例谈构造法在2022年高考数学题的价值体现

刘远来 李红梅

摘要：构造法是高中常用的一种数学解题方法，具有直观性、创造性、灵活性强的特点.本文结合2022年高考数学题，从构造函数、构造坐标系、构造数列和构造不等式四种模型分析构造法对学生核心素养的考量，期望为教师在构造法教学上带来些许建议，以期提高学生的创新意识和应用意识，优化学生的认知结构，培养学生的数学核心素养.

关键词：构造法；核心素养；创新意识；应用意识

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》指出高中数学课程要以学生发展为本，培养科学精神和创新意识，提升数学学科核心素养［1］.而当前大部分学生在高考中的表现思维较为固化，创新能力略显薄弱.构造法是彰显学生创造力的方式之一，适时适当地采用构造法，有利于提高学生的创新意识，优化学生认知结构，达到综合素质的提升.因此，教师在教学中有必要讲解构造法在解题中的重要性，帮助学生掌握构造法解题的数学方法和思维路径.本文从函数、坐标系、数列和不等式四个方面分析高考数学题构造法的素养价值，希冀帮助教师更加全面理解构造法，在构造法教学的过程中帮助学生养成数学核心素养.

1构造法的概念

构造法是根据题设的特点，用已知条件中的元素作为元件，已知的关系式为支架，在思维中构造一种新的数学形式，从而使问题得到解决的一种方法［2］.即要善用已知的元素、关系式搭建未知到已知的桥梁，以致问题得以解决.从思维层面上说，构造法练习可以培养学生创造性思维和发散思维；从认知层面上说，构造法练习帮助学生主动在脑海中构建知识网，并对每一个知识分支形成知识树，从而灵活运用知识解决问题.

2构造法在高考中的应用

2.1构造函数

函数作为高中数学课程的主线之一，贯穿于整个高中生涯，在问题解决中发挥着重要作用.灵活运用函数的性质、图象，可提高解题效益.在面对高考题中数值比较大小问题、不等式问题、抽象函数求值问题均可以利用构造思想将其转化为函数问题，提升思维的宽度、广度和速度.

2.1.1引参式构造［3］

例1（2022年全国甲卷第12题）已知a=3132，b=cos14，c=4sin14，则（）

A.c>b>a

B.b>a>c

C.a>b>c

D.a>c>b

分析：题目看似是常数比较大小，本质考查函数问题，将常数参数化，进而利用函数性质和导数方法进行比较大小.

解析：由a－b=3132－14=1－12·142－14，构造函数F（x）=1－12x2－cosxx∈0，π2比较a和b的大小；由cb=4sin14cos14=tan1414构造函数g（x）=tanxxx∈0，π2来比较b和c的大小.下证构造函数的单调性.

对F（x）求导得F′（x）=－x+sinx，F″（x）=cosx-1≤0，因此g″（x）≤g″（0）=0，即F′（x）≤0，所以F（x）在［0，π2］单调递减，故F（x）≤F（0）=0，因此1－12x2

对g（x）变形为f（x）=tanx－xx∈0，π2，f′（x）=sec2x－1<0，因此f（x）在0，π2上单调递减，故g（x）≥g（0）=0，即tanx>x，因此tanxx>1，当x=14时，tan1414>1，则4sin14cos14>1即c>b.综上所述，c>b>a.

评析：此题是小题大做的创新题，是对学生创新性思维、数学抽象能力和逻辑推理能力的考查.数值比较通常采取做差法或做商法，此题便从此思路出发，借助数字之间的关联关系构造出函数.通过将数值参数化，借助函数这一工具再对参数数值化，体现从特殊到一般再到特殊的解题策略［3］.

2.1.2特殊式构造

例2（2022年新高考Ⅰ卷第12题）已知函数f（x）及其导函数f′（x）的定义域均为R，记g（x）=f′（x）.若f32－2x，g（2+x）均为偶函数，则（）

A.f（0）=0

B.g－12=0

C.f（－1）=f（4）

D. g（-1）=g（2）

分析：此题是对抽象函数性质的探究题.若从题设出发，循规蹈矩探究抽象函数的对称性、奇偶性，思维过程难度较大，耗时耗力.采取逆向思维构造一个特殊函数满足题意，本题便迎刃而解，效果显著.

