关注理性思维，检测核心素养——2023年数学新高考Ⅰ卷评析

沈新权(正高级教师 特级教师)

(浙江省嘉兴市第一中学)

1 命题方向

2023年是施行新高考的第四年,今年的数学新高考Ⅰ卷认真落实党的二十大精神,坚持立德树人,贯彻德智体美劳全面发展的教育方针,以助力“双减”政策的落地为导向,以《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》为命题指南,立足《中国高考评价体系》中“基础性、综合性、应用性和创新性”的命题要求,关注“新课标、新教材、新高考”要求的统一性,在考查必备知识、强化关键能力、关注理性思维、检测核心素养等方面下足了功夫,充分体现了“立德树人、服务选才、导向教学”这一高考的核心价值,助力教育高质量发展.

2 试卷特点

“服务选才”是高考的一大功能,2023年的数学新高考Ⅰ卷在确保考查高中数学必备知识的前提下,突出数学学科特色,凸显了对学生理性思维能力和数学关键能力的考查要求,整份试卷全面考查了数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数学分析这六大数学学科核心素养.

2.1 注重基础，考查必备知识

2023年的数学新高考Ⅰ卷注重考查高中数学的必备知识,注重考查高中数学的概念、公式、定理,考查高中数学中的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验.试卷重点考查了《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》中的八大主干知识:函数、导数、三角函数、数列、立体几何、解析几何、排列组合与概率统计.其中函数与导数占27分,解析几何占27分,立体几何占22分,计数原理与概率统计占22分,三角函数占20分,数列占17分.同时,试卷也注重了知识点的覆盖率,集合、平面向量与复数这三部分内容各占5分.

2023年数学新高考Ⅰ卷具体考查内容如表1所示.其中不少试题堪称经典,下文举例进行分析与说明.

表1

例1(第9 题,多选题)有一组样本数据x1,x2,…,x6,其中x1是最小值,x6是最大值,则( ).

A.x2,x3,x4,x5的平均数等于x1,x2,…,x6的平均数

B.x2,x3,x4,x5的中位数等于x1,x2,…,x6的中位数

C.x2,x3,x4,x5的标准差不小于x1,x2,…,x6的标准差

D.x2,x3,x4,x5的极差不大于x1,x2,…,x6的极差

分析本题以多选题的形式考查了样本平均数、中位数、标准差、极差这些基本数字特征.如果学生对这些基本数字特征缺乏深刻的理解,要想得到正确的答案BD 也不是一件容易的事情.该试题在考查基础知识的同时充分注重了对数学概念本质理解的考查.

2.2 突出重点，强化关键能力

《中国高考评价体系》指出:“关键能力是指即将进入高等学校的学习者在面对与学科相关的生活实践或学习探索问题情境时,高质量地认识问题、分析问题、解决问题所必须具备的能力.”

试卷中的第4题、第11题、第12题、第16题、第19题等均以重点与主干知识(函数与导数、解析几何、立体几何等)构建试题的主体,这些试题既重视对高中数学通性通法的考查,又意在强化对信息识别与加工、逻辑推理与论证、科学探究与思维建模、语言组织与表达、独立思考与质疑(提出问题、开放作答、合理论证)、批判性思维等关键能力的考查,意味深远.

例2(第12题,多选题)下列物体中,能够被整体放入棱长为1m 的正方体容器(容器壁厚度忽略不计)内的有( ).

A.直径为0.99m 的球体

B.所有棱长均为1.4m 的四面体

C.底面直径为0.01m,高为1.8m 的圆柱体

D.底面直径为1.2m,高为0.01m 的圆柱体

分析本题以正方体为载体,考查学生的空间想象能力和逻辑思维能力,检测直观想象、逻辑推理、数学运算等学科核心素养.要想快速正确地解决本题,需要解决几何体能否被整体放入正方体的“主要矛盾”.

对于选项A,由于正方体内切球的直径为1m,故A 正确.

对于选项B,由于正方体内部最大的正四面体的棱长是面对角线,长度为,故B正确.

对于选项C,圆柱体的底面直径为0.01m,高为1.8m,因为正方体最远的两个顶点间的距离为体对角线,长为,故C错误.

对于选项D,关键要看直径为1.2m 的圆能否与正方体的某个截面相切,当然这样的截面越“大”越好.可以考虑由正方体所有棱的中点构成的正六边形EFGHIJ的截面,其棱长为其内切圆直径为

综上,选ABD.

2.3 强调探究，关注理性思维

试卷中不少探究性试题不落俗套,体现了新课程教学中重视学生在数学探究中学习知识、体验过程、培育能力、发展素养的崭新教学理念.

例3(第7题)记Sn为数列{an}的前n项和,设甲:{an}为等差数列;乙:为等差数列,则( ).

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

分析本题以等差数列的判断为载体考查充分必要条件的概念,考查学生在掌握等差数列定义和通项公式的基础上,理解前n项和公式并进行推理与计算的能力.解决问题的关键在于准确理解等差数列的判断方法.

还有第11题、第16题、第21题、第22题等试题都突出对理性思维的考查,把对重要的数学思想(如数形结合思想、分类讨论思想、函数与方程思想、转化与化归思想以及特殊与一般的思想)的考查等统一到理性思维的主线上来.

