新课标视域下人教A版新旧教材“函数y=Asin（ωx+φ）”内容比较研究

刘佛莲 张巧,孔德宏

摘 要：从结构编排、内容设置、信息技术融合、核心素养四个方面对高中数学人教A版新、旧教材“函数y=Asin（ωx+φ）”一节进行了微观比较研究.研究发现，新教材在结构编排上增强了前后知识之间的逻辑联系性；内容设置上加强了数学知识与现实世界的联系，注重渗透建模思想，关注跨学科内容的学习，凸显数学知识的应用价值；信息技术上，关注其与教学的深度融合，真正发挥信息技术在教学中的直观作用；核心素养上，关注学生的思维过程以及对学生数学抽象、数学建模、直观想象、逻辑推理核心素养的提升培养.基于此，本文对一线教学提出几点建议.

关键词：新教材；教材比较；三角函数

为落实立德树人根本任务，发展素质教育，2017年教育部颁布《普通高中数学课程标准（2017年版）》（以下简称为新课标），在新课标指导下，人民教育出版社于2019年出版了新版教材.教材作为实施课程标准的重要载体，新版教材相较2007年的旧版教材存在怎样的联系与区别？教师应该如何衡量、选择？这些问题值得思考，对贯彻实施好新课标、推进教学实施有着重要意义.

函数y=Asin（ωx+φ）作为三角函数中最基础、最一般的函数模型，广泛用于描述现实生活周期现象，是解决实际问题的重要工具，对有效促进学生数学抽象、数学建模、直观想象、逻辑推理等核心素养的发展有重要意义.因此，以《人教2007年版普通高中课程标准实验数学教科书A版》（以下简称为旧教材）和《2019年版普通高中数学教科书A版》（以下简称为新教材）中“函数y=Asin（ωx+φ）”为研究对象，采用内容分析法和比较法，从结构编排、内容设置（包括：导入部分、探究部分、例习题设置）、信息技术融合、核心素养四个方面进行微观比较研究，以期为教师充分理解教材以及开展教学提供参考.

1 结构编排比较

通过表1对新、旧教材的结构内容进行比较.

在旧教材中，课题名称为：“函数y=Asin（ωx+φ）的图象”，意味着其研究的主要内容为：对函数y=Asin（ωx+φ）图象的探究，即A，ω，φ对函数图象的影响.此外，内容上还涉及A，ω，φ与描述简谐运动的物理量（振幅、周期、频率、相位、初相）之间的关系.而新教材中，课题名称为：“函数y=Asin（ωx+φ）”，课题名称的更改，揭示了本节研究内容不仅限于对y=Asin（ωx+φ）函数图象的探究，还包括其性质与简单应用［1］.将“函数y=Asin（ωx+φ）”分为两小节，较旧教材增加了“5.6.1匀速圆周运动的数学模型”这一小节，并贯穿于函数y=Asin（ωx+φ）教学的全过程，增强了前后知识的联系性.而“振幅、周期、频率、相位、初相”这部分内容后移至5.7节“三角函数的应用”内容中，以简谐运动中的弹簧振子为例具体展开，增强了其实际背景，这是编排顺序上新教材与旧教材处理大为不同的地方.调整位置后使得新教材的每节内容更加分明，凸显了知识之间的逻辑连贯性，更符合学生的数学逻辑思维习惯，学习起来更具有系统性.更是体现了基于新课标的新教材设置更加重视知识的应用性，增强了数学知识与跨学科内容、现实生活的联系.

2 内容设置比较

2.1 导入部分比较

通过表2对新、旧教材的导入部分进行比较.

旧教材直接指出物理简谐运动中单摆对平衡位置的位移y与时间x的关系、交流电的电流y与时间x的关系都是形如y=Asin（ωx+φ）的函数［2］，并通过呈现实验测得的交流电的电流y随时间x变化的函数图象与正弦曲线图象相似，引出要探究的问题：y=Asin（ωx+φ）与y=sinx之間有什么关系？这样的导入虽然能使研究内容具有丰富的研究背景，但实际上学生对于简谐运动等物理知识了解不够深入，显得探究味不足.

