回归教学起点，追寻高效课堂

严保静

摘要：按照新课改的教学理念，结合“一元二次不等式的解法”这一课题进行探究，采取师生互动、生生互动的教学模式，引导学生独立思考、自主学习、合作探究，培养学生数学逻辑思维，让学生掌握数学思想方法，提高自主学习能力，以期达到“回归教学起点.追寻高效课堂”的效果.

关键词：教学起点；高效课堂；一元二次不等式

在新课改背景下，教学的起点应当是以发展学生数学核心素养为导向，引导与督促学生进行自主学习与合作探究，首先应做好课程内容解析与备课工作，在课堂上提出问题引发学生思考，然后制定师生互动与生生互动的方案，以及归纳小结等，最后指导学生练习典型题目，进行课堂总结，实现高效率教学.笔者基于此理念开设了一节公开课：《一元二次不等式的解法》.本文结合自己的教学实践体验谈点思考，以就教于同仁.

1教学思考

《一元二次不等式的解法》是高中数学教学中的重要内容.在教学计划中，这部分内容占有两课时.老师往往会利用类比的方法，即将此部分内容和初中所学的相关内容进行类比，这样可以让学生对新知识、新内容有延展性思考，新内容的教学过渡也会表现地更加自然、流畅.类比是发现的引路人.鉴于新课程倡导“用教材教”的理念，在教学过程中，教师应当沿着这一线索学习和思考.

在教学实践中，教学目标的明确对教学内容的设计具有重要意义.在本节教学中，其主要目标有三個，即：（1） 经历一元二不等式的抽象过程，在现实情境中理解一元二不等式的现实意义；（2） 了解一元二次不等式与相应的二次函数、方程之间的联系，借助二次函数来认识数学的整体性；（3） 能从函数的角度对一元二次不等式求解，并在一些实际问题中完成一元二次不等式的求解，提高学生的数学操作素养.

在备课过程中，有一个环节让笔者备受困扰.初中虽然学过一元一次方程、一元一次不等式，但是是用一次函数的观点去看的，应该怎样引导学生去思考将一元一次方程与一元二次不等式的求解相联系.笔者使用了情境设置方法，即在情境中设置一个用一元一次不等式实例，并对其解法进行分析.比如情境：我家离学校大约有7.5km路程，我明天早上拟6：30从家出发去学校，想在6：50之前进入校门. 又知我上班全程行驶的市区地面道路限速均为50km/h. 请问我明天早上驾车车速应如何控制［1］？由一元一次不等式过渡到一元二次不等式，无论是从定义、一般形式还是解法、应用都可以很自然的做类比和迁移.

2教学过程

2.1提出问题

师：这一章是在研究不等式.本章对不等式的一些知识进行了类比，比如初中学过的等式和方程.与用方程刻画相等关系类似，用不等式刻画不等关系.由等式的性质类比出不等式的一些性质.学习这些不等式及其性质有什么用呢？这些不等式为什么要研究呢？不妨先请同学们帮我解决一个问题：我打算在绿地上种花，用围栏围成一个长方形的区域，……如果围栏的长度是20m2，那么这个长方形的边长是多少米？围成的长方形区域的面积是20多米呢？生：设这个矩形的一条边长为xm，则另一条边长为（12－x）m.由题意得（12－x）x>20，其中x∈{x|0

（教师出示课件让学生列式后然后回答.如果学生忘了自变量的取值范围，老师们因势利导.）

师：我们就是这样把一个现实的问题从数学的角度中抽象出来了.这个不等式只要解决了，问题就解决了.

设计意图：从生活实际问题出发，自然地引出本课研究的内容，同时引导学生有意识地用数学符号语言表达现实世界，感悟数学与现实之间的关系.

2.2制定方案

师追问1：这个不等式与一元一次不等式相比，有哪些相同地方，又有哪些不同地方呢？？

生： 仅含有一个未知数，未知数的最高次数是2.

师追问2：按一元一次不等式的定义，这个不等式是否可以起名？并给出一般形式.

