受激拉曼散射系统的时间模式特性研究

卢 晨,于志飞,焦高锋,陈丽清,袁春华

（华东师范大学 物理与电子科学学院,上海 200241）

0 引言

时间模式(temporal modes)是一组正交的波包模式[1],可用来表征时域多模量子光场.时间模式作为光的一个自由度,也可作为基矢构建一个无穷维的希尔伯特空间,使之为量子系统的描述提供一个可选择的理论框架[2].此外,时间模式已被用于描述各种非线性光学过程,如受激拉曼散射[3]、自发参量下转换[4]和超荧光[5]等;而且实验上可以实现对时间模式的操纵、转换、多分复用和探测[2].因此,时间模式在量子存储[6-7]、量子信息处理[1]和量子成像等方面具有重要的研究意义及深远的应用潜力.

1989 年,Raymer 等[8]在理论上研究了受激拉曼散射(stimulated Raman scattering,SRS)系统中斯托克斯(Stokes)光场的时间模式结构,并解释了SRS 线性区域光脉冲强度的时域量子涨落特性.近几年,针对时间模式的研究主要是围绕非线性光学频率转化[9]、模式探测[10-11]、量子信息编码[12-13]及优化系统噪声应用[14]等方面展开.Silberhorn 和Brecht 研究小组在波导中利用非线性参量下转换和量子脉冲门[15-16]技术,产生各种光量子态,控制光子对的时间模式结构,精确测量了复杂的时间波形,并实现了高保真度的时间模式量子层析和纯化[17-19],且在一定的时/频模式叠加范围内实现了远程状态投影[20];Li Xiaoying 课题组在光纤脉冲泵浦系统中,对光子对的联合频谱函数做奇异值分解得到了独立时间模式的形式[21],同时分析了连续变量的时间复用多维量子纠缠特性[22],并在理论上利用交叉迭代反馈方法分析了光纤非线性系统的时间模式,且首次在实验上利用此方案直接测量得到了时间模式[23-24];Michael G.Raymer 课题组在理论和实验上研究了非线性光学波导中量子频率转换对时间模式的选择性[13],以及时域波形的时序翻转[25];Feng 等[14]在实验上实现了利用时间波形优化过的种子光,使SRS 过程中产生的信号光的强度噪声减小,这一结果有助于提高基于光−原子系统的精密测量的精度.还有研究者指出,在量子存储中,当入射光场的时域波形与存储介质本身的特征属性相匹配时,量子存储的性能达到最佳[7].另外,对于多时间模式量子存储的相关研究也已取得重大的进展,如Guo Guangcan 团队实现了确定性单光子 100 个时间模式的量子存储[26].在其他研究领域,如Patera 等[27]将时域本征模式引入量子时域成像进行分析,说明了量子时域成像的多模特性.然而已有的研究关注的几乎都是在系统中引入光场时间模式这一概念,并对所得的研究结果进行分析和解释,缺乏直接针对光场时间模式的特性进行的研究.因此开展这方面的研究就非常有必要.

本文基于Stokes 种子光诱导的连续迭代SRS 模型,研究了SRS 系统中输出光场的时域波形在迭代过程中的演化以及时间模式特性.首先,根据迭代受激系统模型的光场表达式,数值研究了时域波形在连续迭代SRS 系统中的演化特性,得到不同波形种子光注入通过迭代会得到相同的稳定波形输出,而输出光场波形和时间带宽均依赖于泵浦光场,此结论和文献[14]中的实验结果一致;然后,根据光场的双时量子一阶关联函数,并利用数值模拟进一步分析了稳定输出的Stokes 光场时间模式特性.