新教材从数学内部知识的发展过程出发，将单位圆运动模型进行拓展，探究一般的匀速圆周运动的函数模型，并以筒车运动为实际背景引入.通过解决“筒车盛水筒距离水面的相对高度H与时间t的关系”这一问题，得出盛水筒运动的数学模型：H=rsin（ωx+φ）+h，从而引出对形如y=Asin（ωx+φ）函数的研究.体现函数y=Asin（ωx+φ）现实背景的同时，使学生深切感受到研究这一函数图象及性质的目的和必要性.此外，筒车是我国古代时发明的一种水利灌溉工具，是中国传统文化中的重要组成，素材选取“筒车运动模型”与新课标中“教材编写建议”相契合，即：“要重视中国传统文化中的数学元素，要把数学文化融入到学习内容中［3］”.

2.2 探究部分比较

新旧教材在探究各参数对函数图象变换的影响时，采取了一致的研究路线：y=sinx→y=sin（x+φ）→y=sin（ωx+φ）→y=Asin（ωx+φ），但在探究内容上存在着很大的区别.例如：旧教材在探究φ对y=sin（x+φ）这一函数图象的影响时，先是借助计算机在同一坐标系中，作出φ=π3时y=sinx+π3与y=sinx的函数图象，再由点的坐标变换规律观察得出图象之间的关系.旧教材基于直观得出各个参数对函数图象产生的影响，缺少对各参数实际意义的思考.

新教材的处理方式则大为不同，探究过程极其注重函数y=Asin（ωx+φ）的实际背景.建立在“筒车问题”这一现实模型之上，将匀速圆周运动模型与三角函数模型紧密联系.先从匀速圆周运动的实际意义看质点的运动变化，再通过相应函数图象上的点的坐标看图象的变换.依旧以φ对y=sin（x+φ）函数图象的影响为例，新教材先在匀速圆周运动的模型中分析φ的实际意义，即圆周运动中的起点位置.当φ＞0（φ＜0）时，到达同一目标点所耗费的时间更少（更多），将函数图象上的点与圆周上的点一一对应起来，则有纵坐标相等时，横坐标变小（变大），函数图象左移（右移），从而揭示图象上对应点的坐标变化，最后得出函数图象的变化规律.新教材将匀速圆周运动中蕴含的物理意义、函数图象上点的坐标关系、函数图象的变换三者之间进行动态关联，从物理意义到数学意义，呈现从具体到抽象的过程，帮助学生借助参数的实际意义理解图象变换，打通了数学与现实的联系［4］.

2.3 例习题比较

通过表3对新、旧教材的例题进行比较.

例题安排上，新旧教材中例1的差别在于参数ω发生改变，新教材中将ω设置为整数，降低题目难度，更加符合学生学习循序渐进的发展规律；由于新教材对内容的结构进行了调整，所以例2改为学生熟悉又颇感兴趣的现实生活情境：“摩天轮”运动，进一步让学生感受到圆周运动与三角函数模型之间的内在联系，激发学生的学习兴趣，让学生深入体会到数学与实际生活的密切联系，渗透建模思想，增强知识的应用性.习题安排上，新旧教材在练习部分数量一致，内容基本没有变动，只是新教材将与简谐运动相关设问删除，后移至“5.7三角函数的应用”中，所以此处不作过细的分析.节后习题部分，旧教材有“A组”“B组”之分，新教材则设置为“复习巩固”“综合运用”两个模块，作业设计意图更为具体.节后习题数量上，新教材“复习巩固”模块较旧教材“A组”少2题（均为简谐运动相关习题）.旧教材“B组”习题3道，均为简谐运动相关习题，所以新教材“综合运用”模块习题内容变动较大，习题数量为4，前2道为根据函数图象特征或函数图象变换求函数解析式，后2道则为实际问题应用类习题，增强了知识的综合应用性.

