一类时滞非局部扩散SVIR 模型单稳行波解的稳定性

李孝武，杨赟瑞*，刘凯凯

（1.兰州交通大学 数理学院,甘肃 兰州 730070；2.中国地质大学 数理学院，湖北 武汉 430074）

0 引言

易感态-感染态-恢复态（susceptible infected recovered，SIR）模型一直备受关注［1-10］，最早可追溯至KERMACK 等［1］为研究人口密度与传染性、恢复率和死亡率间的特定关系对流行病产生的影响而提出的常微分方程。然而，SIR 模型并未考虑个体在空间中的随机移动和扩散。事实上，许多病毒需通过宿主的随机移动以及与宿主之间的接触进行传播。因此，利用反应扩散方程模拟疾病的传播更具现实意义［2-6］。具有经典Laplace 扩散项的SIR 模型为

疾病的传播与扩散不仅限于当前位置，还与相邻位置甚至整个区域有关，从而涉及发生在更大范围内的在相对稠密条件下不相邻位置间的非局部扩散，通常用卷积项表示：

另外，时滞现象普遍存在，例如病菌的潜伏期，生物的成熟期等。因此，用时滞非局部扩散SIR 模型模拟疾病的传播更符合客观实际［7-10］。时滞非局部扩散SIR 模型为

注意到，上述模型均未考虑防疫策略对疾病传播的影响。随着医疗技术的发展，开发了针对各种疾病的疫苗，例如接种新冠疫苗，可有效防治新冠疫情。因此，考虑疫苗接种策略的流行病模型可更准确反映疾病的发展趋势。Laplace 扩散的无时滞SVIR 模型为

时滞非局部扩散SVIR 模型为

其中，U1(x，t)，U2(x，t)，U3(x，t)和U4(x，t)分别表示位置x 和时刻t 的易感、接种、感染和康复个体的密度；τ 表示病毒的潜伏期；Λ 表示易感个体的外部输入率；μ1，μ2，μ3和μ4分别表示易感、接种、感染和移除个体的自然死亡率；β1和β2分别为易感个体和接种疫苗的个体与已感个体之间的疾病传播率；α，γ 和γ1分别为疫苗接种率、治愈率和接种疫苗的个体获得免疫力的概率。

在行波理论中，行波解的稳定性一直是研究重点，特别是单稳行波解。由于单稳行波解连接的2个平衡点中有一个不稳定，且在行波解处线性化算子的本质谱与原点之间无间隙，因此需引入加权函数。加权能量法和反加权能量法［12-16］是研究（时滞）反应扩散方程单稳行波解稳定性的有效工具。而在非拟单调条件下，由于方程的非单调性，比较原理不成立，许多基于比较原理的单调性方法失效，例如挤压技术、加权能量法结合比较原理等。LIN 等［14］利用加权能量法结合连续性方法，研究了一类非拟单调时滞Nicholson's 标量方程非临界波速下单稳行波解的指数稳定性。随后，CHERN 等［15］利用反加权技巧、加权能量法结合连续性方法，研究了一类非拟单调的Laplace 扩散时滞标量方程临界波速下单稳行波解的渐近稳定性（不含具体衰减率）。上述文献得到的均为时滞标量方程小初始扰动（非）临界波速下单稳行波解的局部稳定性结果。MEI 等［16］利用反加权能量法结合傅里叶变换，同时建立了一类时滞Laplace 扩散标量方程单稳行波解（无论其单调与否）大初始扰动非临界波速下的全局指数稳定性和临界波速下的全局代数稳定性。此后，ZHANG［17］将MEI 等［16］的结果推广至空间非局部的时滞非局部扩散标量方程，MA 等［18］和SU 等［19］将该方法分别运用于拟单调的时滞非局部扩散系统和非拟单调的时滞Laplace 扩散系统。

受上述工作的启发，笔者尝试同时建立如式（4）所示的非临界和临界波速下单稳行波解的全局稳定性。但是，由于式（4）反应项中的耦合项（双线性函数）较为特殊：其任一变元的二阶偏导均为0，从而无法保证其一阶偏导的有界性，故无法直接建立扰动系统初值问题解的全局存在唯一性，因此需利用迭代技巧建立解的局部存在唯一性，但这需要小初始扰动条件。此外，式（4）反应项中耦合项的特殊性，导致同时建立非临界和临界波速下单稳行波解的反加权能量法结合Fourier 变换失效。因此首先，利用迭代法建立式（4）相应扰动系统解的局部存在性；其次，借助加权能量法得到式（4）相应扰动系统局部解的衰减估计；最后，将式（4）相应扰动系统的局部解延拓至全空间，从而得到式（4）非临界波速下单稳行波解的局部指数稳定性。

