辨析导数中的“会而不对，对而不全”

林成国

(山东省菏泽市定陶区第一中学)

导数是高中数学的重点内容,是求函数的单调区间、极值、最值以及零点问题的重要工具,学生在应用导数解决问题时,常常会因为遗漏函数的定义域、忽视隐含信息,以及对一些性质、定理的充分必要条件理解不清楚而造成错解.本文就导数应用中这些常见误区举例剖析,并提出警示,避免同类错误再次发生.

1 对函数的定义域考虑不全面

2 误判导函数的零点与函数极值点的关系

例2函数f(x)的定义域为R,且x0∈R,则“f′(x0)＝0”是“x＝x0为函数f(x)的极值点”的( ).

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

错解因对导函数的零点与函数极值点的关系不清楚而错选A,B或C.

辨析导函数的零点是使导数值为零的x值;极值点是函数取得极值的x值.若在导函数的零点两侧导数值异号,则该点也是函数的极值点,否则不是极值点.例如,f(x)＝x3,x＝0是其导函数的零点,但不是极值点.反之,x＝x0是函数f(x)的极值点,但f(x)在x＝x0不一定可导,例如,f(x)＝|x|,x＝0为其极值点,但f(x)＝|x|在x＝0处不可导,所以“f′(x0)＝0”是“x＝x0为函数f(x)的极值点”的既不充分也不必要条件,故选D.

3 混淆函数的极值与最值的关系

4 片面地理解曲线的切线问题

例4曲线f(x)＝x3－2x过点(1,－1)的切线方程为_______.

错解经检验,点(1,－1)在曲线f(x)＝x3－2x上,对函数求导得f′(x)＝3x2－2,所以切线的斜率k＝f′(1)＝3－2＝1,故过点(1,－1)的切线方程为y＋1＝x－1,即x－y－2＝0.

辨析曲线的切线问题有三种情况:第一种,所给的点为切点,求曲线“在”该点的切线方程,则该点的导数值即为切线的斜率;第二种,已知点在曲线上,求曲线“过”该点的切线方程,则该点可能是切点,也可能不是切点.第三种,已知点在曲线外,切线过该点.

本题属于第二种类型,正确的求法如下.

设切点的坐标为(m,m3－2m),对函数求导得f′(x)＝3x2－2,则切线的斜率k＝f′(m)＝3m2－2,故切线方程为y－(m3－2m)＝(3m2－2)(x－m).

又切线过点(1,－1),所以

5 忽视函数增减与导数符号的关系

例5若函数f(x)＝x3＋ax2＋2 在区间[1,＋∞)上单调递增,则实数a的取值范围是_______.

6 误用形的关系代替解析过程

例6已知f(x)＝xln(x＋1)－ax2.讨论函数f(x)的零点个数.

错解函数f(x)的定义域为(－1,＋∞),易知x＝0为函数f(x)的一个零点.由xln(x＋1)－ax2＝0,得x[ln(x＋1)－ax]＝0,接下来只要讨论g(x)＝ln(x＋1)－ax在(－1,＋∞)内的零点个数即可.

由ln(x＋1)－ax＝0,得ln(x＋1)＝ax,因此只需判断h(x)＝ln(x＋1)与y＝ax图像的交点个数.

对h(x)＝ln(x＋1)求导得h′(0)＝1,所以曲线h(x)在(0,0)处的切线斜率为1,切线方程为y＝x.

如图1所示,当a≤0或a＝1时,h(x)＝ln(x＋1)与y＝ax只有一个交点(0,0),则g(x)只有一个零点,即f(x)只有一个零点.

图1

当a＞1或0＜a＜1时,h(x)＝ln(x＋1)与y＝ax有两个交点,且其中一个为(0,0),所以g(x)有两个零点,即f(x)有两个零点.

辨析对于解答题,同学们不仅要计算出最后的结论,还得写出关键语句、主要步骤,提供严谨合理的说明,特别是在解题过程中不能出现以形代数的情况,即不能用图形关系来代替解析过程.

(完)