3 信息技术融合比较

新课标提出：“要通过信息技术帮助学生获得直观感受，为学生探索规律启发思路，为学生解决问题提供直观，实现传统教学手段难以达到的效果”.舊教材在探究各参数对函数图象变换的影响时，借助信息技术“输入解析式”直接呈现参数变换前后图象的结果，缺乏图象生成的过程性、探究性，只是为学生观察图象变换提供直观，使得教材与信息技术的融合停留在表层，没有抓住图象变换的本质［5］.

新教材在内容设置上则充分体现了信息技术的认知工具作用，通过信息技术将圆周运动上的点与函数图象上的点一一对应.例如：A=1，ω=1，φ=0（或φ＞0）时，质点在单位圆上按逆时针方向做匀速圆周运动，随着质点的运动，以运动时间x为横坐标，质点所在高度为纵坐标，根据（x，sinx）或（x，sin（x+φ））将对应的点一一描出，连线即可以同步得到函数y=sinx（或y=sin（x+φ））的图象.如此一来，信息技术加强了知识的发生过程，达到效果直观的同时，更形象地诠释了三角函数模型的周期性，有效落实了新课标中“信息技术与课程深度融合”的理念.

4 核心素养比较

新课标首次提出“数学学科核心素养”，指出：“要在数学内容的表述中体现数学学科核心素养，使数学内容与数学学科核心素养融为一体”.

4.1 数学抽象、数学建模素养比较

本节内容中，新教材的设计对学生数学抽象、数学建模素养的有效发展起着重大作用，这也是新旧教材在学生核心素养提升方面最大的区别所在.从前面的分析中可以看出旧教材在提升学生数学抽象、数学建模素养方面有所欠缺，而新教材以“筒车问题”作为情境引入，将现实问题抽象成数学问题，建立函数模型，有效发展了学生的数学抽象、数学建模素养，与新课标中“情境创设和问题设计要有利于发展数学学科核心素养”的教学建议相契合.此外，新教材在探究过程中紧紧围绕参数的实际意义展开，结合匀速圆周运动的模型，从具体到抽象，对学生数学抽象素养的提升有着重要意义.

4.2 直观想象素养比较

新旧教材均以信息技术为手段，发展学生的直观想象素养.在旧教材中，通过信息技术直接展示图象变换前后的结果，再通过代数变换帮助学生直观理解各参数对函数图象变换产生的影响，对发展学生的直观想象素养有一定的促进意义.在新教材中，通过“单位圆”这一研究三角函数的重要工具，将质点的匀速圆周运动与函数图象的生成联系在一起，突出匀速圆周运动模型与三角函数之间的联系，结合匀速圆周运动中各参数的实际意义，让抽象的图象变换变得具体，有助于学生领会其中的数形结合思想，有效发展学生的直观想象素养［6］.

4.3 逻辑推理素养比较

新旧教材在探究各参数对函数图象变换的影响时，将各个参数分开探究，各个击破再整合处理，教会学生有条理地思考问题，从而在研究思路上帮助学生提升逻辑推理能力.旧教材通过代数变换，即图象上纵坐标相同的点的横坐标变化规律来探究函数图象的变换规律，在一定程度上发展了学生的逻辑推理素养.新教材则紧紧围绕参数的实际意义展开，寻找到学科与学科之间的联结点，从物理意义到函数关系再到几何意义解释，学生的逻辑推理素养得到了更有效地提升.

5 结论与建议

5.1 结论

通过比较和分析，可以得到如下结论.

第一，结构编排方面.新教材对知识的编排顺序进行了调整，增加“匀速圆周运动的数学模型”内容，重新划分小节，增强了前后知识之间的逻辑联系性，使得前后知识相互关联，有助于学生形成更为系统的知识体系.将“简谐运动”相关内容置后单独成立小节，也体现出新教材更加注重将数学知识与现实世界联系，关注跨学科内容的学习，增强知识的应用性.

第二，内容设置方面.旧教材纯粹注重参数对函数y=Asin（ωx+φ）图象的伸缩变换影响，忽略各参数在实际背景中的意义.新教材则不然，从导入到探究，再到例习题设计，每个环节的设置都极其注重对各参数实际意义的思考，使得新教材内容更为丰富，更具育人价值.