1 迭代受激拉曼散射模型

图1 迭代受激拉曼散射模型和时间模式分解图Fig.1 Schematic representation of iterative stimulated Raman scattering model and temporal mode decomposition

首先回顾 Λ 型三能级原子系综的拉曼散射(Raman scattering,RS)理论[28].在偶极近似下一维原子演化的耦合运动方程可以写为

其中κ1=dmedeg(1/Δ+1/(Δ+ωL+ωS)) 为光与原子耦合系数.当光场频率与高激发态能级存在失谐Δ,则可绝热消去高激发态|m〉,即初始原子均近似处于基态|g〉,则σgg(0)=1 .将原子慢变算符表示为

即为原子自旋波算符.那么式(2)将变为

接下来考虑Stokes 光场的传播特性,其遵循Maxwell-Bloch 方程

其中c为光速.通过计算原子极化强度,将频率在ωS附近的项保留,则得到一维慢变包络近似下光场的脉冲传播方程

结合式(4)和式(6),并利用时间变换τ=t-z/c,可得

利用Laplace 变换求解微分方程组式(7)和式(8),可以得到

计算得到,其中,A为原子池的横截面积.计算时,先对空间进行积分,并利用算符的对易关系

其中ρ=AN表示原子密度,N为原子数.通过积分可得到在原子系综末端(z=l)的输出光强

Stokes 光场强度表达式(式(12))中,等号右侧第一项和第四项均来源于注入的种子光场,第二项和第三项则分别来源于原子自旋波以及真空噪声.

2 Stokes 光场时域波形演化

每次迭代都经历受激拉曼过程,将前一次输出的Stokes 光场作为下一次受激拉曼过程的输入种子,受激放大后的Stokes 光场为

式(14)中:n表示迭代次数;0 和l分别代表原子系统的输入端和输出端.

从Stokes 光场强度的表达式(式(12))出发,通过数值计算时域波形的演化,分析输出的Stokes光场在连续迭代SRS 系统中的时域特性.首先固定泵浦脉冲波形为单峰高斯,然后注入不同波形的多峰高斯种子光场,分别进行迭代.图2 分别展示了5 种不同的高斯种子波形,即单峰、双峰、3 峰、4 峰、5 峰结构的种子波形注入SRS 系统进行迭代后的时域演化结果(时域、光场强度随时间(t)演化的结果),其中,所展示的时域波形为中间迭代过程所截取的部分,分别为第1 次,第3 次,第5 次,···,第21 次迭代后输出的归一化波形(图中波形变化的情况均为无量纲化的结果,后续图亦如此).可以看到,图2(a)输出的波形随着迭代次数增加一直是单峰高斯波形;图2(b)—(e)初始为多峰高斯种子光场,随着迭代次数的增加,输出的Stokes 光场从初始的多峰波形逐渐变为单峰高斯波形,与图2(a)一样最终都演化为稳定的单峰型高斯波形.需要注意的是,当改变系统的参数时,达到稳定波形所需要的迭代次数也是变化的,如减小泵浦光强即减小系统增益系数,收敛所需的迭代次数会增加.

图2 注入5 种不同波形的高斯种子光场,归一化的时域强度波形迭代演化Fig.2 Gaussian seed light fields injected with five different waveforms,the iterative evolution of normalized temporal intensity waveforms

图3 展示的是5 种不同的高斯种子波形注入得到的第21 次迭代的输出结果: 图3(a)为未归一化波形对比,反映了迭代后具体的光场是有区别的,区别在于其迭代的峰值不同;图3(b)为归一化波形对比,很明显它们迭代收敛后的单峰型高斯波形几乎重叠,即无论输入的种子波形如何,迭代之后的输出均会收敛于同种波形.

图3 注入5 种不同波形的高斯种子光场经过迭代后最终输出的稳定波形对比Fig.3 Gaussian seed light fields with the final stable output waveform in contrast to the Gaussian seed light field injected with 5 different waveforms after iterations

进一步考虑,改变种子光场的脉冲半高全宽,在固定泵浦脉冲波形为单峰高斯的基础上,变化图2(a)中种子光场的半高全宽,从原来的τ0变为 0.1τ0、0.2τ0、5τ0、1 0τ0,结果如图4 所示.输入5 种不同时间半高全宽的高斯种子光场,归一化收敛波形的半高全宽均相同,且波形重叠.

