固本创新彰显素养——2023年全国高考数学试题分析与启示

哈尔滨师范大学附属中学 张玉萍

2023年教育部教育考试院命制4套高考数学试卷，分别是全国甲卷（文、理科）、全国乙卷（文、理科）、新课标Ⅰ卷、新课标Ⅱ卷。高考数学试题遵循了高考评价体系理念，以“立德树人、服务选拔、导向教学”为统领，以数学学科核心素养为导向，试题充分体现了基础性、综合性、应用性和创新性。在对高中数学必备知识进行全面考查的基础上，重点考查了数学学科的核心概念和学生应具备的关键能力，尤其深化对学生思维品质、问题解决和可持续学习能力的考查，达到落实高考育人的目的（具体考查内容详见表1）。

表1 2023年全国高考数学试题知识点分布表

通过对四套试题考查内容梳理和对比，2023年全国高考数学试题有如下特点。

一、强调基础，注重全面

2023年的4套高考数学试卷所考查的知识点基本相同，呈现的先后顺序略有差异，基础性和全面性依然是数学试题的主要特点，尤其是选择题和填空题，从集合、逻辑到不等式，从函数、数列到导数，从三角函数到向量，从立体几何到解析几何，从排列组合到概率统计，几乎涵盖着高中数学各章节的绝大部分知识点。新高考Ⅰ卷和Ⅱ卷的4个选项设问不但角度多，而且层次清晰，依次递进，有的前面选项为后面的选项提供了条件，从不同的角度和不同的梯度全面地考查了学生基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验，有一定的区分度。

例1（新课标Ⅰ卷·12）：下列物体中，能够被整体放入棱长为1(单位：m)的正方体容器(容器壁厚度忽略不计)内的是（）

A.直径为0.99m的球体

B.所有棱长均为1.4m的四面体

C.底面直径为0.01m，高为1.8m的圆柱体

D.底面直径为1.2m，高为0.01m的圆柱体

【解析】选项A、B：因为正方体的棱长1m大于球体的直径0.99m，面对角线长m大于正四面体棱长1.4m,所以球体和正四面体能够被整体放入正方体内，故A、B正确；选项C：因为正方体的体对角线长m小于圆柱体的高1.8m，所以不能够被整体放入正方体内，故C不正确；选项D：由于圆柱体的高仅为0.01m，所以只需考虑正方体中是否存在一个截面，使得底面直径为1.2m的圆内含于该平面图形。正方体中最大的截面是以正方体中的六条棱的中点为顶点的正六边形，其内切圆的直径为m，因为m＞1.2m，结合图形的对称性可知选项D正确。

评析：本题以立体几何组合体为背景，既考查了正方体、正四面体，又考查了圆柱体，可以说全面考查了简单多面体和旋转体的几何性质。作为选择题的压轴题目，情境设置以学生最熟悉的正方体为载体，考查立体几何基础知识和空间想象能力，从利用正方体的棱长到面对角线长和体对角线长，再到体对角线所在的正六边形最大截面解决问题，层层深入，步步进阶。

二、突出核心，导向应用

（一）以数学核心概念为纽带考查数学知识的本质

高中数学核心概念是数学课程中的主要概念，其反映的数学思想贯穿于高中数学内容体系，是数学知识联系的桥梁，是数学知识结构中的“联结点”。它既具有基础性，又具有生长性，高考历来重视支撑数学学科的主干知识和核心概念的考查，用核心概念将所考查的知识有机组合，构成关联、综合的问题，从而体现数学学科认识客观世界的基本思想和方法，揭示学科本质，考查学生的关键能力。

例2（新课标Ⅰ卷·7）：记Sn为数列{an}的前n项和，设甲：{an}为等差数列；乙：{}为等差数列，则（）

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

【解析】由等差数列的前n项和Sn公式，求出数列

两式相减得an=nan+1-(n-1)an-2tn，即an+1-an=2t，对n=1也成立，故答案为C.

评析：本题是一个具有多点结构的数学问题，表面上呈现给学生的知识点是等差数列的定义和性质及充要条件的概念，但试题内部隐含着函数这一核心概念，因为一般来说，等差数列的通项公式可以看做是一次函数，前项和公式可以看做是没有常数项的二次函数，所以{an}为等差数列，就是关于n的一次函数，故{}就是等差数列，反之{}就是等差数列，其通项公式是一次函数，那么Sn就会成为没有常数项的二次函数，其对应的数列{an}也一定是等差数列，从而直接就可以建立命题甲和乙的等价关系，即甲、乙互为充要条件。函数概念是高中数学最重要的概念，其蕴含的函数思想贯穿在高中数学课程的始终，它是联结两个（包含多个）数学对象的桥梁，从学习函数到运用函数思想解决其他问题是学生学习能力和数学素养提升的标志。