第三，信息技术融合方面.信息技术与课程深度融合是新教材较旧教材而言最为突出的设计，旧教材的处理缺乏对图象生成过程的体现，没有揭示函数图象变换的本质.新教材则将匀速圆周运动与三角函数图象紧密联系，显现函数图象的动态生成过程，真正发挥信息技术在教学中的直观作用.

第四，核心素养方面.新教材将数学内容设计与学生核心素养发展相融合，在内容上就凸显出对学生核心素养发展的思考.从实际生活问题中抽象出数学问题，注重建模思想的渗透，关注参数的实际意义，真正落实学生的核心素养.较旧教材而言，新教材对促进学生数学抽象、数学建模、直观想象、逻辑推理素养的提升培养有着更显著的效果.

5.2 建议

5.2.1 注重数学知识教学的“必要性”

知识点不是凭空产生的，数学中很多内容来源于生活并服务于生活，所以教学中要加强数学知识与现实世界的联系，注重知识点产生的背景，使学生充分感受到学习的必要性和价值，遵循教学的自然性原则.函数y=Asin（ωx+φ）是描述周期现象的重要数学模型之一，教师在教学过程中要凸显y=Asin（ωx+φ）的现实背景，例如：筒车运动、天体运动、摩天轮运动、物理中的简谐运动等，让学生感受到数学与跨学科知识、现实生活的联系，体会到学习该函数的现实需要和必要性.

5.2.2 注重数学知识学习的“过程性”

教师对知识的传授，不应停留在记忆层面，要注重学生对知识的生成、理解的过程，必要时，可以借助信息技术帮助学生获得直观感受.例如：A、φ、ω对函数y=Asin（ωx+φ）图象变换的影响不应该局限于“左加右减，上加下减”等口诀的记忆或是让学生进行大量的练习来巩固.应该结合y=Asin（ωx+φ）产生的实际背景，借助具体实例使学生弄清现实情境中各参数的实际意义，利用好信息技术，实现教学与信息技术的深度融合，帮助学生直观、深刻地理解各参数对函数y=Asin（ωx+φ）图象变换的影响.

5.2.3 注重数学核心素养的“渗透性”

数学核心素养不是空中楼阁，应该以教材、数学知识为载体，充分挖掘教学内容，在教学过程中渗透核心素养，使学生的核心素养得到切实提高［7］.函数y=Asin（ωx+φ）这节内容是促进学生数学抽象、数学建模、逻辑推理、直观想象等核心素养提升的重要载体.针对数学抽象、数学建模素养的渗透和提升，新教材将数学知识与实际生活紧密联系，通过筒车问题让学生初步认识匀速圆周运动的数学模型，帮助学生掌握一般的建模方法.此外，例题部分，通过摩天轮的生活情景，学生经历数学模型的构建，使数学抽象得到磨练，渗透了数学建模的数学思想和意识.

参考文献：

［1］ 罗增儒.“函数y=Asin（ωx+φ）”的课例与研修［J］.中学数学教学参考，2021（31）：815.

［2］ 章建跃，李柏青，金克勤，董凯.体现函数建模思想 加强信息技术应用——“函数y=Asin（ωx+φ）”的修订研究报告［J］.数学通报，2015，54（8）：18.

［3］ 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）［M］.北京：人民教育出版社，2020.

［4］ 张长贵.基于TPACK理论的“函数y=Asin（ωx+φ）”的教学与思考［J］.数学通报，2022，61（4）：3136.

［5］ 张定强，梁会芳，杨怡.数学学科核心素养导向的“三角函数”教材内容变革［J］.数学通报，2021，60（12）：47.

［6］ 葉立军，王思凯.两版高中数学教材“三角函数”内容比较研究——以人教2019年A版和2004年A版教材为例［J］.中学数学杂志，2020（7）：16.

［7］ 时训江.立足数学核心素养 追求概念自然生成——以“函数y=Asin（ωx+φ）的图象”一课为例［J］.高中数学教与学，2020（4）：2223+16.