思维发散，链接高考，变式拓展

吴海波

摘要：抽象函数的求值问题，是近年新高考数学试卷中的一个热点与难点，需要结合函数的基本性质（包括奇偶性、单调性、周期性等），进而借助逻辑推理与数学运算来综合归纳与求解.本文结合一道模拟卷中抽象函数求值题实例，进行思维发散展开，巧妙高考链接，合理变式拓展，技巧方法总结，引领并指导数学教学与复习备考.

关键词：抽象函数；基本性质；周期；特殊；变式

抽象函数是在基本初等函数的基础上的升华，是基于基本初等函数且合理交汇函数的概念、基本性质、解析式以及图象等众多的相关知识，同时融合其他相关知识与思想方法的一个重要知识点.抽象函数及其相关基本性质问题是近年高考中的一类常见题型，合理升华知识，巧妙知识融合，吻合高考命题的指导精神.

1问题呈现

问题：（2022—2023学年江苏省南京市高三（上）学情调研数学试卷（9月份）·8）已知函数f（x），任意x，y∈R，满足f（x+y）f（x-y）=f2（x）-f2（y），且f（1）=2，f（2）=0，则f（1）+f（2）+…+f（90）=（）

A. -2

B. 0

C. 2

D. 4

此题是一道与抽象函数的基本性质相关的问题，此类问题是近年新高考中的一个热点问题，主要考查抽象函数的基本性质及其应用.

解决此类问题的一般思路有两种：（1） 特值法；（2） 函数的基本性质法：对称性、周期性等.

2问题破解

2.1思维视角1：函数基本性质思维

方法1：（函数基本性质——奇偶讨论法1）

解析：由于f（x+y）f（x-y）=f2（x）-f2（y），

令x=2，y=1，可得f（3）f（1）=f2（2）-f2（1），结合f（1）=2，f（2）=0，解得f（3）=-2，

令y=2，可得f（x+2）f（x-2）=f2（x）-f2（2）=f2（x），结合f（1）=2，f（3）=-2，可得f（5）=2，f（7）=-2，…，f（2n-1）=（-1）n-1×2，n∈N*，

令y=1，可得f（x+1）f（x-1）=f2（x）-f2（1）=f2（x）-4，令x=2n，n∈N*，可得f2（2n）=f（2n+1）f（2n-1）+4=0，解得f（2）=f（4）=…=f（2n）=0，n∈N*，

所以f（1）+f（2）+…+f（90）=2+0+（-2）+0+…+2+0=2，

故选择答案：C.

方法2：（函数基本性质——奇偶讨论法2）

解析：由于f（x+y）f（x-y）=f2（x）-f2（y），f（1）=2，f（2）=0，

令x=2，y=1，可得f（3）f（1）=f2（2）-f2（1），解得f（3）=-2，

令x=3，y=2，可得f（5）f（1）=f2（3）-f2（2），解得f（5）=2，

令y=2，可得f（x+2）f（x-2）=f2（x）-f2（2）=f2（x），可得f（7）=-2，f（9）=2，…，f（2n-1）=（-1）n-1×2，n∈N*，

令x=3，y=1，可得f（4）f（2）=f2（3）-f2（1）=0，①

令x=4，y=2，可得f（6）f（2）=f2（4）-f2（2）=f2（4），②

令x=5，y=1，可得f（6）f（4）=f2（5）-f2（1）=0，③

假設f（4）≠0，那么由③可知f（6）=0，将f（2）=0，f（6）=0代入②式发现与f（4）≠0矛盾，所以f（4）≠0不成立，即f（4）=0，

同理可得f（2n）=0，n∈N*，

所以f（1）+f（2）+…+f（90）=f（1）+f（3）+…+f（89）=2，

故选择答案：C.

