数据时代下以关联视角解码“图言图语”

武捷

摘   要：站在儿童的视角用数学的眼光发现数学本质，用数学的方式表达信息是大数据时代全面发展的人所需要的重要素养之一。学会从数据关联性的角度分析、表达真实的数学世界是育人导向的需求。由苏教版五年级下的一道习题的辨析展开，分析和发展学生多重信息的解码路径。通过紧扣生长点，丰富数学表达之路径；拓宽阅读空间，延展数学信息获取之渠道；明晰分层优化，渗透数学思想方法三个方面帮助学生建立形与数的联系，构建数学问题的直观模型，发展学生的几何直观、数据意识，明晰思维的路径。

关键词：小学数学；数学信息；图形语言；关联视角

中图分类号：G623.5   文献标识码：A   文章编号：1009-010X（2023）16-0019-04

坚守儿童的立场，用数学的眼光发现数学本质，用数学的方式表达信息，这是大数据环境下，全面发展的人所需具备的重要素养之一。“折线”作为表达信息一种表征方式，背后蕴藏着丰富而多维的信息视角，学会从数据关联性的角度分析、表达真实的数学世界是育人导向的需求。小学的统计图、运行图等都包含着浓浓的数据变化中的规律，信息的表达多元而简明，借由“折线”展开的深入思考，是发展学生数学眼光和数学表达的重要渠道之一。

小学多版本教材在第三学段都不约而同地安排了有关“折线”的教学，折线不仅仅是统计学中的表征形式，更是表达事物发展规律的有利途径，用思辨的角度纵观“折线”教学，以儿童的视角审视，折线的背后还藏着哪些神秘？由苏教版五年级下册整理与复习版块的一道练习题（图1）想起，从辨明问题本质的关联中思考儿童信息编码的路径。

习题位于五下总复习版块应用广角部分，也是全册教材的最后一道习题，在教学中学生和教师都存在疑问：这个内容属于哪个领域？对应的知识框架是什么？是折线统计图吗？关于这个问题的理解呈现出差异性。一方面认为：从本册内容整体性上观察分析，与本练习知识上有关联的仅可能是折线统计图，但细细分析本题的内容实质体现的与统计还有较大差异。经过比对苏教版十二册教材内容，此处之外教材中再没有出现类似的问题，六年级“正比例的图象”一课时中出现了与行程、高度等相关的图象问题，但相关联的量都呈现了单一的成正比的关系，没有出现更复杂的变化。直到六年级下册总复习也未曾出现过与本题相似的问题，那么与此相关的信息处理到底应对接到哪个内容板块才更为合适？在教学中，以这道题为索引的一类问题学生在反馈中表现出较多困难，“折线”所表示的具体含义解读不顺畅，如何突破当下的现状？

一、明晰：厘清内容实质的阶段性与差异性

苏教版数学在“统计与概率”版块从四年级开始安排了统计图表的正式学习，重点围绕条形统计图、折線统计图和扇形统计图三大类型展开研究。除此之外，在六年级下学期开始了正比例的探讨，其中包括了正比例图象的学习。要定位好本题的内容、作用和价值，需要将小学相关内容进行整体性的思考。

在核心素养导向的《义务教育数学课程标准》要求下，从整体性、一致性、阶段性的视角出发，将内容前后可能相关联的知识进行比较、明晰差异（表）。

在统计学中，利用统计图形表现统计资料，能够体现简明生动、形象具体等特点，统计图能很清晰地表示现象间的对比、依存关系，反映空间上的分布情况。借助直角坐标系来表达量的变化情况是其中的一种形式。

小学阶段研究的正比例是量的伴随性变化中的初始模型，也是相关数学思想的渗透，正比例形成的图象是一条经过原点的直线。案例中表达的信息是统计图还是更复杂的量的变化关系？有必要进行深入地思考与研究。

苏教版小学数学教材“折线统计图和比例图象”相关内容的不同要求

折线统计图与正比例图象有一定的相似性：两者都是线形图，虽然对应的内容本质不同，但外显的形式很相似，容易产生混淆。此外，两者都可以表示两个变量间的对应关系，在动态的折线统计图中统计数据与对应时间会产生变化的对应关系。成正比例的两个量也会因一个量变化导致另一个量随之发生变化。

折线统计图与正比例图象也有着显著的差异性：两者属于不同领域的知识，折线统计图属于统计领域知识，通过将统计数据随时间的变化进行描点连线，以此判断数据变化的趋势；正比例图象属于代数领域，它形成的图象直观地表示量的变化过程，便于解决问题。

上述的关系在日常教学过程中，师生们会形成一种个人的体验和感悟，比较容易产生疑义的是两者根本上的差异。比例图象上的每一个点都有确定的意义，它表示着一组对应的取值，因此比例图象所表达出的是连续量之间的关系。而折线统计图则不然，统计图上只有数据调查得到的点才是真实存在的，这些点表示统计对象的真实取值；而中间连线上的点不一定表示统计对象的真实数据，在两个时刻之间没有任何调查的支持，它只是一种模拟的、可能的数据。因此，虽然数据实际也是连续的，例如每隔一段时间测量体温，温度本身是连续存在的，但统计得到的数据有时间间隔，因此它是离散的，折线统计图表面上看线段间是连续的，实际上是离散的，它只表示一种趋势。