（二）以核心素养为目标考查学生解决问题的能力

2023年高考数学试题坚持考查数学素养；注重引导教学。通过设计出基于真实问题情境、揭示数学本质、体现学科价值的综合性问题，实现对数学六大素养（数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析）的综合考查。尤其针对学生的数学抽象、逻辑推理和数学运算的素养，设计的问题入口宽，思考角度多，解题方法灵活多样，有效地考查了学生的思维能力，甄别了学生的思维品质。

例3（新课标Ⅱ卷·21）：已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为（-2，0），离心率为。

（1）求C的方程；

（2）记C的左、右顶点分别为A1、A2，过点（-4，0）的直线与C的左支交于M、N两点，M在第二象限，直线MA1与NA2交于点P.证明：点P在定直线上。

【解析】（1）由题意求得a、b的值即可确定双曲线方程

（2）由（1）可得A1（-2，0），A2（2，0）。设M（x1，y1），N（x2，y2），显然直线的斜率不为0，所以设直线MN的方程为x=my-4，且=1联立可得（4m2-1）y2-32my+48=0，且△=64（4m2+3）＞0，则y1+y2=

设直线MA1的方程为（x+2），直线NA2的方程为（x-2），联立直线MA1与直线NA2的方程可得：

将韦达定理式带入上式，消去y1计算可得即交点的横坐标为定值，据此可得点P在定直线x=-1上。

评析：本题考查了学生的逻辑推理、数学运算和直观想象的数学素养，数学学科素养有差异的学生会表现出不同的解题策略，首先逻辑推理和直观想象能力强的学生会依据图形的对称性猜想出两条动直线的交点横坐标一定是定值，可以选择特殊位置先探究出结果，点P在定直线x=-1上，再从特殊到一般，进行有关任意性的证明，从而降低试题的运算量；其次，逻辑推理和数学运算能力较强的学生能够发现这是一个解析几何中“非对称结构”的韦达定理的问题，如果学生掌握了“非对称结构”的运算规则和算理，可以选择配凑消元、和积转化等运算手段解决运算问题；数学运算能力和直觉思维相对弱的学生，就会半途而废。由此可见，数学素养是学生解决问题的真正法宝。

三、重视情境，体现创新

数学试题中情境主要包含现实情境、数学情境和科学情境，2023年高考数学试题的情境设置更加真实和自然，与以往试题相比，控制了文字量与理解难度。

（一）现实情境更加贴近学生的生活

与往年高考试题相比，2023年高考试题的问题情境更加真实、自然，贴近学生的生活实际，让学生在数学观念的引领下，体会用数学眼光看待世界的新角度，并能选择恰当的数学知识科学合理地解决实际问题。

例4（新课标Ⅱ卷·21）：甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若末命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8.由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5.

（1）求第2次投篮的人是乙的概率；

（2）求第i次投篮的人是甲的概率；

（3）已知：若随机变量Xi服从两点分布，且P（Xi=1）=-P（Xi=0）=qi，i=1，2，…，n，则记前n次（即从第1次到第n次投篮）中甲投篮的次数为Y，求E（Y）.

【解析】（1）考记“第i次投篮的人是甲”为事件Ai，“第i次投篮的人是乙”为事件Bi，所以P（B2）=P（A1B2）+P（B1B2）=P（A1）P（B2A1）+P（B1）P（B2B1）=0.5×（1-0.6）+0.5×0.8=0.6.

（2）设P（A）i=Pi，依题可知，P（B）i=1-Pi，则由全概率公式得P（Ai+1）=P（AiAi+1）+P（BiAi+1）=P（A）iP（Ai+1A）i+P（Bi）P（Ai+1Bi），

即Pi+1=0.6Pi+（1-0.8）×（1-Pi）=0.4Pi+0.2，将问题转化为待定系数法求通项公式。

（3）由于甲第i次投篮次数Yi服从二点分布，所以E，而前n次（即从第1次到第n次投篮）中甲投篮的次数为

所以当n=0时，E（Y）=0

评析：本题考查了全概率公式、随机变量分布列、数学期望及数列递推关系等多个知识点，是一个具有较复杂的关联结构的实际问题，但试题以甲、乙两人依次投篮为背景，投中者继续投篮，未命中时则换为对方投篮，与以往的某些高考真题相比较，这样的情境来源于学生的生活，容易让学生理解题意。通过设问第二次恰为乙投篮的概率和前n次投篮中甲投篮的次数的数学期望来考查新课标新增内容全概率公式，将概率的递推关系问题转化为数列递推关系，体现了数学知识之间内在的联系，将复杂的随机变量分布列问题转化为二点分布问题，体现了数学揭示客观世界规律，描述客观世界秩序的基本方法和手段，同时体现了“五育并举，融合育人”的教育理念。

