证明两直线互相垂直的几种思路

姜晓玲

【摘要】两条直线相互垂直属于两条直线之间的一种特殊位置关系，求证两直线互相垂直也是初中几何证明题中较为常见的一种问题，需要学生充分理解直线位置的相关知识点，同时也需要有一定的平面与空间想象能力，针对不同的题型，灵活运用不同技巧.

【关键词】直线；垂直；初中数学

证明两直线互相垂直，也就是证明两直线之间形成的夹角为90°，能够直接证明两直线垂直的定理往往不是很多，故在解题时需要分析具体的题目，运用各类知识点进行转化，证明两直线形成了90°夹角，即两直线互相垂直.

1利用三角形的高线交于一点

经过学习可知：三角形的三条高交于同一点，在解题时，若给出的三角形内部的线有两条为三角形的高，并且第三条线连接三角形的端点和两条高线的交点，就能够判断该线即为三角形的另一条高，即可以找到两直线垂直.

例1将两个含有30°角的直角三角板，如图1摆放，点D在BC上，连接BE、AD，AD的延长线交BE于点F，问AF与BE是否相互垂直，并说明原因.

解如图1，延长ED交AB于点G，因为∠DEC=30°，∠CAB=60°，

所以∠AGE=90°，

所以EG是三角形ABE的一条高，而BC也是三角形ABE的另外一条高，所以点D是三角形ABE高的交点，又因为AF经过点D，所以AF⊥BE.

对于三角形ABE来说，BC是一条高，延长ED交AB于点G，EG是三角形ABE的另一条高.又因为三角形的三条高均交于同一点，就可以找到第三条高AF，所以可以得到两直线AF、BE相互垂直.

2利用相似三角形证明

当所给的图形中存在着含有直角的三角形时，就需要找两直线的部分线段所在的三角形是否存在与直角三角形相似的情况，若存在，就可以利用相似三角形来证明这两条线段互相垂直.

例2如图2，P，Q分别是正方形ABCD的边AB、BC上的点，且BP=BQ，过点B作PC的垂线，垂足为H，求证：DH⊥HQ.

本题巧妙地借助了三角形相似的知识点证明两直线垂直，遇到此类题目，学生往往可以从需求的目标来倒推想要的条件，通过证得条件来一步步证得直线垂直.

3证明两条直线相交所成的邻补角相等

邻补角为两条直线相交后得到一个公共顶点且有一条公共边的两个角，由于邻补角的和为180°，当邻补角相等时，两个角就均为90°，即两条直线是垂直的，所以在证明两直线相互垂直时就可以运用邻补角知识.

4利用等腰三角形性质

等腰三角形有一个很明显的特征，就是底边的高、底边的中线、顶角的角平分线三线合一，故有时在遇到等腰三角形时，就可以利用三线合一的性质加上其他的条件从而帮助解题.

例4如图4所示，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點D是BC边上的一点，EC⊥BC，EC=BD，点F是DE的中点，求证：AF⊥DE.

解连接AD、AE.因为∠BAC=90°，AB=AC，所以∠B=∠ACB=45°，所以∠ACE=90°－∠ACB=45°=∠B，又因为AB=AC，BD=CE，所以△ABD≌△ACE，所以AD=AE，又因为DF=FE，所以AF⊥DE.

首先通过题目给出的条件，就可以判断△ABC是一个等腰直角三角形，再利用条件证得△ABD≌△ACE，从而可得AD=AE，最后根据等腰三角形的性质就能够解决该类问题.

5结语

证明两条直线互相垂直始终都离不开垂直的定义，也就是证明其中有直角，针对不同的问题与条件要善于运用不同的知识点，寻找有效的转化方法，从而合理并快速地解决问题.