图4 注入5 种时间半高全宽的高斯种子,迭代后最终输出的归一化稳定波形Fig.4 Gaussian seed light fields with five different seed fields with full widths at half maximum,and the normalized intensity of the final output stable waveform after iterations

图5 注入泵浦光场波形和3 种不同泵浦光场波形驱动情形下,注入5 种不同的种子光迭代输出的归一化波形对比Fig.5 The input pump waveforms and in cases of three pump waveform,the normalized intensity contrast of the final output stable waveform after iterations

图6 注入3 种不同时间半高全宽的泵浦光场，迭代后最终输出的稳定波形的光场强度波形归一化对比Fig.6 The pump light fields for three different full widths injected at half maximum,the normalized light field intensity contrast of the final output stable waveform after iterations

本章所研究的迭代SRS 模型是针对具体物理系统—SRS 系统,实现了对输出Stokes 光场波形的非线性迭代求解.当泵浦场和原子系统参数确定下来,拉曼系统的最终解形式就是确定的,但是理论和实验上想直接找到这个解的精确形式很困难,可以通过种子光迭代的方式逐步逼近找到系统最终解.初始注入的种子光可看作迭代求解器的试探解,最终输出的稳定波形就是该系统通过迭代求解器得到的最终解.所以不同波形种子光注入通过迭代会得到相同的稳定波形输出,而输出光场波形和时间带宽均依赖于泵浦光场,此结论验证了Feng 等[14]的实验.

3 Stokes 光场时域波形的模式分解

第2 章数值模拟给出了迭代输出Stokes 光场的时域波形的演化.为了进一步解释上述时域波形收敛的结果,本文采用光场时域施密特(Schmidt)模式分解的方法来阐述说明.在参量下转换的时间模式理论中,通过对双子联合频谱函数进行奇异值分解以获得信号光和闲频光的模式函数形式,而Stokes 光场的施密特模式分解过程与其过程具有物理等价性[29].因此,Stokes 光场时间模式函数的具体形式可以对其双时量子一阶关联函数进行施密特模式分解而确定.

利用Karhunen-Loeve 理论[8],将Stokes 光场算符用一组完备的正交基矢ψi(τ) 展开

做数值计算时,选取有限的时间参数T使积分收敛.根据式(9)给出的Stokes 光场的解,计算得到双时量子一阶关联函数为

采用施密特模式分解法,将式(16)离散化,此积分方程即转化为求解量子一阶关联函数的本征值及其本征矢的问题.

将迭代后输出的光场进行模式分解,所得结果如图7 所示,其中,图7(a)—(d)所示是时间模式的前4阶的模式函数,图7(e)和图7(f)给出了前4 阶相应的本征值占比图7(e)是图2(b)中迭代3 次后输出光场的时间模式分解的本征值占比,可以得到,本征值分布在前3 阶.图7(f)是对图2中最终输出稳定波形的本征值占比,很明显出现了与图7(e)不同的情形,本征值几乎全部集中在基模,这进一步说明了SRS 过程中输出的Stokes 光场是多模光场且存在模式竞争,多次迭代类似于腔场振荡,最后稳定于基模.

图7 前4 阶时间模式函数 ψ0,ψ1,ψ2,ψ3 ;迭代3 次和迭代21 次后光场时间模式分解的本征值占比Fig.7 First four orders of the temporal mode ψ0,ψ1,ψ2,ψ3 ;the eigenvalue ratio of the light field temporal mode decomposition of three iterations and twenty-one iterations

4 结论

本文研究了迭代受激拉曼散射系统的输出光场时间模式特性.在固定泵浦光场的时域波形为高斯或超高斯情形下,针对不同波形的种子光场注入,经过迭代之后系统输出稳定的时域波形.结果表明: 当泵浦光波形为确定半高全宽的高斯或超高斯时,无论种子光场波形如何变化,输出Stokes 光场的时域波形最终均收敛为同一种波形,输出的稳定波形的时间半高全宽依赖于泵浦光场.然后将输出的Stokes 光场的时间模式分解后,所得本征值占比最大的模式的占比趋近于1.

本文依据迭代系统,从理论上解释了受激拉曼散射系统中存在时间模式竞争效应,并且证实了系统迭代的收敛性,还说明了系统本征时间模式依赖于驱动的泵浦光场.此方案的结果对于非线性受激系统的实验研究具有重要参考价值.