解析：通过分析g（x）=f′（x）和f32－2x和g（2+x）都是偶函数，由此可知所构造函数需要满足求导之后进行平移仍然可以形成偶函数这一特征，确定构造特殊函数的方向为余弦函数.首先取f（x）的基础函数为cosx，但由于f32－2x是偶函数，故而进一步修改为f（x）=cosx－32，此时满足f32－2x是偶函数，但g（x+2）=f′（x+2）=－sinx+12不是偶函数.为使其为偶函数，只需对12变为π2，最后将f（x）修改为f（x）=cosπx－32.

经检验满足题设条件.分别对四个选项进行验证得B、C正确.

评析：此题以小见大，考查了学生化抽象为具体的逻辑推理能力和将旧知应用于新知的迁移能力.对于抽象函数我们可以按照此类方法进行求解.第一步根据初始题设关键特征确定基础函数；第二步，根据题设具体特征对基础函数进行推理并修正；第三步，验证所求特殊函数是否满足题意.通过此类方法的练习，化抽象函数不抽象，将抽象再化具体，巩固学生基础知识和基本技能.此类方法需要学生熟能生巧，方可在考试中脱颖而出.

2.2構造坐标系

坐标系是以坐标为纽带，把几何问题代数化，运用代数运算来研究几何图形的性质，建立几何和代数的联系，以促进知识之间的结构化、整体化、系统化.构建坐标系在维度上可分为构造平面直角坐标系和空间直角坐标系，对于不同维度的图形题都可以利用坐标系优化解题路径.

例3（2022年北京卷第10题）在△ABC中，AC=3，BC=4，∠C=90°.P为△ABC所在平面内的动点，且PC=1，则PA·PB的取值范围是（）

A.［-5，3］

B.［-3，5］

C.［-6，4］

D.［-4，6］

分析：本题属于解三角形和向量的几何综合题，如果只是从解三角形这一层面来建立和向量之间的关系，求解思路很难形成，且不易掌握.若构建平面直角坐标系，将几何问题代数化，采取数形结合的方法，提高解题效率.

解析：以三角形的C点为原点建立平面直角坐标系，那么C（0，0），B（4，0），A（0，3）.

设P点坐标为（x，y）.

那么｜PC｜=x2+y2=1，说明点P在圆上运动.

PA=（－x，3－y），PB=（4－x，－y）.（以下略）

评析：此题考查学生知识结构之间的连贯性，从不同的角度进行解题，对学生的创造力是一种考验.构建坐标系实现向量和坐标之间的转化，构思巧妙，利用数形结合思想将向量问题转化为截距问题，降低思考难度，优化解题思路，另辟蹊径.

2.3构造数列

数列可认为是定义在正整数集合的函数，是按一定顺序排列的一列数［4］.在实际问题中，从形式结构等特点可选择构造等差或等比数列，其间可以运用数列的定义，逆用等差数列、等比数列及数列求和等性质合理地解决数学难题，构思巧妙，展现数学之美.

例4（2022年全国甲卷第17题）记Sn为数列｛an｝的前n项和.已知2Snn+n=2an+1.证明：｛an｝是等差数列.

分析：此表达式是关于Sn，an和n这三项的关系式，为证｛an｝是等差数列，建立Sn和an的关系，即an=Sn－Sn－1.

解析：将2Snn+n=2an+1变形为2Sn=2nan+n－n2（①），

所以2Sn－1=2（n－1）an－1+（n－1）－（n－1）2（②）.

①-②得（2n－2）an－1－（2n－1）an=2n－1（n≥2，n∈N）

故而an－1－an=1（n≥2，n∈N），所以｛an｝是等差数列.

