ≤λ0时，式（3）有1 个正解 uλ。进一步有。

注1当k=0，a(t)恒正时，式（3）退化为文献［2-3］中的情形。与文献［2-3］相比，本文不仅得到了式（3）正解的存在性，还得到了解的渐近形态。

1 预备知识

定义1若 α∈[0，1] 满足

则称 α 为式（3）的下解。

定义2若 β∈[0，1] 满足

则称β 为式（3）的上解。

引理1［10］在f 满足条件（F1）的情形下，设存在常数δ(0 ＜δ ＜1)，若定理3 的条件“‖a-‖充分小”也成立，则问题

至少有1 个解 w∈K。

引理2［10］在f 满足条件（F2）的情形下，若定理3 的条件“‖a-‖充分小”成立，则存在 b(0 ＜b ≤1)，使得问题

有唯一解 w∈K。

引理3［10］在 f 满足条件（F3）的情形下，设存在常数δ(0 ＜δ ＜1)，若定理4 的条件“‖a-‖充分小”也成立，则问题

至少有1 个解 w∈K。

引理4设式（3）有1 个下解α 和1 个上解β，对任意的t∈[0，1]，有α(t)≤β(t)，那么式（3）至少有1 个解u(t)且对任意的t∈[0，1]，有α(t)≤u(t)≤β(t)。

证明在[0，1]→R 下，定义函数γ(t)：

考虑辅助问题

首先，将式（7）转化为

其中，G（t，s）为线性问题

的Green 函数。由式（3），当t∈[0，1]时，有α(t)≤u(t)≤β(t)，再由Schauder 不动点定理，可知式（7）至少存在1 个解。

接下来考虑，当式（7）的解u 满足 α(t)≤u(t)≤β(t)，t∈[0，1]时，u 也为式（3）的解。反设存在t∈[0，1]，使得α(t)＞u(t)，那么一定存在τ∈[0，1]，使得α-u 在τ 处达最大正值，且α(τ)＞u(τ)以及γ(τ)=α(τ)。由条件α(0)≥α(1)，若τ 在0 点处未取到最大正值，则一定不会在1 点处取到最大正值，从而可假设τ∈[0，1)，那么有α'(t)-u'(t)≤0，以及

这与下解的定义相矛盾。因此对任意的t∈[0，1]，有α(t)≤u(t)。对于u(t)≤β(t)，t∈[0，1] 的情况，类似可证。

设a∈C([0，1])，若w∈C1([0，1])为式（5）的唯一解，定义式（5）相应的解算子 A：C([0，1])→C1([0，1])为

引理5设a，g∈C([0，1])，g ≥0 且其在[0，1] 的任意子区间上不恒为零。若存在δ(0 ＜δ ＜1)，使得式（4）有1 个解w∈K，则存在η0＞0，当 η∈(0，η0] 时，问题

有1 个解uη∈K。

证明设，则ηg(t)，结合边界条件xφ(0)≤xφ(1)，可知xφ 为式（8）的上解。

另设ρ：=A(g)，取 0 ＜δ ＜1，w∈K 为式（4）的1 个解，那么存在 η0＞0，对任意的0 ＜η ≤η0，有 ηρ ≤δw 以及 0 ＜(1-δ)w ≤w-ηρ，则

结合边界条件w(0)-ηρ(0)≤w(1)-ηρ(1)，可知 w-ηρ 为式（8）的下解。

如有必要，取充分大的x，使得xφw-ηρ ＞0，再根据引理4，可知式（8）至少存在1 个解uη∈K。

2 主要结果的证明

定理3 的证明情形1f 满足条件（F1）。

等价于

从而式（9）成立。

从而式（9）成立。因此，当λ ≥λ0时，u*为式（3）的下解。

另取 b=1，设 π：=A(1)，取 u*：=y(π+1)，y ＞0，结合u*(0)≤u*(1)，可知u*为式（3）的上解当且仅当

由条件（F1），知对任意的 ε ＞0，存在s*＞0，当s ＞s*时，有。进一步，若y(π+1)＞y ＞s*，则，从而式（11）成立。

情形2f 满足条件（F2）且c ＞k。

和函数

其中，χJ为J 的特征函数。因为 c ＞k，A(m)∈K 连续，所以

存在1 个解 w∈K，从而对任意的t∈[0，1]，存在ξ ＞0，使得 w(t)≥ξ ＞0，结合条件（F2），可知存在λ0＞0，当 λ ≥λ0时，有

对任意的 λ ＞0，有

结合边界条件 λw(0)=λw(1)，可知λw 为式（3）的下解。

设Φ：=A(|a|)∈K，对λ0＞0，存在λ ≥λ0，使得 y0≥λC。因为C ＞k，所以对任意的y1≥y0，有

结合边界条件 y1Φ(0)≤y1Φ(1)，可知y1Φ 为式（3）的上解。

综上，如有必要，取充分大的 y，使得当λ ＞λ0时，y1Φ ≥λw。因此根据引理4，式（3）至少有1 个解uλ∈K 且λw ≤uλ≤y1Φ。特别地，对任意的 t∈[0，1]，当λ →∞时，有。

最后，考虑非线性项奇异的情形。

定理4 的证明定义，从而 1-ςp=ς。设 υ=：λpw。结合 υ(0)=υ(1)，可知υ 为式（3）的下解当且仅当

两边同时乘以 wp，再由1-ςp=ς，可知

结合w，a 有界以及条件（F3），取充分小的λ，可得υ为式（3）的下解。

另设ϑ：=A(|a|)，z ＞0，从而(z(λϑ)ς)'≥zςλςϑς-1|a(t)|，结合 ϑ(0)≤ϑ(1)，可知z(λϑ)ς为式（3）的上解当且仅当

则式（13）的第1 个不等式成立。由条件（F3），知存在 s1＞0，使得当0 ＜s ≤s1时，f (s)sp＜2。因此，当z(λϑ)ς≤s1，zp+1ς ＞2 时，有

换言之，选取充分大的z，使得

从而，当λ ≤λ0时，式（13）的第1 个不等式成立。

进一步，有

从而，当λ ≤λ0时，式（13）的第2 个不等式成立。

综上，由ϑ∈K，使得w ≤zϑς，再由引理4，可知式（3）有1 个解uλ且λςw ≤uλ≤zλςϑς，λ ≤λ0。进一步，当λ →0+时，‖uλ‖→0。

3 结语

为进一步完善一阶周期边值问题的相关体系，探讨了一类一阶半正周期边值问题正解的存在性。相较已有研究，引入了正常数k，将问题推广至半正情形，加之权函数变号，正解的存在性研究变得更加复杂，尤其是在构造上下解及保证解的正性方面极其困难。基于此，在非线性项f 满足不同条件时，利用缩放性质构造上下解，不仅避免了权函数变号以及半正情形的影响，而且所得上下解是良定的，再采用上下解方法证明了正解的存在性。

微分方程周期边值问题研究无止境，本文不涉及高阶微分方程以及权函数不连续甚至奇异的情形。此外，仅得到一阶半正周期边值问题的一个正解，并未考虑其存在多个正解的问题。