方法3：（函数基本性质——周期法）

解析：由于f（x+y）f（x-y）=f2（x）-f2（y），

令x-y=2，即x=y+2，结合f（2）=0，可得f2（y+2）-f2（y）=0，即|f（y+2）|=|f（y）|，则知函数|f（y）|是以2为周期的函数，

而结合f（2）=0，可得f（2n）=0，n∈N*，

又f（2n+1）f（2n-1）=f2（2n）-f2（1）=-4＜0，且|f（2n+1）|=|f（2n-1）|，可得f（2n+1）=-f（2n-1），

所以f（x+2）=-f（x）恒成立，则有f（x+4）=-f（x+2）=f（x），那么函数f（x）是以4为周期的函数，

而f（1）=2，f（2）=0，进而求得f（3）=-f（1）=-2，f（4）=f（2）=0，

则有f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=0，

所以f（1）+f（2）+…+f（90）=22×［f（1）+f（2）+f（3）+f（4）］+f（1）+f（2）=2，

故选择答案：C.

解后反思：根据题设条件中的关系式，通过赋值法处理，结合函数的基本性质进行逻辑推理与归纳，确定函数的周期性或奇偶项值的规律，进而进行求值.具体推理时，借助奇偶项值的规律，或奇偶讨论法，或奇偶讨论与周期综合法，或周期法等，都可以达到目的，切入点不同，归纳的视角也不同，但殊途同归.

2.2思维视角2：特殊模型思维

方法4：（特殊函数法）

解析：结合已知条件f（x+y）f（x-y）=f2（x）-f2（y），联想到正弦平方差公式：sin2x-sin2y=sin（x+y）sin（x-y），从而构造特殊函数辅助特殊化处理，

令特殊函数f（x）=2sinπ2x，该函数满足题设条件，

此时函数f（x）是以4为周期的函数，

而f（1）=2，f（2）=0，进而求得f（3）=-2，f（4）=0，

则有f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=0，

所以f（1）+f（2）+…+f（90）=22×［f（1）+f（2）+f（3）+f（4）］+f（1）+f（2）=2，

故选择答案：C.

解后反思：根据题设条件中的关系式，合理联想与之相似结构特征的公式，进而为构造特殊函数辅助分析与处理提供条件.熟练掌握一些具有特定结构特征的基本初等函数类型（特别是幂函数、指数函数、对数函数以及三角函数等），为解决此类问题的特殊函数模型思维提供理论依据，也是综合创新应用的基础.

3链接高考

高考真题：（2022年高考数学新高考Ⅱ卷·8）若函数f（x）的定义域为R，且f（x+y）+f（x-y）=f（x）f（y），f（1）=1，则∑22k=1f（k）=（）

A. -3

B. -2

C. 0

D. 1

解析：结合已知条件f（x+y）+f（x-y）=f（x）f（y），联想到余弦函数积化和差公式cos（α+β）+cos（α-β）=2cosαcosβ，从而构造特殊函数辅助特殊化处理，

令特殊函数模型f（x）=2cosπ3x，则函数f（x）满足题目条件，

于是，可知函数f（x）的周期为6，且f（1）=1，f（2）=-1，f（3）=-2，f（4）=-1，f（5）=1，f（6）=2，

所以∑22k=1f（k）=4［f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）］-f（5）-f（6）=4×0-1-2=-3，故选择答案：A.

4变式拓展

变式：已知函数f（x），任意x，y∈R，满足f（x+y）f（x-y）=f2（x）-f2（y），且f（1）=2，f（2）=0，则f（1）+f（2）+…+f（2023）=（）

A. -2

B. 0

C. 2

D. 4

（解答略，答案：B.）

5教学启示

5.1技巧策略，规律总结

抽象函数综合创新应用问题的解决，主要的技巧方法包括：（1） 回归定义，借助相应抽象函数关系式的定义加以合理赋值与应用；（2） 归纳推理，借助关系式的特征，通过前若干项的分析进行合理的归纳与分析；（3） 特殊模型，借助特殊函數模型的构建，使之吻合题设条件，进而加以特殊化处理；（4） 数形结合，借助直观模型特征的构建，通过直观形象分析来解决等.

5.2熟知性质，快捷应用

涉及抽象函数综合创新应用问题中，经常需要用到一些函数的基本性质，如函数的奇偶性、单调性以及周期性、对称性等相关的结论.在实际解决问题过程中，借助相关的基本性质结论，可以很好快捷分析与推理，借助相应的数学运算、逻辑推理、直观模型等来综合应用，从而优化过程，提升效益.