2.4 揭示本质，检测核心素养

试卷中的不少试题紧扣学科本质,这些试题的思维入口宽,解题途径多样,如果学生掌握了这些问题的数学本质,可提高解题效率,缩短解题时间.

例4(第15 题)已知函数f(x)＝cosωx－1(ω＞0)在区间[0,2π]有且仅有3个零点,则ω的取值范围是__________.

分析因为x∈[0,2π],且ω＞0,所以ωx∈[0,2ωπ],令f(x)＝cosωx－1＝0,则cosωx＝1有3个根,结合余弦函数的图像可知4π≤2ωπ＜6π,解得2≤ω＜3.

此解法本质在于通过整体换元,把问题等价地转化为g(x)＝cosx－1的零点个数.

例5(第22题)在平面直角坐标系xOy中,点P到x轴的距离等于点P到点的距离,记动点P的轨迹为W.

(1)求W的方程;

还有第17题,以同角三角函数基本关系、正弦定理、解三角形等三角函数内容为背景,重点考查学生的数学运算素养.在解题时,学生如果眉毛胡子一把抓,没有选择合适的边角关系加以突破,则容易使得解题过程过于烦琐,影响对后续问题的解决.

再如第20题貌似是一道很平常的数列题,但如果没有抓住等差数列的通项是关于正自然数n的一次函数这一本质,将大大消耗学生在考场上的时间.

2.5 联系实际，体现数学应用

为了考查学生分析、解决实际问题所必须具备的关键能力,2023年的数学新高考Ⅰ卷,设计了系列有实际背景的生活实践情境问题,如第9题、第10题、第13题、第21题等.这些试题不仅可以很好地考查学生的数学应用意识,还可以考查学生对新概念、新知识的理解和迁移能力,以此渗透数学文化.

例6(第10题,多选题)噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱,定义声压级其中常数p0(p0＞0)是听觉下限阈值,p是实际声压.表2为不同声源的声压级.

已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m 处测得实际声压分别为p1,p2,p3,则( ).

A.p1≥p2B.p2＞10p3

C.p3＝100p0D.p1≤100p2

由①和②知p2≤p1,由③知p3＝100p0,由②×100,结合①得p1≤100p2,由②和③知10p3＝103p0≥p2.

综上,选ACD.

这是一道利用对数函数研究噪声声压水平的高考试题,该题不仅考查学生的阅读理解能力,还全面考查了对数及其运算的基础知识.类似这样的试题情境既有现实意义,也较好地体现了数学学科的应用价值.

3 教学启示

虽然新高考已经实施四年了,但在我们日常的教学中依旧存在着“穿新鞋,走老路”的现象,比如“三年课程,一年半完成”的速成教学法、“疯狂刷题”的题海战术法、“大量补充不讲道理的高等数学结论”的二级结论死记硬背法等不良教学风气充斥在高中数学教育中,这些做法不仅加重了学生的学习负担,更严重的是削弱了学生学习数学的兴趣与积极性.

“导向教学”是高考的核心价值,因此,研究高考数学的命题方向和命题特点的目的之一就是更好地改进教学,更好地实现高中数学的教学价值.

2023年的数学新高考Ⅰ卷至少可以给我们带来三点教学启示.

1)把握高中数学主线,构建知识间的联系

把高中数学内容构建成既有联系又有区别的“预备知识、函数、几何与代数、概率与统计、数学建模活动与数学探究活动”这五个主题是新课标的一大亮点.在教学中,我们要引导学生感悟并理解这五个主题知识间的关联,在加强对高中数学整体性理解的基础上,构筑科学规范的高中数学知识网络体系.

在教学中,教师既要有大单元教学设计的格局,又要有微专题研究的底气,由大及小,以小见大,让学生既见树木,又见森林.

2)重视问题本质的研究,实施深度教学

加拿大西盟菲莎大学艾根教授领衔的“深度学习”项目组所进行的研究表明,知识学习的充分广度、知识学习的充分深度和知识学习的充分关联度是深度学习的核心理念,学生的深度学习,离不开教师的深度学习,因此学生深度学习的“深度”是建立在教师完整、深刻地呈现数学本质的基础之上的.

在实施深度教学的过程中,教师要研究并把握数学知识产生与发展过程中所蕴含的数学思想,并把它们贯穿到日常教学中;要重视研究数学的核心概念、公式、定理和问题的本质,并能够从高等数学的角度和观点去理解高中数学知识所蕴含的数学思想与本质,引导学生养成“居高临下”思考问题的习惯.

深度学习,本质理解,应成为我们每一堂数学课的教学追求.

3)既要重视教,更要重视学,促进学生学会学习

学生在学校接受教育的时间是有限的,如何在有限的时间内,让学生享受到学校教学的魅力? 那就是有限的学校教学所带给他的无限的发展可能性.因此,我们的高中数学教学除了引领学生掌握其成长过程中所必备的知识和关键能力,更重要的一项任务是要促进学生学会学习.

促进学生学会学习,需要我们在传统的教学方式的基础之上,探索多样化的课堂教学方式:如何培养学生的独立思考能力? 如何培养学生自主探索、合作交流等意识? 如何丰富校本作业的形式,提高作业的质量,提升学生完成作业的自主性和有效性?

促进学生学会学习,需要教师改进教学方式,教师要善于抓住关键的教学与学习环节,根据不同的教学内容和学习任务采用不同的教学方式,优化教学,增强教学的实效.

(完)