（二）科学情境的设置来源于教材

教材蕴含着丰富的教学素材，尤其是其中的例题和习题具有典型性、示范性和关联性，所以一些高考试题来源于教材中例题和习题，引导学生要重视教材，利用好教材，不搞题海战术，充分发挥教材在数学学习中的重要作用。

例5（新课标Ⅱ卷·12）：在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立.发送0时，收到1的概率为α（0＜α＜1），收到0的概率为1-α；发送1时，收到0的概率为β（0＜β＜1），收到1的概率为1-β.考虑两种传输方案：单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次.收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）.

A.采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到l，0，1的概率为（1-α）（1-β）2

B.采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1概率为β（1- β）2

C.采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为β（1- β）2+（1-β）3

D.当0＜α＜0.5时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率

【解析】本题考查的知识点互斥事件概率的加法公式和相互独立事件概率的乘法公式，在较复杂的问题情境中分清事件之间的关系是解题的关键。

例6（《人教A版》选择性必修三P51）：在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送信号0时，接收为0或1的概率分别为0.9和0.1；发送信号1时，接收为1或0的概率分别为0.95和0.05.假设发送信号0或1是等可能的[1].

（1）分别求接收信号0和1的概率；

（2）已知接收的信号为0，求发送的信号为1的概率。

评析：两道题均以数字信号传输为背景，由教材例题中具体的数据传输概率值抽象成高考试题中数学符号，更具有一般性；由例题中一次传输到高考题目中三次传输，从简单到复杂，教材考查的全概率公式和条件概率，高考题目考查是事件之间的关系及其概率运算，显然让学生在相对熟悉的情境中解决实际问题，体现考试的公平性。同时高考试题来源于教材，促使学生学会读书，从教材中主动获取知识，有利于提高学生终身学习的能力。

(三)数学情境为学生提供了数学探究的空间

高考数学试题如何考查学生的思维能力和思维品质，设计具有一定广度、深度和开放性的问题情境是关键。

例7（新课标Ⅰ卷·11）：已知函数f（x）的定义域为R，f（xy）=y2f（x）+x2f（y），则（）.

A.f（0）=0 B.f（1）=0

C.f（x）是偶函数D.x=0为f（x）的极小值点

【解析】法1：利用赋值法，令x=y=0，f（0）=0f（0）+0f（0）=0，故A正确.

令x=y=1，f（1）=1 f（1）+1 f（1），则f（1）=0，故B正确.

令x=y=-1，f（1）= f（-1）+ f（-1）=2f（-1），则f（1）=0，

令y=-1，f（-x）=f（x）+x2f（-1）=f（x），又函数f（x）的定义域为R，所以f（x）为偶函数，故C正确，

对于D,不妨令f（x）=0，显然符合题设条件，此时f（x）无极值，通过举反例f（x）=0排除选项D.

另解为当x2y2≠0时，对f（xy）=y2f（x）+x2f（y）两边同时除以x2y2，得到，依据对数函数的运算性质及该函数的奇偶性，可构造特殊函数f（x）=，将抽象函数具体化，利用具体函数的图像排除选项D.

评析：本题以抽象函数的运算规律为问题情境，引导学生发现函数丰富的性质，首先能够正面论证和反例排除，就能考察出学生良好的思维品质和习惯。其次数学抽象是数学核心素养，但能将抽象的数学知识具体化和形象化更是高阶思维和创新能力的体现。

面对这样的高考数学试题，如何实现教考的良性互动，体现考试评价对教学的引导作用，跟上新高考改革的步伐，是一线教师亟待解决的问题。首先，实际教学要真正落实新课标理念，落实大单元教学，创设真实的问题情境，让学生体会数学的应用价值，揭示数学知识的内在联系，引导学生把握数学内容的本质[2]。要强调数学与生活以及其他学科的联系，培养学生的解题能力、解决问题的能力、实践和创新能力。其次，优化学生的学习方式，尤其是教会学生学会读书，回归教材，回归学科本质。学会读书，帮助学生发展可持续学习能力，形成终身学习的品质，达到学科育人的目的；回归教材要求教师要根据学生的认知基础和认知特点，将数学本质渗透给学生，帮助学生形成科学世界观和方法论，逐步内化为学科素养。最后，在实际教学中通过设计真实的问题情境和项目化学习等方式引导学生关注生活，关注现实，积极参加社会实践，引导学生运用所学数学知识解决社会生活中的实际问题，成为具有理想信念和社会责任感，敢于担当的时代新人。