师总结：一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式称为一元二次不等式.它的一般形式是ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0（a≠0），那这个不等式怎么解呢？

学生思考，老师巡视，选出两个有代表性的解法，请两位学生在黑板板演.

设计意图：求解一元二次不等式通常有两种方法.一种是代数方法，先分解二次三项式式，把一元二次不等式转化为一元一次不等式组，通过解一元一次不等式组，得到一元二次不等式的解法；另一种是函数方法求解一元二次不等式，它是借助一元二次函数图像得到的.当一道题有不同的解法时，就需要对这些方法分析、比较，选择更广泛的、能够体现本质的方法来解答.

师：第一个同学，是把一元二次不等式转化为一元一次不等式组，解得一元二次不等式；第二个同学，是借助直观的一元二次函数图像，解得一元二次不等式.你是怎么想出来的？

生：初中里学过的一元一次方程、一元一次不等式的解法，就是从一元一次函数的角度看的.

师：很好！这是一种类比的思想.下面我们考察一元一次不等式x2－12x+20<0与二次函数y=x2－12x+20之间的关系.

师生活动：教师用几何画板画出函数y=x2－12x+20的图像，在函数图像上任取一点P（x，y），让点在抛物线上移动，学生观察图像，点P纵坐标在变化过程中随着点的移动，会出现什么特殊情况.

学生观察思考后作答：当点P移到x轴上时，其纵坐标等于0，当点P移到x 轴上方时，其纵坐标大于 0，当点P移到x轴下方时，其纵坐标小于 0.

师追问3：当点P的纵坐标为0时，点P的横坐标怎么求？

生：解方程x2－12x+20=0.方程的根就是点P的横坐标.

师追问4：一元二次方程的实数根与二次函数的关系是什么？

生：一元二次方程的两个实数根是2和10，从函数的角度看，就是纵坐标为0的点的横坐标.

师追问5：这个结论可以推广到一般吗？

（引导学生得出这一结论可以推广）

教师总结：对于二次函数y=x2－12x+20，它的零点就是使得函数值等于0的实数x，就是2和10.

师追问6：二次函数y=x2－12x+20的两个零点把x轴分成三段.每一段（不包含零点）对应的函数图像有什么特点？函数值有什么特点？

生：当x<2或x>10时，函数图像位于x轴上方，此时y>0，即2

师追问7：从函数图像上能确定矩形的边长是多少米吗？

设计意图：通过问题串引导学生从具体的二次函数图像入手，了解一元二次方程的根与相应的函图像之间的关系，能根据图像得到相应的一元二次不等式的解集，体会函数在判断方程根的情况和求不等式解集中的作用.

2.3归纳小结

师：求一般的一元二次不等式ax2+bx+c>0（a>0），是否可以推广以上方法呢？对于一般的一元二次方程ax2+bx+c=0（a>0） 、一元二次不等式、ax2+bx+c>0（a>0）、ax2+bx+c<0（a>0）以及相应的函数 y=ax2+bx+c（a>0）之间是否也存在着类似的关系呢？每位同学先独立思考，再分组讨论，把纸上写出讨论的成果，时间大约5分钟.

（教师各组巡视，了解讨论情况，选择有代表性的成果展示，交流.以下表格由师生一起完成.）

设计意图：从具体的一元二次方程、一元二次不等式和二次函数的关系引申为概括性的结论.判断一元二次方程的根，结合函数图象，解一元二次不等式.学生在提升的过程中，体验从特殊到一般的研究方法、合作交流的学习方法，体会数形结合、分类讨论、函数与方程的数学思想.

2.4典型例题

例1求下列一元二次不等式的解集.

（1） x2－5x+6<0；

（2） 9x2－6x+1<0;

（3） －x2+2x－3<0.

（（1） 师生共析，教师板书示范.（2） 学生自主想题，请两位学生进行板书表演）

师追问8：如何求二次项系数是负数（即a<0）的一元二次不等式的解集？

生：化系数为正.