1 预备知识和主要结论

首先，给出所需的假设条件。

(J1) J∈C1(R)，J(x) ≥ 0，J(x)=J(-x)，∫RJ (x)dx=1，且J 具有紧支集。

(J2) 存在 λM∈(0，+∞)，使得对任意的λ∈[0，λM)，有

其次，工作空间及记号约定如下：C ＞0 为万有常数，Ci＞0，i=0，1，…，为特定的常数。I 表示区间，L2(I)为由定义在I 上的平方可积函数构成的空间，为加权L2(I)空间。Hk(I)为由定义在I上且其j(j=0，1，…，k)阶导数是由L2(I)空间内的Lebesgue 平方可积函数构成的索伯列夫空间，为加权索伯列夫空间，加权函数ω(x)＞0。的范数定义为

令T ＞0，B 为Banach 空间。C([0，T] ；B)表示由定义在[0，T]上的B-值连续函数构成的空间，L2([0，T] ；B)表示由定义在[0，T]上的B-值平方可积函数构成的空间，类似于由相应[0，+∞)上的B-值函数构成的空间定义。

注意到，式（4）有2 个平衡点：

其中，S0，V0，R0，S*，V*，I*，R*均为正常数。式（4）连接2 个平衡点U-和U+的行波解Φi(ξ)=Φi(x+ct)，其中，ξ=x+ct，i=1，2，3，4 满足：

其中，c 为行波解的波速。

另假设式（4）满足初始条件：

命题1（行波解的存在性［20］） 假设ℜ0：=且条件(J1)和(J2)成立，则对任意的c ≥c*，式（4）存在行波解，其中c*＞0，λ*=λ(c*)＞0，且Δ(λ*，c*)=0，，

当c ＞c*时，Δ(λ，c)=0 有2 个不同的正实根λ1和λ2；当c=c*时，Δ(λ，c)=0 有2 个相同的正实根λ*；当c ＜c*时，Δ(λ，c)=0 无实根。

定义加权函数：

其中，ξ0≫1，λ∈(λ1，λ2)。

定理1（行波解的稳定性） 假设τ∈(0，τ0)，其中τ0为正常数，且条件(J1)和(J2)成立。若c 满足

初始扰动满足

其中，0 ＜T ≤∞。

下面，建立式（4）的扰动系统，令ξ=x+ct，且

定义空间X(-τ，T)为

方便起见，给出以下记号：

其中，V=：（V1(ξ，t)，V2(ξ，t)，V3(ξ，t)，V4(ξ，t)），且T ＞0，从而可得定理1 的等价定理，即

定理2假设τ∈(0，τ0)，其中τ0为正常数，且条件(J1)和(J2)成立。若c 满足式（8），且初始扰动满足

2 主要结论的证明

引理1（局部存在性）在定理2 的假设条件下，对于满足c ＞c*的行波解Φi(x+ct)=Φi(ξ)，i=1，2，3，4，若初始扰动满足 (V10(ξ)，V20(ξ)，V30(ξ，s)，V40(ξ))∈X(-τ，0)且MV(0)≤δ1，则存在一个充分小的t0=t0(δ1)＞0，使得式（12）的解Vi(ξ，t)(i=1，2，3，4)∈X(-τ，t0) 关于t∈[-τi，t0]局部存在且唯一，且存在常数m0＞1，使得MV(t0)≤m0MV(0)，其中τ1=τ2=τ4=0，τ3=τ。

证明证明是平凡的，可以利用单调迭代技巧证明［21］。与以往工作不同的是，这里只需证明局部解

取充分大的正数m1，m2，m3，m4＞0，使得α+μ1+m1＞∊，γ1+μ2+m2＞∊，γ+μ3+m3＞∊，其中∊为正常数。令b1=α+μ1+m1，b2=γ1+μ1+m2，

