傅里叶正、余弦变换的加权卷积及其应用

向仪，冯强

（延安大学 数学与计算机科学学院，陕西 延安 716000）

0 引言

傅里叶变换（Fourier transform，FT）作为一种重要的信号处理工具，在应用数学、光学、图像加密、信号处理等领域具有重要应用［1-4］。在FT 基础上定义的傅里叶正弦变换（Fourier sine transform，FST）与傅里叶余弦变换（Fourier cosine transform，FCT），是求解积分方程常用的工具［5-6］。用FST 与FCT 处理奇函数和偶函数的计算复杂度是FT 的1/2，因此，用FST、FCT 处理奇和偶函数比用FT更有效［7］。

卷积是一种积分变换，常被用于各种应用问题建模。由于新型卷积对积分方程和算子理论有影响，且在展示新特性和应用方面具有较大潜力［8-9］，吸引了不少研究者的兴趣。近年来，有许多有关傅里叶卷积及其相关理论研究的报道。如文献［10］研究了FST 与Kontorovich-Lebedev 变换相关的广义卷积，并将卷积定理应用于求解积分微分方程。文献［11］给出了Wiener 空间上的卷积运算，建立了Fourier-Feynman 变换及其卷积定理，拓展了傅里叶分析理论体系。文献［12］提出了基于矩阵的FST、FCT 以及Hartley 变换，并将这些理论应用于图像加密。文献［13］研究了Hartley 变换、FST、FCT 的多重卷积，并将这些卷积应用于求解积分方程，得到了这类方程的显式解。文献［14-17］进一步研究了傅里叶加权卷积运算及其卷积定理，利用所得卷积理论研究了几类卷积积分方程的解。

近年来，作为FST 与FCT 的广义形式，分数阶正弦变换与分数阶余弦变换引得关注，产生了一些具有代表性的理论成果［18-20］。但尚未见关于FST与FCT 的混合加权卷积成果的报道。混合加权卷积理论不仅是对原有广义卷积理论的拓展，而且可对复杂场景下的实际问题进行建模。因此，研究傅里叶正、余弦变换的混合加权卷积及其相关应用非常必要。

本文在已有文献基础上，研究傅里叶正、余弦变换混合加权卷积及其应用。首先，利用经典卷积以及傅里叶正、余弦变换的性质，给出了傅里叶正、余弦变换的混合加权卷积运算，并推导了相应的卷积定理。其次，研究混合加权卷积运算与已有卷积运算之间的关系，运用混合加权卷积性质得到了Young 类不等式。最后，利用混合加权卷积运算，计算了一类卷积类积分方程的解。

1 预备知识

广义卷积定理［21］：

其中，函数f，g，γ∈L1(R+)；K，K1，K2为不同的积分变换。当K，K1，K2为傅里叶变换时，上述广义卷积定理退化为经典的卷积定理：

其中，(f * g)(x)为经典傅里叶卷积运算，满足

(Ff)(y)为f 的傅里叶变换，满足

傅里叶余弦变换(Fcf)(y)与傅里叶正弦变换(Fsf)(y)［22］分别为：

傅里叶余弦与傅里叶正弦的卷积定理分别为：

傅里叶余弦正弦卷积［24］：

且满足卷积定理：

2 加权卷积及其卷积定理

给出两类新的傅里叶余、正弦加权卷积的定义，并研究这两类卷积的相关性质，推导相应的傅里叶余、正弦加权卷积定理。

定义1设f (t)∈L1(R)，g(t)∈L1(R+)，则傅里叶余弦加权卷积与傅里叶正弦加权卷积分别为：

其中，γ（y）=e-ycos y 为权函数，且有

定理1设f (t)∈L1(R)，g(t)∈L1(R+)，则有，且满足：

证明由式（13），可得

下证式（15）。由式（4）和式（5），可得

由式（17），可得

由式（17）和式（18），可得

由式（5）和式（13），可知式（15）成立。

式（16）的证明方法与式（15）的类似。

定理1 证毕。

下面给出傅里叶正、余弦加权卷积与已有卷积的关系。

定理2设f (t)∈L1(R)，g(t)，h(t)∈L1(R+)，则有

证明先证（iv）。由式（16），可得

故式（iv）成立。

（i）～（iii）的证明过程与（iv）的证明类似。

定理2 证毕。

定理 3设g(x)∈Lq(R+)，ω(x)∈Lr(R+)，其中，p，q，r ＞1，且满足，则有傅里叶余弦加权卷积不等式

证明设p1，q1，r1＞1，满足。令

由式（21）～式（23），可得

由式（21），可得

由Fubini 定理，可得

由复数的性质及式（20），可得

同理可得

因此，由式（24）～式（27），可得

再由式（20），可得

同理可得

因此，由式（22）、式（23）、式（29）、式（30），可得

由Hölder's 不等式，可得

定理3 证毕。

3 卷积方程在积分方程中的应用

卷积方程在许多领域均有非常重要的应用，如辐射能量传播、轴震动等，特别在工程力学和数字信号处理中［25］，经常会遇到形如式（33）和式（39）的积分方程，求解这些方程是目前研究的热点之一。

λ1，λ2为复数，φ，k，φ，h∈L1(R+)为已知函数，f，g 为未知函数，I1，I2，I3，I4见定义1。

定理4设，则式（33）在L1(R+)上有解，即

其中，x ＞0，θ∈L1(R+)，且满足

证明式（33）可改写为

运用卷积定理，得

由Wiener-Levi's 定理［26］，知存在函数θ∈L1(R+)，使得

因此，由式（38），得

由FCT，有

同理可得

定理4 证毕。

卷积方程在许多场合有重要应用，不同的卷积方程可解决不同的问题。如积分方程：

其中，

λ1，λ2为复数，δ，μ，τ，ω1，ω2∈L1(R+)为已知函数，f，g 为未知函数。

定理5假设1+H≠0，其中，

则式（39）具有显式解：

其中，ρ∈L1(R+)，且满足

证明与定理4 的证明类似，此证略。

4 结论

在现有加权傅里叶正、余弦变换卷积的基础上，提出了傅里叶正、余弦变换的混合加权卷积运算，得到了相应的加权卷积定理；研究了混合加权卷积的性质以及Young 类不等式；最后利用提出的混合加权卷积，讨论了两类卷积类积分方程的解，得到了相应的显式解。