由此看来，案例中的问题表达的是一组连续量之间的关系，在小学阶段展开表达式（数据）与图象之间的切换，有助于体现数与形的紧密勾联，以运动的视角研究量之间的关联变化。

二、关联：结构化视角下多版本的整体关照

实际上，将连续的量借由图象来描述数据变化，在各个版本教材中都或多或少关注到。人教版六年级上册的数学广角——数与形中安排一道行程问题的练习题（图2），虽然它与苏教版都是借助习题的形式呈现了此类问题模型，但对应的知识维度和能力维度不完全相同。浙教版和北师大版安排了专门的例题学习，浙教版在五年级下册安排了“运行图”（图3），北师大版在六年级上册的“数学好玩”版块编排了汽车行驶速度情境和足球场内的声音情境，展开了更为系统的学习研究。

图2

学生需要以动态的视角，关联数与形间的切换，打开数学思维的通道，将数据的理解与生活现实联结，这需要教师有意识地挖掘素材、启发思路。

三、路径：促进数学信息的双向解码，诱发思辨、积淀素养

大数据时代，读懂、读透数据背后的含义是学生素养生长所需要具有的重要能力。将数据的精确性与图形的直观性深度融合，有利于学生简化思维逻辑、发现和揭示问题的本质；建立形與数的联系，构建数学问题的直观模型，有助于发展几何直观、数据意识，明晰思维的路径，探索解决问题的思路。

（一）紧扣生长点，丰富数学表达之路径

在当下的教学中教师要关注学生的多元表征，丰富外显思维表达的路径，接下来的实践探究中，教师可以适应真实情境和社会发展，扩充数学表达的多维触角，抓住知识的生长空间。将事物发展过程中两个伴随量的变化用图表动态呈现出来是数学表达的一种形式，以线段图作为发展的基石，让学生在具体问题中体会量之间的变化规律，进而借助常见的生活话题，例如上学、放学等情境，感受路程不变、交通方式的不同带来的时间、速度的变化，理解线段背后的具体含义，逐步养成用数据说话→观数据变化→话事物规律这一习惯与能力，在不同模块的知识学习中感悟思想和方法的渗透，将问题解决、思维拓展和进阶学习有效融通。

（二）拓宽阅读空间，延展数学信息获取之渠道

数学信息的获取能力与数学阅读能力存在较高关联性，学生缺乏对信息的提取、对文本的加工能力，不能将信息转换为自己可以理解的思维逻辑，这些都将影响他们数学阅读能力的提升。案例中将数据信息蕴藏在线段表征下的变化过程当中，需要学生主动形成解读信息的意识，并与生活现实产生对应关照。要想发展学生核心素养背景下的数学阅读能力，教师可以有意识地给学生提供形式丰富的素材，例如文本语段、表格信息、对话场景等，于文字语言、符号语言、图示语言不同形式的表达中抽取关键要素，进行有意义的理解，正如加涅的信息加工学习理论所描述的“选择性知觉”，学生的识码过程需要有经验的卷入和深度的知觉。综上，面对生活中多种类、多维度的信息，学生需要在大视界的阅读空间下，建构自我的创造性理解。

（三）明晰分层优化，渗透数学思想方法之根本

教师要在教学中努力地实现“问题解决”，而不是“解决问题”，正视学生的差异性发展，在此基础上将数学思想潜在的价值不同程度地挖掘出来，设计不同层次的拓展话题，促进学生个性化的成长。在形与数的切换过程中拓宽对“形”外延的认识，从静态图到运行图，从量的一维表达到多个量的关联发展，再到由图发展而来的对信息、事件的猜测、推理，这中间层层递进。教学组织中教师可以设计更多开放空间的话题，让不同层次的学生都能参与其中，以学业质量的要求为核心，进行问题的解决和探究。例如可以对图4话题进行改编，直接借由读图来获取信息，增加变化过程的真实性和故事性，对不同层次的学生提出不同的要求。水平一的学生可以看图描述每一段所表达的含义；水平二的学生根据信息解决速度相关的实际问题；水平三的学生根据图上信息，编写A同学这一路发生的故事，也可以要求学生仿照这样的形式，表达一组自己身边关联量的变化过程，例如一场运动会上自己体温的变化情况等，观察从图中读出哪一段在正式比赛、哪一段在看比赛、推测看比赛时为什么体温有波动等实际问题，逐步培养用图来说话的能力。这样的安排，能力的维度从单点结构走向关联结构，对数据分析、几何直观、推理意识素养的逐步提升都很有帮助。

图4  路程与时间关系的运行图

数学源于对现实世界的抽象，让学生用数学的眼光观察自我的数学成长，用数学的思维认识、理解和表达现实世界的本质、关系和规律。以思辨的内容、开放的问题作为学生高阶思维的发展路径。

参考文献：

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