由式（14）～式（17），可得

由文献［17］中的引理2.1 和注记2.1，知Si(ξ，t)为初值问题：

的基本解，且‖Si(t)‖L1(R)≤3，i=1，2，3，4，其中δ(·)为Dirac 函数。由式（18）～式（21），可得

由Fatou 引理，可知

类似地，可得

另外，标准的能量估计：

由式（18）～式（21），可知

结合式（26）和式（27），可知

因此，若0 ＜t0≪1 且

证毕！

为研究式（4）单稳行波解的稳定性，需建立式（12）的解（扰动解）的先验估计。

定义

引理2令ω(ξ)为式（7）中定义的加权函数，若式（8）成立，则当 ξ∈R，0＜μ＜μ'：=时，有

证明由式（7），可知ω(ξ)=e-λ(ξ-ξ0)，ξ0≫1。注意到，故

引理3（先验估计）令 V(ξ，t)：=(V1(ξ，t)，V2(ξ，t)，V3(ξ，t)，V4(ξ，t))∈X(-τ，T)为式（12）的局部解，则存在与常数T ＞0 无关的且均大于1的正常数δ2，μ和C，使得当MV(T)≤δ2时，

引理4令Vi(ξ，t)∈X(-τ，T)，则存在正常数δ2，μ，使得当0 ＜μ ＜μ'且MV(T)≪1 时，有

证明对式（12）的第1 个方程两边同乘以e2μtω(ξ)V1(ξ，t)，得

通过简单的计算，可验证形如g(y1，y2)=β1y1y2的二元函数的n(n ≥3)阶导数均为0，故由Taylor 公式和Cauchy-Schwarz 不等式，知

将式（35）代入式（34），得

对式（37）左边第4 项运用Cauchy-Schwarz 不等式，得

将式（38）代入式（37），得

类似地，对式（12）的第2～4 个方程分别进行能量估计，可得

此外，参照文献［9］，对i=1，2，3，4，由Cauchy-Schwarz 不等式，可知

将式（43）分别代入式（39）～式（42），可得

类似地，有

将式（49）～式（51）代入式（48），可得

因为MV(T)≪1，且对ξ∈R，有Ai，μ，ω(ξ)＞0，i=1，2，3，4。因此，存在正常数δ3，δ4，δ5，使得

令δ2=：min {δ3，δ4，δ5}，则当MV(T)≤δ2时，有

于是，得到能量估计：

若MV(T)≤δ2，首先对式（12）关于ξ求导，然后对式（12）的前 4 个方程两边分 别乘以 e2μtω(ξ)× V1ξ(ξ，t)，e2μtω(ξ) V2ξ(ξ，t)，e2μtω(ξ) V3ξ(ξ，t) 和e2μtω(ξ)V4ξ(ξ，t)，并对所得结果关于(ξ，t) 在R [0，t]上积分。类似式（53）的分析过程，可得第2个能量估计：

最后，结合式（53）和式（54），可得

证毕！

引理5令，则，且

证明证明过程与文献［4］类似，此证略。

此外，还需建立Vi(ξ，t)，i=1，2，3，4在ξ=+∞处的指数衰减估计。因为Vi(ξ，t)∈Cunif[-τi，T]，所以关于t∈[0，T] 一致存在，且当t∈[0，T] 时，有。令，i=1，2，3，4，则满足

式（58）相应的线性系统为

其中，P=A+B。根据β1和β2的定义，显然β1≥β2（接种疫苗个体的感染率低于未接种疫苗个体的感染率）。利用Hurwitz 判据，验证矩阵P 的所有特征值均有负实部。

由文献［4］中的引理3.8，可知存在正常数∊，使得

又由Vi(i=1，2，3，4)的连续性和一致收敛性，不难得到

引理6若τ∈(0，τ0)，则存在正常数∊和充分大的ξ0≫1（与t 无关），使得

选择满足0 ＜μ ≤min {∊，μ'}的μ，结合引理5和引理6，可证得引理3。

定理2 的证明正常数δ2，μ 和C 均大于1，且与常数T ＞0 无关。令

由引理1，可知存在t0=t0(δ1)＞0，使得V(ξ，t)∈ X(-τ，t0)。根据δ0，δ1的选取，可知MV(t0)≤δ2。

首先，利用引理 3 建立当 t∈[0，t0] 时Vi(ξ，t)(i=1，2，3，4)的指数衰减估计式式（32）。

其次，将式（12）的初始数据替换为

再次利用引理1，证明当t∈[t0，2t0]时新的初值问题解的存在性，即V(ξ，t)∈X(-τ，2t0)，由引理3，可得当t∈[0，2t0]时Vi(ξ，t)(i=1，2，3，4)的指数衰减估计式式（32）。重复上述过程，可得V(ξ，t)∈X(-τ，∞)，且当t∈[0，∞)时，Vi(ξ，t)满足指数衰减估计式式（32）。

最后，由引理1 和引理3，可得定理2。

证毕！