师：其实对于一元二次不等ax2+bx+c>0，一元二次函数y=ax2+bx+c（a>0）的图象与x軸的位置关系，根据系数的不同，可以分为六大类（六种图象通过投影的方式展示出来）.

对于一元二次不等式－x2+2x－3<0，为了求解根的方便，可以把二次项的系数变为正的.

师追问9：解一元二次不等式ax2+bx+c>0、ax2+bx+c<0（a≠0）的步骤是什么？

生：（1） 二次项的系数变为正（a>0）；

（2） 看能否因式分解，不能分解的计算判别式；

（3） 求出方程ax2+bx+c=0的实根；（画出函数图象）

（4） 写出不等式的解集（结合函数图象）.

设计意图：以上是书中给出的例题，难度不大，能让学生对一元二次不等式的解法熟悉.

师：有两种方法可以解一元二次不等式，您会选择哪一种？这两种方法的共通性是都与一元二次方程的根有关，差异是函数方法考虑了变化规律.因此函数方法具有一般性.数学家华罗庚说过，数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事非.

类比以上函数方法，课后尝试求解不等式（x－2）（x－3）（x－4）>0.

设计意图：对两种方法的优劣进行比较，体会函数解法的优越性，对其它类型不等式尝试用这种方法进行探讨.

2.5课堂小结

下面我们就来回顾一下今天的学习情况，以下的问题就一起来解答一下吧.

师：（1） 如何研究解一元二次不等式的？

生：从实际问题入手，利用不等式、方程、函数的关系，结合函数的图象，得到不等式的解法，由此推广到一般的一元二次不等式的解法.

（2） 一元二次方程ax2+bx+c=0（a>0）、一元二次不等式ax2+bx+c>0（a>0）和ax2+bx+c<0（a>0）与相应的函数y=ax2+bx+c（a>0）之间有什么关系？

（3） 简单说明如何求一元二次不等式ax2+bx+c>0？

设计意图：由此及彼，举一反三的拓展研究，扩大了方法的价值和内涵.从整体上促进了学生对数学内容的理解.

3教学反思

公开课的表象是展示，本质是研究.公开课并非 “作秀”，可以像常态课一样公开地讲.高中数学教学强调回归教学起点，以发展学生的数学核心素养为导向，从学生的角度出发，创设恰当的情境，引导学生抓住数学内容的精髓 ［2］.通过这节课，我觉得应该从以下几点来提高数学课堂的效率：

第一，教师应吃透教材编写者的意图，体现数学学科的精髓.在本课的备课中，参考了苏教版等教材，比较不同的编写方式和文本表述方式.人教版对一元二次不等式的解法的推导过程的说明详实，深入浅出.让学生感受方程、等式、函数之间的关系，深刻理解教材编写者的编写意图，在教学设计中运用“从特殊到一般”“类比推理”“数形结合”的思想方法.

第二，教学应遵循学生认知规律.循循善诱，调动学生的思维，把他们原生态的自然理念展现出来.在比较不同解法的优劣中激发学生的认知冲突、以便选择更优化解法.这样的教学有利于学生思维和科学精神的发展，充分体现了核心素养培养意识.

第三，教师应设置问题串的教学形式.黄桂君在《记一节函数应用课中的“问题串”》一文中指出，教学内容要直观化、本质化，教学形式要简单自然.数学教学的重要的原则之一就是以问题为驱动.因此，笔者精心设置编拟问题串，以追问的形式将课堂连贯起来，让学生体会不等式、方程和函数的关系，完成本节课的教学.

第四在学习完特殊的一元二次不等式的求解后，通过设计表格化的问题，放手让学生去独立思考、小组讨论，再展示交流、总结提炼.学生不仅获取了知识，还掌握了获取知识的方法——类比法、图象法.

参考文献：

［1］ 潘立方. 以图为媒 突破定势 促进函数教学——以“函数观点看待一元二次方程（不等式）”教学实践为例［J］. 读写算， 2019（31）：156-158.

［2］ 秦勇. 高中数学与二次函数有关的问题分析［J］. 科普童话， 2019（7）：132.