评析：此题解决的关键之处在于学生是否可以巧妙改写题设条件为n-1项等式，并利用恒等式an=Sn－Sn－1作差建立an和an－1的关系式，得到等差数列定义达到证明等差数列的目的.在教学中应选取在高考中代表性强的题目进行变式讲解，注重构造法的来龙去脉，促使学生更好地掌握数列知识本质.

2.4构造不等式

不等式是高中数学的重要内容之一，所涉及的知识面较广，相关的解题思路也较为灵活.在教学中需要和学生一起总结常用的不等式结论，拓宽解题思路，体会构造不等式的优势，把握解题方向.

例5（2022年全国甲卷第21题）已知函数f（x）=exx－lnx+x－a，证明：若f（x）有两个零点x1，x2，则x1x2<1.

分析：本题函数是由指数函数和对数函数构成，是一道典型的函数同构问题，利用同构函数的单调性，并且有两个相等的零点，可以得到一个新的函数关系式，并可利用积累的不等式结论加以证明.

解析：f（x）有两个零点x1、x2，故f（x1）=f（x2），即ex1x1－lnx1+x1=ex2x2－lnx2+x2.由于x=lnex对上述等式变形得：ex1x1+lnex1x1=ex2x2+lnex2x2.由此可构造函数为F（x）=t+lnt（t>0），那么Fex1x1=Fex2x2.以下略.

评析：本题的关键点在于学生是否可以合理构造已知的不等式来求解题目，在此过程中注意要对使用的不等式进行证明.此类方法在圆锥曲线也同样适用.另外，切线放缩也是证明导数问题的常用方法，利用已知的结论来求解问题是学生学习的必经之路.

3思考与建议

综上所述，利用构造法解决高考数学问题过程简易，思维过程不易.对于从已知条件难以入手的问题，只需联系所学知识将已知与结论相关联转化为我们熟知的数学模型，抽象条件形象化，解题思路便简单明了.总之，教师应注重从高考题中挖掘构造法解题素材，并在平时教学活动中潜移默化地渗透构造法，对学生创新意识的培养有极大的益处［5］.

但在构造法教学需要关注以下几点建议：第一，教师在培养学生构造法的过程中也要注重自身数学素养的提升，教学相长，共同进步，善于总结，找寻构造法的精髓和本质所在.比如将其作为一题多解中的一种解法来讲解.由于构造法对解题思维的要求较高，教师最好在展示解题方法的过程中适当暴露思维过程［6］；第二，教师要有意识地引导学生应用构造法，让学生在构造中体会知识的应用价值、提升素养水平，形成适合自身的解题风格，在提升解题能力的同时，促进观察能力、分析能力、创造能力等综合能力的全面提升；第三，注意不要过分夸大构造法解决数学问题的作用，在教学时注意此类事项的发生［7］，不要给予学生过多压力导致顾此失彼.

参考文献：

［1］ 中華人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［M］.北京：人民教育出版社，2020.

［2］ 叶立军.数学方法论［M］.杭州：浙江大学出版社，2008：187-195.

［3］ 陈香君，赵思林.构造法巧解2021年高考数学全国卷试题［J］.中学数学月刊，2021（8）：8-10.

［4］ 田维.高中数学构造法解题研究［D］.湖南理工学院，2019.

［5］ 何忆捷，熊斌.中学数学中构造法解题的思维模式及教育价值［J］.数学教育学报，2018，27（2）：50-53.

［6］ 沈重.例谈构造法在数学解题中的应用［J］.中学教学参考，2020（11）：12-14.

［7］ 邹海斌.在构造中体验数学创造之美［J］.数学教学通讯，2022（15）：57-58.

基金项目：西华师范大学英才计划课题“教师资格考试制度与教师培养模式改革研究——以数学学科为例”（项目编号：17YC378）；西华师范大学横向项目课题：“中小学生数学核心素养培养研究”（项目编号：401589）；西华师范大学教育硕士优秀案例教学研究项目：“两步”怎么证明“无限”的命题——数学归纳法教学设计与实施（项目编号：451029）；问题提出视角下的数学教学——以任意三角函数为例（项目编号：451056）.